部分分数分解の３通りの方法

公式1より， $$\dfrac{5x-1}{(x+1)(x-2)}=\dfrac{A}{x+1}+\dfrac{B}{x-2}$$ と分解できる。両辺に $(x+1)(x-2)$ をかけると，

$$\begin{aligned} 5x-1&=A(x-2)+B(x+1)\\ 5x-1&=(A+B)x+(-2A+B) \end{aligned}$$

これが恒等式となるので係数を比較して，
$A+B=5$，$-2A+B=-1$

この連立方程式を解くと，$A=2$，$B=3$

つまり，答えは $$\dfrac{5x-1}{(x+1)(x-2)}=\dfrac{2}{x+1}+\dfrac{3}{x-2}$$

分母を払うところまでは同じ：
$5x-1=A(x-2)+B(x+1)$

ここで，

• $x=2$ を代入すると，$9=3B$ より $B=3$
• $x=-1$ を代入すると，$-6=-3A$ より $A=2$

つまり，答えは $$\dfrac{5x-1}{(x+1)(x-2)}=\dfrac{2}{x+1}+\dfrac{3}{x-2}$$

$\dfrac{5x-1}{(x+1)(x-2)}$ に $x+1$ をかけて $x=-1$ を代入すると $\dfrac{-6}{-3}=2$ となる。$x-2$ をかけて $x=2$ を代入すると $\dfrac{9}{3}=3$ となる。よって，ヘビサイドの展開定理よ $$\dfrac{5x-1}{(x+1)(x-2)}=\dfrac{2}{x+1}+\dfrac{3}{x-2}$$

$\dfrac{1}{(x-2)(x-5)}$ の分母に着目して，分数の引き算をつくってみる：

$$\dfrac{1}{x-5}-\dfrac{1}{x-2}=\dfrac{x-2-x+5}{(x-2)(x-5)}$$

右辺の形を調節するために両辺を $3$ で割ると求める部分分数分解を得る。

$\dfrac{-5}{(2x-1)(x-2)}$ を部分分数分解すればよい。

分母に着目して分数の引き算をつくってみる（通分したときに分子の $x$ の項が消えるように調整）：

$$\begin{aligned} &\dfrac{2}{2x-1}-\dfrac{1}{x-2}\\ &=\dfrac{2x-4-2x+1}{(2x-1)(x-2)}\\ &=\dfrac{-3}{(2x-1)(x-2)} \end{aligned}$$

両辺を $\dfrac{5}{3}$ 倍すると求める部分分数分解を得る：

$$\dfrac{5}{3}\left(\dfrac{2}{2x-1}-\dfrac{1}{x-2}\right)=\dfrac{-5}{(2x-1)(x-2)}$$

$$\dfrac{1}{k(k+1)}=\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+1}$$

であるから，

$$\begin{aligned} &\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k(k+1)}\\ &= \sum_{k=1}^n \left(\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+1} \right) \\ &=\left(\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2} \right) +\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3} \right) +...+\left(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1} \right) \\ &=1-\dfrac{1}{n+1} = \dfrac{n}{n+1} \end{aligned}$$

$\dfrac{1}{x(x+1)}= \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{(x+1)}$ であるから，

$$\begin{aligned} \int^{2}_{1} \dfrac{1}{x(x+1)}dx &= \int^{2}_{1} \left(\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{x+1} \right)dx \\ &=\left[\log{x} \right]^2_1 -\left[\log{(x+1)} \right]^2_1 \\ &=(\log{2}-\log{1}) - (\log{3}-\log{2}) \\ &= 2\log{2}-\log{3} \end{aligned}$$