Proprietà dell'intersezione finita

La proprietà dell'intersezione finita in topologia è una proprietà di alcune famiglie non vuote di insiemi non vuoti.

Definizione

Sia ${\mathcal {H}}$ una famiglia non vuota di insiemi non vuoti, si dice che ${\mathcal {H}}$ ha la proprietà dell'intersezione finita (PIF) se per ogni sottoinsieme finito $\{\mathrm {A} _{1},...,\mathrm {A} _{n}\}\subseteq {\mathcal {H}}$ si ha che $\mathrm {A} _{1}\cap ...\cap \mathrm {A} _{n}\neq \emptyset$.

Teoremi e risultati

Dato $\mathrm {X} \neq \emptyset$, sia ${\mathcal {H}}\subset {\mathfrak {P}}(\mathrm {X} )$ una famiglia di sottoinsiemi di $\mathrm {X}$. Se ${\mathcal {H}}$ ha la PIF, allora l'insieme ${\mathcal {F}}=\{\mathrm {A} \subseteq \mathrm {X} :\exists \mathrm {A} _{1},...,\mathrm {A} _{n}\in {\mathcal {H}}:\mathrm {A} _{1}\cap ...\cap \mathrm {A} _{n}\subseteq \mathrm {A} \}$ è un filtro su $\mathrm {X}$

Lemma dell'ultrafiltro

Dato $\mathrm {X} \neq \emptyset$, sia ${\mathcal {H}}\subset {\mathfrak {P}}(\mathrm {X} )$ una famiglia di sottoinsiemi di $\mathrm {X}$ con la PIF, allora ${\mathcal {H}}$ è contenuto in un ultrafiltro.

La proprietà dell'intersezione finita viene usata nelle dimostrazioni di alcuni risultati come il teorema di compattezza semantica.