入試数学コンテスト第2回第2問解答解説

更新 2021/10/30

第2問 [整式]

第2問

整式 $P(x)$ は $(x-1)^2$ で割った余りが $2x+5$ であり, $x+1$ で割った余りが $-5$ 　である。

(1) $P(x)$ を $x-1$ で割ったときの余りを求めよ。

(2) $P(x)$ を $x^2-1$ で割ったときの余りを求めよ。

(3) $P(x)$ を $(x-1)^2(x+1)$ で割ったときの余りを求めよ。

第2問は数2から整式に関する出題です。

基本問題であり、6問セットの中で最も落としてはいけない一題です。

第2問(1)

問題文の条件から $P(x) = (x-1)^2A(x)+2x+5 \tag{1}$ $P(x) = (x+1)B(x)-5 \tag{2}$ を満たす整式 $A(x), B(x)$ が存在する。

式(1)より

$P(x) = (x-1)^2A(x)+2(x-1)+7$

よって余りは7

式(1)(2)を立てることがこの大問のスタート地点です。

整式 $P(x)$ を一次式（ $x-1$ ）で割るとき, その余りは「一次未満（=定数）」になることも合わせて確認しておきましょう。

第2問(2)

整式 $P(x)$ を $x^2-1$ で割ったときの余りを $px+q$ （ $p,q$ ：定数）とするとき

$\begin{aligned} P(x) &= (x^2-1)C(x)+px+q \\ &= (x-1)(x+1)C(x)+px+q \tag{3} \end{aligned}$

を満たす整式 $C(x)$ が存在する。

式(1)および式(3)において $x=1$ とすると

$P(1) = 7 = p+q \tag{4}$

式(2)および式(3)において $x=-1$ とすると

$P(-1) = -5 = -p+q \tag{5}$

式(4),(5)を解いて

$p = 6, q = 1$

よって余りは $6x+1$

第2問でも式(3)を立てることがスタート地点です。 $x^2-1 = (x-1)(x+1)$ の形に注目して式(1)(2)を活かすことができれば正答できます。

問題文で与えられた情報はそう多くないわけですから, 式(3)を立てた後に式(1)(2)に戻って式を見比べるのは必然的に必要な作業です。

最後に(3)です。

整式 $P(x)$ を三次式 $(x-1)^2(x+1)$ で割るとき, その余りの次数は「三次未満」になることも合わせて確認しておきましょう。

すなわち, 高々二次式の整式 $R(x)$ （余り）を用いて,

$P(x) = (x-1)^2(x+1)D(x) + R(x)$

と表すことができます。

さらに, 問題文から整式 $P(x)$ は二次式 $(x-1)^2$ で割ったとき, 余りが $2x+5$ であることがわかっています。

第一項 $(x-1)^2(x+1)D(x)$ は $(x-1)^2$ で割り切れるので, $R(x)$ を $(x-1)^2$ で割ったときの余りが $2x+5$ であることまでわかります。

第2問(3)

問題文から, $P(x)$ は整式 $D(x)$ と定数 $a$ を用いて

$P(x) = (x-1)^2(x+1)D(x) \\+ a(x-1)^2 + 2x + 5 \tag{6}$

と表せる。

式(2)および式(6)において $x=-1$ とすると

$P(-1) = -5 = 4a+3 \\ \therefore a = -2$

よって余りは

$-2(x-1)^2 + 2x + 5 = -2x^2 +6x + 3$

この問題の基本テーマは剰余の定理です。

次の記事を読んで勉強しておきましょう。→剰余の定理