ベータ分布の意味と平均・分散の導出

ベータ分布は「コイン投げにおける表が出る確率の予測分布」という解釈ができます。

表が出る確率 $x$ が不明であるコインを何回か投げて，表が $m$ 回，裏が $n$ 回出たとします。このとき「表が出る確率の予測値」は，パラメータが $(a,b)=(m+1,n+1)$ であるベータ分布に従うと考えることができます(→注)。

例えば，

$(a,b)=(1,1)$ のときは，ベータ分布は青い直線のように一様分布になります。つまり，$m=n=0$ のとき（そもそもコインを投げていないとき）は「情報が全く無いので，$x$ は一様分布に従う」と解釈できます。

$(a,b)=(2,3)$ のときは，ベータ分布は赤い曲線のようになります。つまり，$m=1,n=2$ のときは「表が出る確率は $\dfrac{1}{3}$ に近そうだけど，試行回数が少ないので，$\dfrac{1}{3}$ からは遠い値かもしれない」と解釈できます。

$(a,b)=(4,7)$ のときは，ベータ分布は緑の曲線のようになります。つまり，$m=3,n=6$ のときは「表が出る確率は $\dfrac{1}{3}$ に近そうで，さきほどより試行回数が多いので，より自信を持って $\dfrac{1}{3}$ に近いと言える」と解釈できます。

注：上記は大雑把な説明です。より正確に言うと， 事前分布を一様分布とし，尤度が二項分布（コイン投げ）であるときの事後分析がベータ分布になります。

ベータ分布は，$a,b$ という2つのパラメータを持っています。 $a,b$ の値によって分布の形は大きく異なります。Wolfram Alphaでbetadistribution[a,b]と入力すればパラメータが $a,b$ のベータ分布の確率密度関数のグラフを見ることができます。 $a$ や $b$ をいろいろな値にして図示してみると楽しいです。

例えば，$a=b$ の場合，確率密度関数は $x=\dfrac{1}{2}$ に関して対称になります。

ベータ分布の確率密度関数

$f(x)=Cx^{a-1}(1-x)^{b-1}$

における $C$ は規格化定数です。

$C=\dfrac{1}{\int_0^1x^{a-1}(1-x)^{b-1}dx}$

です。

ベータ関数を使うと，$C=\dfrac{1}{B(a,b)}$ と表すことができます。また，$a,b$ が整数のとき，

$C=\dfrac{(a+b-1)!}{(a-1)!(b-1)!}$ となります。

ベータ分布の平均は $E[X]=\dfrac{a}{a+b}$ です。これは綺麗なので覚えておいてもよいでしょう。

ベータ分布の分散は $V[X]=\dfrac{ab}{(a+b)^2(a+b+1)}$ です。これは覚える必要はありません。

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