対数螺旋（等角螺旋）の長さと面積

以下，$a > 0$ とします。

• 対数螺旋という名前がついていますが，式に使われているのは対数ではなく指数です。

• $b$ が正のとき，$\theta$ が増加すると $r$ も増加します。$b$ が負のとき，$\theta$ が増加すると $r$ は減少します。 つまり，$b$ の符号によって渦巻きの向きが決まります（図は $b$ が負のとき）。

• 対数螺旋からいくつもの等比数列を作ることができます。

• 例えば，$90^{\circ}=\dfrac{\pi}{2}$ ごとに螺旋を区切っていくと，それらの点の原点からの距離 $r$ は $a,ae^{\frac{b\pi}{2}},ae^{b\pi},\cdots$ となり公比が $e^{\frac{b\pi}{2}}$ の等比数列をなします。

• この等比数列の公比が黄金比 $\phi=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$ であるような対数螺旋を黄金螺旋と言います。

• つまり，黄金螺旋とは $b=\dfrac{2}{\pi}\log\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$ であるような対数螺旋です。

以下，$\alpha <\beta$ とします。

極座標における面積公式： $S=\dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}r^2d\theta$ を使います。 →極方程式の面積公式と例題

極座標における曲線の長さの公式： $\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{r^2+\left(\dfrac{dr}{d\theta}\right)^2}d\theta$ を使います。 →曲線の長さを計算する積分公式（弧長積分）の記事末参照

$a=b=1$ とすると長さは

$\sqrt{2}(e^{\beta}-e^{\alpha})$

となります。 $\beta$ を固定して $\alpha\to -\infty$ とすると長さの極限値は $\sqrt{2}e^{\beta}$ となります。

つまり，対数螺旋の真ん中の部分は無限回ぐるぐる回っているが，その部分の長さは有限の値を取るという訳です。