differentialligning

Et simpelt eksempel er ligningen \[u'(t) = a u (t)\] hvor \(a\) er en given konstant, som angiver, at størrelsen \(u'(t)\) ændres med en hastighed proportional med \(u(t)\); \(t\) betegner tiden. Løsningerne til ligningen er funktionerne \(u(t) = c e^{at}\), hvor \(c\) er en konstant, og \(e^x\) betegner den naturlige eksponential- funktion. For \(a>0\) kan ligningen fx beskrive udviklingen af en kapital indsat i en bank til en bestemt rente, for \(a < 0\) beskrives fx henfaldet af stråling fra et radioaktivt materiale. I stedet for \(u'\) skrives også \(\frac{d u}{d t}\). I sådanne ligninger kan der også indgå højere afledede af \(u\), altså \[u''(t) = \frac{d^2u}{d t^2}, \ u'''(t) = \frac{d^3u}{d t^3}\] osv. Den højeste differentiationsorden, der indgår i ligningen, kaldes dens orden.

Nogle af de vigtigste lineære partielle differentialligninger indeholder Laplace-operatoren \(\Delta\), defineret ved \[\Delta u = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2_1} + \frac{\partial^2 u}{\partial x^2_2}+\dots + \frac{\partial^2 u}{\partial x^2_n}\] for funktioner \(u(x)\) af \(n\) reelle variable \(x=(x_1,x_2,...,x_n)\). Vigtig er Poissons ligning \(\Delta u = f\), hvor \(f\) er en kendt funktion af \(x\). Det samme gælder ligninger, hvori der optræder en tidsparameter \(t\), som fx bølgeligningen \[\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}(x,t)-c\Delta u(x,t) = f(x,t),\] der for \(f=0\) beskriver lysbølgers udbredelse i vakuum (\(c\) = lyshastigheden), og varmeledningsligningen \[\frac{\partial u}{\partial t} (x,t) – \Delta u(x,t) = f(x,t),\] der beskriver varmeudbredelse og andre diffusionsprocesser. Poissons ligning med \(f=0\) (kaldet Laplace-ligningen) opfyldes fx af et elektrisk potential i en metalgenstand.

Når løsningen søges bestemt for \(x\) i en delmængde \(\Omega\) af \(\mathbb{R}^n\), pålægges en randbetingelse på randen af \(\Omega\), fx at \(u\) skal være lig med en foreskrevet funktion dér (Dirichlet-betingelsen). For varmeledningsligningen må der endvidere pålægges en begyndelsesbetingelse, for at \(u\) skal være entydigt fastlagt til senere tidspunkter \(t > t_0\), og ved bølgeligningen må man foreskrive to begyndelsesværdier \(u\) og \(\frac{\partial u}{\partial t}\) til \(t=t_0\) for at få entydig løsning for generelle \(t\).

Poissons ligning er prototypen på såkaldte elliptiske differentialligninger, bølgeligningen er typisk for hyperbolske differentialligninger, og varmeledningsligningen er typisk for parabolske differentialligninger.

Differentiationsudtryk såsom \(\Delta\), \(\frac{\partial^2}{\partial t} – \Delta\) og \(\frac{\partial}{\partial t^2} – \Delta\) kaldes i moderne terminologi differentialoperatorer.

For elliptiske problemer finder man ofte, at selvom der ikke er entydig løselighed, er der eksistens af løsning for alle højre sider \(f\), der opfylder et bestemt sæt af \(N\) lineære betingelser, og løsningen er entydigt bestemt på nær en addend i et bestemt vektorrum af endelig dimension \(M\). Problemet kaldes et Fredholm problem, og tallet \(M-N\) kaldes problemets indeks. Bestemmelsen af indeks er nært forbundet med geometriske egenskaber ved problemstillingen; en berømt sætning er Atiyah-Singers indekssætning.

De hyperbolske og parabolske problemer er entydigt løselige under passende betingelser. Her interesserer man sig for, hvordan særlige egenskaber ved begyndelsesværdierne viser sig i løsningens udseende, når \(t\) vokser (for bølgeligningen: udbredelse af singulariteter, "signaler").

Schrödingerligningen \[i \frac{\partial u}{\partial t}-\Delta u + Vu = 0\] minder til dels om varmeledningsligningen, men koefficienten \(i\) (den imaginære enhed) ændrer typen radikalt; ligningen har også fællestræk med hyperbolske problemer. Den studeres i kvantemekanik i beskrivelsen af mange-legeme-problemet; \(V\) repræsenterer her en potentialfunktion.

Løsning af første ordens problemer (hvor kun \(u\) og \(\frac{\partial u}{\partial x_1}, ..., \frac{\partial u}{\partial x_n}\) indgår) er enklere end ovennævnte anden ordens tilfælde og kan i små områder udføres ved direkte integration (Hamilton-Jacobis metode).

Løsningsformler for partielle differentialligninger er ofte givet ved integraler, fx giver følgende integraler for \(n=3\) løsninger til hhv. Poissons ligning, varmeledningsligningen (med \(f=0\) og begyndelsesværdi \(v\) til \(t=0\)) og bølgeligningen (med \(c=1\)):

\[\begin{align} &u(x) = -\frac{1}{4\pi} \int \frac{f(y)}{|x-y|} dy, \\ &u(x,t) = (4\pi t)^{-3/2} \int e^{-|x-y|^{2/4t}} v(y) dy, \\ &u(x,t) = \int \frac{f(x-y, t-|y||)}{4\pi |y|} dy; \end{align}\]

her betegner \(|x|=(x_1^2+x_2^2+x_3^2)^{1/2}\). Sådanne afbildninger fra \(f\) til \(u\) (eller \(v\) til \(u\)) kaldes integraloperatorer.

I nyere tid har man udviklet en større ramme for teorien med indførelsen af pseudo-differentialoperatorer og Fourierintegraloperatorer, som omfatter såvel differentialoperatorer som integraloperatorer. Distributionsteori og Fourieranalyse er vigtige hjælpemidler. Studiet af udbredelse af singulariter for løsninger til hyperbolske problemer har ført til dybtgående teknikker under betegnelsen mikrolokal analyse. De lineære ligninger er ofte blot en første approksimation til mere nøjagtige ikke-lineære ligninger for de fysiske fænomener. Fx har man Navier-Stokes systemet \[\frac{\partial u_j}{\partial t} – \Delta u_j + \sum^3_{k=1} u_k \frac{\partial u_j}{\partial x_k} + \frac{\partial p}{\partial x_j} = f_j, \ j=1,2,3\\ \sum^3_{k=1} \frac{\partial u_k}{\partial x_k} = 0,\]

der beskriver strømningen i en væske (her er \((u_1, u_2, u_3)\) hastigheden og \(p\) trykket i et punkt, og \(f_1,f_2,f_3\) repræsenterer ydre kræfter). Den lineære approksimation, der fås ved at udelade leddet \[\sum^3_{k=1} u_k \frac{\partial u_j}{\partial x_k}\] er af parabolsk type, men er kun en god approksimation for små tidsintervaller, og der er uafklarede entydighedsspørgsmål for ligningen betragtet for \(t\) gående mod uendelig.

Differentialligninger optræder ofte i forbindelse med variationsregning, hvor man skal minimere et integral dannet af \(u\) og dens afledede; heraf udledes en differentialligning for \(u\) (Eulers differentialligning). Af denne art er ligningen for minimalflader (flader med en given rand og mindst muligt areal): \[\sum^n_{j=1} \frac{\partial}{\partial x_j} \Bigg(\frac{\partial u / \partial x_j}{\sqrt{\sum^n_{k=1} (\partial u / \partial x_k)^2}}\Bigg) = 0,\] igen et ikke-lineært eksempel. Det har Laplace-ligningens Dirichlet-problem som lineær approksimation, men er i modsætning til dette ikke altid løsbart.

• numerisk løsning af differentialligninger