レイリー分布の期待値、分散、正規分布との関係

部分積分を使うと，期待値は，

$\dfrac{1}{\sigma^2}\displaystyle\int_0^{\infty}r\cdot re^{-\frac{r^2}{2\sigma^2}}dr\\ =\dfrac{1}{\sigma^2}\left[r\cdot(-\sigma^2)e^{-\frac{r^2}{2\sigma^2}}\right]_0^{\infty}+\dfrac{1}{\sigma^2}\displaystyle\int_0^{\infty}\sigma^2e^{-\frac{r^2}{2\sigma^2}}dr\\ =0+\dfrac{1}{2}\sqrt{\pi\cdot 2\sigma^2}\\ =\sigma\sqrt{\dfrac{\pi}{2}}$

期待値の導出とほぼ同じ。部分積分を使うと，

$E[R^2]=\dfrac{1}{\sigma^2}\displaystyle\int_0^{\infty}r^2\cdot re^{-\frac{r^2}{2\sigma^2}}dr\\ =0+\displaystyle\int_0^{\infty} 2r\cdot e^{-\frac{r^2}{2\sigma^2}}dr\\ =\left[-2\sigma^2e^{-\frac{r^2}{2\sigma^2}}\right]_0^{\infty}\\ =2\sigma^2$

よって，分散は

$E[R^2]-E[R]^2=2\sigma^2-\dfrac{\pi}{2}\sigma^2$

$X=x$，$Y=y$ となる確率は，正規分布の密度関数をかけ合わせたような形になる：

$P(X=x,Y=y)=\dfrac{1}{2\pi\sigma^2}\exp\left(-\dfrac{x^2+y^2}{2\sigma^2}\right)$

ここで，$(X,Y)$ から極座標 $(R,\Theta)$ に変数変換する。ヤコビアンは $r$ なので，

$P(R=r,\Theta=\theta)=\dfrac{r}{2\pi\sigma^2}\exp\left(-\dfrac{r^2}{2\sigma^2}\right)$

これは $\theta$ によらないので $\theta$ で積分すると $2\pi$ がかかるだけ：

$P(R=r)=\dfrac{r}{\sigma^2}\exp\left(-\dfrac{r^2}{2\sigma^2}\right)$

レイリー分布の確率密度関数となりました。