デカルトの葉線の漸近線と面積

$x^3+y^3-3axy=0$ を因数分解公式（因数分解の公式とテクニック一覧の後半の紫文字の公式）を用いて変形すると，

$(x+y+a)(x^2+y^2+a^2-xy-ya-ax)=a^3$

$(x+y+a)\{(x-y)^2+(y-a)^2+(a-x)^2\}=2a^3$

$a$ は定数であり，$|x|$ を大きくしていくと，左辺の2つめの因数はどんどん大きくなる。一方，右辺は一定である。よって，左辺の1つめの因数は $0$ に近づく必要がある。

つまり，$|x|$ が十分大きいとき $x+y+a\fallingdotseq 0$

極座標表示を用いる。

$S=\displaystyle\dfrac{1}{2}\int_0^{\frac{\pi}{2}}r^2d\theta\\ =\dfrac{9}{2}a^2\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{\sin^2\theta\cos^2\theta}{(\sin^3\theta+\cos^3\theta)^2}d\theta\\ =\dfrac{9}{2}a^2\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{\tan^2\theta}{(\tan^3\theta+1)^2}\cdot\dfrac{1}{\cos^2\theta}d\theta$

ここで，$\tan\theta=t$ とおくと，

$S=\dfrac{9}{2}a^2\displaystyle\int_0^{\infty}\dfrac{t^2}{(t^3+1)^2}dt\\ =\dfrac{9}{2}a^2\left[-\dfrac{1}{3(t^3+1)}\right]_0^{\infty}\\ =\dfrac{3}{2}a^2$