積和公式の導出と覚え方

サインの加法定理より

(a) $\sin (A+B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B$

(b) $\sin (A-B)=\sin A\cos B-\cos A\sin B$

この2つの式を辺々加えて両辺2で割ると，

$\dfrac{1}{2}\{\sin (A+B)+\sin (A-B)\}=\sin A\cos B$

となる。

コサインの加法定理より

$(\mathrm{c})$ $\cos (A+B)=\cos A\cos B-\sin A\sin B$

$(\mathrm{d})$ $\cos (A-B)=\cos A\cos B+\sin A\sin B$

$(\mathrm{d}) - (\mathrm{c})$ の両辺を2で割ると，

$\dfrac{1}{2}\{-\cos (A+B)+\cos(A-B)\}=\sin A\sin B$

$(\mathrm{c}) + (\mathrm{d})$の両辺を2で割ると，

$\dfrac{1}{2}\{\cos (A+B)+\cos(A-B)\}=\cos A\cos B$

積和の方式を繰り返し用いる。 $$\begin{aligned} &\cos 20^{\circ} \cos 40^{\circ} \cos 80^{\circ}\\ &= \dfrac{1}{2} (\cos 60^{\circ} + \cos 20^{\circ}) \cos 80^{\circ}\\ &= \dfrac{1}{4} \cos 80^{\circ} + \dfrac{1}{2} \cos 20^{\circ} \cos 80^{\circ}\\ &= \dfrac{1}{4} \cos 80^{\circ} + \dfrac{1}{4} (\cos 100^{\circ} + \cos 60^{\circ})\\ &= \dfrac{1}{4} (\cos 80^{\circ} + \cos 100^{\circ}) + \dfrac{1}{8}\\ &= \dfrac{1}{8} \end{aligned}$$