数学的帰納法

整数論の有名な公式：

連続する $n$ 個の整数の積は $n!$ の倍数である。

複数の関数の積の微分を効率よく行う公式

$f, g, h$ を $x$ の関数とする。関数の積は以下のように微分できる：

(i) $(fg)'=f'g+fg'$

(ii) $(fg)^{\prime\prime}=f^{\prime\prime}g+2f'g'+fg^{\prime\prime}$

(iii) $(fgh)'=f'gh+fg'h+fgh'$

イェンゼンの不等式（Jensen，凸関数の不等式）

$f(x)$ が凸関数のとき，

任意の $\lambda_i\geq 0,\:x_i\:(i=1,\cdots,n),\:\displaystyle\sum_{i=1}^n\lambda_i=1$

に対して，

${\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\lambda_if(x_i)}\geq f({\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\lambda_ix_i})$

包除原理：

$|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|$

$|A\cup B\cup C|\\ =|A|+|B|+|C|\\ -|A\cap B|-|B\cap C|-|C\cap A|\\ +|A\cap B\cap C|$

より一般に，

$|A_1\cup A_2\cup\cdots\cup A_n|$

$=\displaystyle\sum_{k=1}^n(-1)^{k-1}$（$k$個の「かつ」の総和）

$=\displaystyle\sum_{i}|A_i|-\sum_{i < j}|A_i\cap A_j|$

$+\sum_{i < j < k}|A_i\cap A_j\cap A_k|$

$-\cdots +(-1)^{n-1}|A_1\cap\cdots\cap A_n|$

ヴァンデルモンドの畳み込み：

以下の恒等式が成立する：

$\displaystyle\sum_{k=0}^n{}_p\mathrm{C}_k\cdot {}_q\mathrm{C}_{n-k}={}_{p+q}\mathrm{C}_n$

ただし，$p < k$ のとき ${}_p\mathrm{C}_k=0$ と約束する。

一筆書きの条件：

連結なグラフにおいて，

オイラーグラフ⇔全ての頂点の次数が偶数

準オイラーグラフ⇔次数が奇数であるものがちょうど2つ

フィボナッチ数列とは，1,1,2,3,5,8,13,21 のように，各項が「前の2つを足した値」になるような数列のこと。