Kuasigrup

Dalam matematika, terutama dalam aljabar abstrak, kuasigrup adalah struktur aljabar yang menggunakan grup dalam arti bahwa "pembagian" selalu memungkinkan. Kuasigrup berbeda dari grup terutama karena mereka tidak selalu asosiatif.

Kuasigrup dengan elemen identitas disebut gelung.

Definisi

Terdapat dua definisi formal kuasigrup secara struktural. Mendefinisikan kuasigrup sebagai himpunan dengan satu operasi biner, dan yang lainnya, dari aljabar universal, mendefinisikan kuasigrup sebagai tiga operasi. Homomorfik galeri dari kuasigrup ditentukan dengan operasi biner tunggal.^[1]

Aljabar

Kuasigrup (Q, ∗) adalah himpunan Q dengan operasi biner ∗ (yaitu, magma) menggunakan sifat persegi Latin. Hal ini bahwa, untuk a dan b dalam Q, dengan elemen x dan y dengan Q sehingga

a ∗ x = b,

y ∗ a = b

(Dengan elemen himpunan satu kali dengan baris dan kolom tabel perkalian kuasigrup, atau tabel Cayley. Sifat tabel Cayley dari kuasigrup hingga, dan grup hingga, adalah persegi latin.) Persyaratan dengan magma menjadi pembatalan.^[2]

Persamaan ditulis sebagai x = a \ b dan y = b / a. Operasi '\' dan '/' yaitu, kiri dan kanan divisi.

Himpunan kosong digunakan dengan operasi biner kosong dari definisi kuasigrup beberapa penulis, kuasigrup kosong yang digunakan secara eksplisit.^[3]^[4]

Aljabar universal

Beberapa struktur aljabar, identitas adalah persamaan di mana variabel diukur secara universal, dan di mana operasi termasuk di antara operasi yang sesuai dengan struktur. Struktur aljabar dengan identitas disebut varietas. Hasil standar dalam aljabar universal hanya berlaku untuk varietas. Kuasigrup adalah varietas pembagian kiri dan kanan dianggap primitif.

Kuasigrup (Q, ∗, \, /) adalah jenis (2,2,2) aljabar (yaitu, dilengkapi dengan tiga operasi biner) identitas:

y = x ∗ (x \ y),

y = x \ (x ∗ y),

y = (y / x) ∗ x,

y = (y ∗ x) / x.

Dengan perkalian dan pembagian dalam urutan, satu demi satu, pada sisi yang sama dengan elemen.

Karena, jika (Q, ∗) adalah kuasigrup menurut definisi pertama, maka (Q, ∗, \, /) adalah kuasigrup yang sama dalam arti aljabar universal. Dan sebaliknya: jika (Q, ∗, \, /) adalah kuasigrup menurut pengertian aljabar universal, kemudian (Q, ∗) adalah kuasigrup menurut definisi pertama.

Gelung

Gelung adalah kuasigrup dengan elemen identitas;

x ∗ e = x dan e ∗ x = x untuk x pada Q.

Maka elemen identitas e, dan elemen Q memiliki invers kiri dan invers kanan (yang tidak harus sama).

Kuasigrup dengan elemen idempoten disebut kuasi grup idempoten titik; gagasan lemah dari gelung tetap umum misalnya, jika grup abelian (A, +) dari operasi pengurangan sebagai perkalian kuasigrup pikue (A, −) dengan identitas grup (nol) menjadi "idempoten tajam" (yaitu, isotop utama (x, y, z) ↦ (x, −y, z).)

gelung asosiatif adalah grup suatu isotop non-asosiatif, tetapi tidak memiliki isotop simpul non-asosiatif.

Terdapat sifat asosiatif lemah yang telah diberi nama khusus.

Misalnya, gelung Bol adalah gelung:

x ∗ (y ∗ (x ∗ z)) = (x ∗ (y ∗ x)) ∗ zTemplat:Quad untuk x , y dan z dalam Q ( Bol kiri gelung ),

atau

((z ∗ x) ∗ y) ∗ x = z ∗ ((x ∗ y) ∗ x)Templat:Quad untuk x , y dan z dalam Q ( Bol gelung kanan ).

gelung yang merupakan gelung Bol kiri dan kanan adalah gelung Moufang. Setara dengan salah satu dari identitas Moufang berikut yang dimiliki untuk x, y, z:

x ∗ (y ∗ (x ∗ z)) = ((x ∗ y) ∗ x) ∗ z,

z ∗ (x ∗ (y ∗ x)) = ((z ∗ x) ∗ y) ∗ x,

(x ∗ y) ∗ (z ∗ x) = x ∗ ((y ∗ z) ∗ x), atau

(x ∗ y) ∗ (z ∗ x) = (x ∗ (y ∗ z)) ∗ x.

Simetri

Smith (2007) menyebutkan sifat dan subkelas berikut ini:

Semisimetri

kuasigrup adalah semisimetris jika identitas setara sebagai berikut:

xy = y / x,

yx = x \ y,

x = (yx)y,

x = y(xy).

kuasigrup Q menginduksi kuasigrup semisimetri QΔ denagn kubus produk langsung Q³ melalui operasi berikut:

(x_{1},x_{2},x_{3})\cdot (y_{1},y_{2},y_{3})=(y_{3}/x_{2},y_{1}\backslash x_{3},x_{1}y_{2})=(x_{2}//y_{3},x_{3}\backslash \backslash y_{1},x_{1}y_{2}),

di mana "//" dan "\\" adalah operasi pembagian konjugasi $y//x=x/y$ dan $y\backslash \backslash x=x\backslash y$ .

Trialiti

Total simetri

Kelas merupakan kuasigrup simetris total (terkadang disingkat kuasigrup-TS) di mana semua konjugasi bertepatan sebagai satu operasi: xy = x / y = x \ y. Untuk mendefinisikan (pengertian yang sama tentang) kuasigrup simetri total adalah sebagai kuasigrup semisimetri yang juga bersifat komutatif, yaitu xy = yx.

kuasigrup simetri total idempoten (yaitu dalam bijeksi dengan) tripel Steiner, kuasigrup juga disebut kuasigrup Steiner, dan kadang-kadang yang terakhir bahkan disingkat sebagai squag; istilah sgelung didefinisikan untuk kuasigrup Steiner yang juga merupakan gelung. Tanpa idempotensi, grup simetri total dengan pengertian geometris ekstensi tripel Steiner, juga disebut Generalized Elliptic Cubic Curve (GECC) dalam bahasa Indonesia yaitu Kurva Kubik Eliptik Umum.

Total antisimetri

kuasigrup (Q, ∗) disebut totali anti-simetri jika c, x, y ∈ Q dari kedua implikasi berikut:^[5]

(c ∗ x) ∗ y = (c ∗ y) ∗ x menyiratkan x = y
x ∗ y = y ∗ x menyiratkan x = y.

Hal ini disebut anti-simetri lemah jika hanya implikasi pertama.^[5]

Sifat ini digunakan dalam Algoritma Damm.

Contoh

Setiap grup adalah satu lingkaran, maka a ∗ x = b jika dan hanya jika x = a⁻¹ ∗ b, dan y ∗ a = b jika dan hanya jika y = b ∗ a⁻¹.
Bilangan bulat Z dengan pengurangan (-) membentuk kuasigrup.
Bilangan rasional Q^× (atau bukan nol riil R^×) dengan pembagian (÷) membentuk kuasigrup.
Setiap ruang vektor di atas bidang dari karakteristik tidak membentuk dengan 2 idempoten, kuasigrup komutatif di bawah operasi x ∗ y = (x + y) / 2.
Setiap Sistem tripel Steiner mendefinisikan kuasigrup idempoten, komutatif: a ∗ b adalah elemen ketiga dari triple yang mengandung a dan b. kuasigrup (x ∗ y) ∗ y = x untuk x dan y dengan kuasigrup yang dikenal sebagai kuasigrup Steiner .^[6]
The set {±1, ±i, ±j, ±k} dimana ii = jj = kk = +1 dan dengan semua produk lain seperti pada grup kuaternion membentuk gelung non-asosiatif dengan orde 8. Lihat kuartenion hiperbolik. (Kuartenion hiperbolik tidak membentuk lingkaran atau kuasigrup.)
Oktonion bukan nol membentuk gelung non-asosiatif dalam perkalian. Oktonion adalah tipe gelung khusus yang dikenal sebagai gelung Moufang.
Sebuah kuasigrup asosiatif kosong atau sebuah grup, karena jika ada setidaknya satu elemen, keberadaan invers dan asosiatif menyiratkan adanya identitas.
Berikut ini karena Hans Zassenhaus, pada himpunan dasar dari ruang vektor empat dimensi F⁴ di atas 3 elemen bidang Galois F = Z/3Z dengan

(x₁, x₂, x₃, x₄) ∗ (y₁, y₂, y₃, y₄) = (x₁, x₂, x₃, x₄) + (y₁, y₂, y₃, y₄) + (0, 0, 0, (x₃ − y₃)(x₁y₂ − x₂y₁)).

Maka, (F⁴, ∗) adalah grup dari komutatif gelung Moufang.^[7]

Himpunan elemen bukan nol dari aljabar pembagian membentuk kuasigrup.

Sifat

Bagian artikel ini menunjukkan kuasigrup perkalian dengan penjajaran.

Kuasigrup sifat pembatalan: jika ab = ac dari b = c oleh pembagian kiri ab atau ac oleh a . Jika ba = ca adalah b = c.

Operator perkalian

Definisi dari kuasigrup sebagai operator perkalian kiri dan kanan L(x), R(y): Q → Q, didefinisikan dari

{\begin{aligned}L(x)y&=xy\\R(x)y&=yx\\\end{aligned}}

Definisi tersebut kedua pemetaan adalah bijeksi dari Q. Magma Q adalah kuasigrup ketika operator, untuk x dalam Q , bersifat bijektif. Peta invers adalah pembagian kiri dan kanan, yaitu

{\begin{aligned}L(x)^{-1}y&=x\backslash y\\R(x)^{-1}y&=y/x\end{aligned}}

Dalam notasi, identitas di antara operasi perkalian dan pembagian kuasigrup (dinyatakan pada bagian aljabar universal) adalah

{\begin{aligned}L(x)L(x)^{-1}&=1\qquad &{\text{ dengan}}\qquad x(x\backslash y)&=y\\L(x)^{-1}L(x)&=1\qquad &{\text{ dengan}}\qquad x\backslash (xy)&=y\\R(x)R(x)^{-1}&=1\qquad &{\text{ dengan}}\qquad (y/x)x&=y\\R(x)^{-1}R(x)&=1\qquad &{\text{ dengan}}\qquad (yx)/x&=y\end{aligned}}

dimana 1 adalah peta identitas pada Q .

Persegi Latin

Tabel perkalian kuasigrup berhingga adalah persegi Latin: n × n tabel dengan simbol n yang berbeda sehingga setiap simbol satu kali di baris dan satu kali di setiap kolom.

Sebaliknya, setiap persegi Latin sebagai tabel perkalian kuasigrup: baris perbatasan (berisi tajuk kolom) dan kolom (berisi tajuk baris) dapat berupa permutasi elemen. Lihat persegi Latin kecil dan kuasigrup.

Kuasigrup tak hingga

Untuk kuasigrup takhingga tercacah Q adalah di mana baris dan kolom sesuai dengan beberapa elemen q dari Q , dan dimana elemen a*b adalah baris yang sesuai dengan a dan kolom merespons b . Dalam sifat persegi Latin baris dan kolom dari tak hingga dari titik yang mungkin satu kali.

Sifat invers

Elemen gelung memiliki invers kiri dan kanan dirumuskan sebagai

x^{\lambda }=e/x\qquad x^{\lambda }x=e

x^{\rho }=x\backslash e\qquad xx^{\rho }=e

gelung dikatakan memiliki ( dua sisi ) invers jika $x^{\lambda }=x^{\rho }$ adalah x . Dalam hal ini elemen invers biasanya dilambangkan dengan $x^{-1}$ .

Ada beberapa pengertian invers yang lebih kuat dalam gelung yang sering berguna:

Sebuah gelung memiliki sifat inversi kiri jika $x^{\lambda }(xy)=y$ untuk $x$ dan $y$ . Setara, $L(x)^{-1}=L(x^{\lambda })$ or $x\backslash y=x^{\lambda }y$ .
Sebuah gelung memiliki sifat invers kanan jika $(yx)x^{\rho }=y$ for all $x$ dan $y$ . Setara, $R(x)^{-1}=R(x^{\rho })$ or $y/x=yx^{\rho }$ .
Sebuah gelung memiliki sifat kebalikan antiautomorphic if $(xy)^{\lambda }=y^{\lambda }x^{\lambda }$ atau, setara, jika $(xy)^{\rho }=y^{\rho }x^{\rho }$ .
Sebuah gelung memiliki sifat inversi lemah ketika $(xy)z=e$ jika dan hanya jika $x(yz)=e$ . Ini dapat dinyatakan dalam inversi melalui $(xy)^{\lambda }x=y^{\lambda }$ atau setara $x(yx)^{\rho }=y^{\rho }$ .

Sebuah gelung memiliki sifat invers jika ia memiliki sifat invers kiri dan kanan. gelung sifat invers juga memiliki sifat invers antiautomorfik dan lemah. Pengulangan salah satu dari empat identitas di atas memiliki sifat inversi dan karena itu memenuhi keempatnya.

Perampatan

Kuasigrup poladik atau multier

Sebuah kuasigrup-ari-n adalah himpunan dengan operasi ari-n, (Q, f) dengan f: Qⁿ → Q, sehingga persamaannya f(x₁,...,x_n) = y memiliki solusi unik untuk satu variabel jika semua variabel n lainnya ditentukan. Poliadik atau multiari berarti ari-n untuk beberapa bilangan bulat nonnegatif n .

Contoh dari beberapa kuasigrup adalah operasi grup berulang, y = x₁ · x₂ · ··· · x_n; tidak perlu menggunakan tanda kurung untuk menentukan urutan operasi karena grup bersifat asosiatif. Seseorang juga dapat membentuk kuasigrup multi dengan melakukan urutan apapun dari operasi grup atau kuasigrup yang sama atau berbeda, jika urutan operasi ditentukan.

Ada banyak kuasigrup yang tidak dapat direpresentasikan dengan cara ini. Sebuah semigrup ari-n adalah tidak bisa direduksi jika operasinya tidak dapat difaktorkan ke dalam komposisi dua operasi dengan cara berikut:

f(x_{1},\dots ,x_{n})=g(x_{1},\dots ,x_{i-1},\,h(x_{i},\dots ,x_{j}),\,x_{j+1},\dots ,x_{n}),

dimana 1 ≤ i < j ≤ n and (i, j) ≠ (1, n). Irreduksi hingga kuasi grup ari-n untuk n > 2; lihat Akivis dan Goldberg (2001) untuk detailnya.

Grup kanan dan kiri

Kuasigrup kanan (Q, ∗, /) adalah aljabar tipe (2,2) yang memenuhi kedua identitas: y = (y / x) ∗ x; y = (y ∗ x) / x.

Demikian pula, kuasigrup kiri (Q, ∗, \) adalah aljabar tipe (2,2) yang memenuhi kedua identitas: y = x ∗ (x \ y); y = x \ (x ∗ y).

Jumlah kuasigrup dan gelung kecil

Jumlah kelas isomorfisme dari kuasigrup kecil (barisan A057991 pada OEIS) dan gelung (barisan A057771 pada OEIS) diberikan:^[8]

Urutan	Jumlah kuasigrup	Jumlah gelung
0	1	0
1	1	1
2	1	1
3	5	1
4	35	2
5	1,411	6
6	1,130,531	109
7	12,198,455,835	23,746
8	2,697,818,331,680,661	106,228,849
9	15,224,734,061,438,247,321,497	9,365,022,303,540
10	2,750,892,211,809,150,446,995,735,533,513	20,890,436,195,945,769,617
11	19,464,657,391,668,924,966,791,023,043,937,578,299,025	1,478,157,455,158,044,452,849,321,016

Lihat pula

Gelanggang pembagian - gelanggang di mana setiap elemen bukan nol memiliki pembalikan perkalian
Semigrup - struktur aljabar yang terdiri dari himpunan bersama dengan operasi biner asosiatif
Monoid - semigrup dengan elemen identitas
Gelanggang terner Planar - memiliki struktur gelung aditif dan perkalian
Masalah dalam teori lingkaran dan teori kuasigrup
Matematika Sudoku

Catatan

^ Smith, Jonathan D. H. (2007). An introduction to quasigroups and their representations. Boca Raton, Fla. [u.a.]: Chapman & Hall/CRC. hlm. 3, 26–27. ISBN 978-1-58488-537-5.
^ H. Rubin; J. E. Rubin (1985). Equivalents of the Axiom of Choice, II. Elsevier. hlm. 109.
^ Pflugfelder 1990, hlm. 2
^ Bruck 1971, hlm. 1
^ ^a ^b Damm, H. Michael (2007). "Totally anti-symmetric quasigroups for all orders n≠2,6". Discrete Mathematics. 307 (6): 715–729. doi:10.1016/j.disc.2006.05.033 .
^ Colbourn & Dinitz 2007, hlm. 497, definition 28.12
^ Smith, Jonathan D. H.; Romanowska, Anna B. (1999), "Example 4.1.3 (Zassenhaus's Commutative Moufang Loop)", Post-modern algebra, Pure and Applied Mathematics, New York: Wiley, hlm. 93, doi:10.1002/9781118032589, ISBN 978-0-471-12738-3, MR 1673047 .
^ McKay, Brendan D.; Meynert, Alison; Myrvold, Wendy (2007). "Small Latin squares, quasigroups, and loops" (PDF). J. Comb. Des. 15 (2): 98–119. CiteSeerX 10.1.1.151.3043 . doi:10.1002/jcd.20105. Zbl 1112.05018.

Referensi

Akivis, M. A.; Goldberg, Vladislav V. (2001). "Solution of Belousov's problem". Discussiones Mathematicae - General Algebra and Applications. 21 (1): 93–103. arXiv:math/0010175 . doi:10.7151/dmgaa.1030.
Bruck, R.H. (1971) [1958]. A Survey of Binary Systems. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-03497-3.
Chein, O.; Pflugfelder, H. O.; Smith, J.D.H., ed. (1990). Quasigroups and Loops: Theory and Applications. Berlin: Heldermann. ISBN 978-3-88538-008-5.
Colbourn, Charles J.; Dinitz, Jeffrey H. (2007), Handbook of Combinatorial Designs (edisi ke-2nd), Boca Raton: Chapman & Hall/ CRC, ISBN 978-1-58488-506-1
Dudek, W.A.; Glazek, K. (2008). "Around the Hosszu-Gluskin Theorem for n-ary groups". Discrete Math. 308 (21): 4861–76. arXiv:math/0510185 . doi:10.1016/j.disc.2007.09.005.
Pflugfelder, H.O. (1990). Quasigroups and Loops: Introduction. Berlin: Heldermann. ISBN 978-3-88538-007-8.
Smith, J.D.H. (2007). An Introduction to Quasigroups and their Representations. Chapman & Hall/CRC Press. ISBN 978-1-58488-537-5.
Shcherbacov, V.A. (2017). Elements of Quasigroup Theory and Applications. Chapman & Hall/CRC Press. ISBN 978-1-4987-2155-4.
Smith, J.D.H.; Romanowska, Anna B. (1999). Post-Modern Algebra. Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-12738-3.

Pranala luar

[1] Smith, Jonathan D. H. (2007). An introduction to quasigroups and their representations. Boca Raton, Fla. [u.a.]: Chapman & Hall/CRC. hlm. 3, 26–27. ISBN 978-1-58488-537-5.

[2] H. Rubin; J. E. Rubin (1985). Equivalents of the Axiom of Choice, II. Elsevier. hlm. 109.

[3] Pflugfelder 1990, hlm. 2

[4] Bruck 1971, hlm. 1

[Damm2007-5] Damm, H. Michael (2007). "Totally anti-symmetric quasigroups for all orders n≠2,6". Discrete Mathematics. 307 (6): 715–729. doi:10.1016/j.disc.2006.05.033 .

[6] Colbourn & Dinitz 2007, hlm. 497, definition 28.12

[7] Smith, Jonathan D. H.; Romanowska, Anna B. (1999), "Example 4.1.3 (Zassenhaus's Commutative Moufang Loop)", Post-modern algebra, Pure and Applied Mathematics, New York: Wiley, hlm. 93, doi:10.1002/9781118032589, ISBN 978-0-471-12738-3, MR 1673047 .

[8] McKay, Brendan D.; Meynert, Alison; Myrvold, Wendy (2007). "Small Latin squares, quasigroups, and loops" (PDF). J. Comb. Des. 15 (2): 98–119. CiteSeerX 10.1.1.151.3043 . doi:10.1002/jcd.20105. Zbl 1112.05018.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]