商の微分公式をわかりやすく【例題・証明・覚え方】

商の微分公式より，

$$\begin{aligned}y'&=\dfrac{(3x)'(x+2)-(3x)(x+2)'}{(x+2)^2}\\ &=\dfrac{3(x+2)-3x}{(x+2)^2}\\ &=\dfrac{6}{(x+2)^2}\end{aligned}$$

$\left\{\dfrac{f(x)}{g(x)}\right\}'$ は，微分の定義より， $$\lim_{h\to 0}\dfrac{\frac{f(x+h)}{g(x+h)}-\frac{f(x)}{g(x)}}{h}$$ と等しい。分母と分子に $g(x)g(x+h)$ をかけると。 $$\lim_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)g(x)-f(x)g(x+h)}{h}\times\dfrac{1}{g(x)g(x+h)}$$ となる。2つめの分数は $h\to 0$ で $\dfrac{1}{\{g(x)\}^2}$ に収束する。

1つめの分数は，以下のように変形できる。 $$\dfrac{\{f(x+h)-f(x)\}g(x)-f(x)\{g(x+h)-g(x)\}}{h}$$

ただし，分子に $f(x)g(x)$ を足して引いた。この分数は，$h\to 0$ のとき $${f'(x)}g(x)-f(x){g'(x)}$$ に収束する（微分の定義）。

よって，2つの分数をあわせて結局 $$\left\{\dfrac{f(x)}{g(x)}\right\}'=\dfrac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2}$$

逆数の微分公式より $$y'=-\dfrac{(\log x)'}{(\log x)^2}=-\dfrac{1}{x(\log x)^2}$$

ただし，$(\log x)' = \dfrac{1}{x}$ であることを使った。

$\dfrac{1}{f(x)}$ の微分を定義に従って計算する。

$$\begin{aligned} \left\{\dfrac{1}{f(x)}\right\}' &= \lim_{h\to 0}\dfrac{\frac{1}{f(x+h)}-\frac{1}{f(x)}}{h}\\ &= \lim_{h\to 0}\dfrac{f(x)-f(x+h)}{hf(x)f(x+h)}\\ &= \lim_{h\to 0}-\dfrac{1}{f(x)f(x+h)}\cdot\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}\\ &=-\dfrac{f'(x)}{\{f(x)\}^2} \end{aligned}$$

$y=\dfrac{1}{f(x)}$ は，$y=\dfrac{1}{u}$ と $u=f(x)$ の合成関数として表せるので，合成関数の微分公式より $\left\{\dfrac{1}{f(x)}\right\}'=\dfrac{-1}{f(x)^2}\cdot f'(x)$ を得る。

$\dfrac{g(x)}{f(x)}$ を，$g(x)$ と $\dfrac{1}{f(x)}$ の積と見ることで，積の微分公式が使える：

$$\begin{aligned} \left\{\dfrac{g(x)}{f(x)}\right\}' &= g'(x)\dfrac{1}{f(x)}-g(x)\dfrac{f'(x)}{\left\{f(x)\right\}^2}\\ &= \dfrac{g'(x)f(x)-f'(x)g(x)}{\left\{f(x)\right\}^2} \end{aligned}$$