Rot av tal

Matematiska operationer
Addition (+)
term + term addend + addend	=	summa
Subtraktion (−)
term − term minuend − subtrahend	=	differens
Multiplikation (× eller ·)
faktor × faktor multiplikator × multiplikand	=	produkt
Division (÷ eller /)
täljare / nämnare dividend / divisor	=	kvot
Moduloräkning (mod)
dividend mod divisor	=	rest
Exponentiering (^)
basexponent	=	potens
n:te roten (√)
grad √radikand	=	rot
Logaritm (log)
logbas(potens)	=	exponent

En n:te rot till ett tal a är ett tal x sådant att xⁿ = a. Rottecknet är en operator på talet a.

• Fallet n = 2 kallas kvadratrot, det som ofta avses med "roten ur" ett tal
• Fallet n = 3 kallas kubikrot

Den n:te roten till ett tal betecknas:

${\sqrt[{n}]{a}}$

Talet $n$ benämns grad eller rotindex och $a$ benämns radikand.

Beräkning

Rötter kan beräknas med hjälp av logaritmer då

${\sqrt[{n}]{x}}=e^{\frac {\ln x}{n}}$

Algoritm

För att beräkna ${\sqrt[{n}]{A}}$ kan följande algoritm användas:

1. Gör en första gissning $x_{0}$ (ju närmare ${\sqrt[{n}]{A}}$ desto snabbare konvergerar algoritmen).
2. $x_{k+1}={\frac {1}{n}}\left[{(n-1)x_{k}+{\frac {A}{x_{k}^{n-1}}}}\right]$
3. Upprepa steg 2 tills önskad precision är uppnådd

Härledning

Algoritmen kan härledas från Newton-Raphsons metod.

${\sqrt[{n}]{A}}=x\Leftrightarrow x^{n}-A=0$

Vi söker alltså nollstället till

$f(x)=x^{n}-A\$

Iterationsformeln blir

$x_{k+1}=x_{k}-{\frac {f(x_{k})}{f'(x_{k})}}=x_{k}-{\frac {x_{k}^{n}-A}{n\cdot x_{k}^{n-1}}}={\frac {n\cdot x_{k}^{n}-(x_{k}^{n}-A)}{n\cdot x_{k}^{n-1}}}={\frac {1}{n}}\left[{(n-1)x_{k}+{\frac {A}{x_{k}^{n-1}}}}\right]$

Ett specialfall är då n = 2 vilket är mer känt som den babyloniska metoden.

Se även

• Kvadratrot
• Kubikrot
• Rottecken
• Irrationella tal
• Algebraiska tal
• Geometriskt medelvärde
• Tolfte roten ur 2

Källor

• Matematisk uppslagsbok, William Karush, W&W, 1962