増減表の書き方

ステップ1: $f'(x)$ の符号を調べる

微分すると，$f'(x)=3x^2-3$

符号を調べるために $f'(x)=0$ を解く。つまり，
$3x^2-3=0$
$x^2-1=0$
$(x+1)(x-1)=0$

よって，$f'(x)=0$ の解は $x=\pm 1$

そして，

• $x<-1$，$1<x$ のとき $f'(x) > 0$
• $-1<x<1$ のとき $f'(x) < 0$

ステップ2: 増減表を書く

ステップ1の結果をもとに，増減表を書いていく。

• 1行目は $x=-1,1$ とその間の区間のマスを書く
• 2行目は各区間における $f'(x)$ の符号（$+,0,-$）を書く
• 3行目は2行目の情報をもとに $f(x)$ の情報を書く（$f'(x)$ が $+$ なら右上，$-$ なら右下，$0$ なら具体的な値を書く）

$x=-1$ で極大値 $2$，$x=1$ で極小値 $-2$ を取ることが分かる。

ステップ2（改）: $f''(x)$ の符号を調べる。

$f'(x)=3x^2-3$ であったので，$f''(x)=6x$

よって，$f''(x)=0$ の解は $x=0$

また，

$x<0$ のとき $f''(x) < 0$

$x>0$ のとき $f''(x) > 0$

ステップ3: 増減表を書く。

まずはステップ1の情報をもとに $f'(x)$ の情報を書く（1行目と2行目）。

次にステップ2（改）の情報をもとに $f''(x)$ の情報を書く（3行目）。

最後に2行目と3行目の符号をもとに4行目を書く。

ステップ4: グラフを描く。

ステップ3で得た増減表の $f(x)$ の行を参考にすると，グラフの概形は図のようになる。

$x < 0$ のとき上に凸，$x > 0$ のとき下に凸，変曲点は $(0,0)$ であることが分かる。