友愛数の意味と友愛数を生み出す公式

約数を列挙して足せばよい。

• $220$ の約数（から $220$ を除いたもの）を足すと，
  $1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284$
• $284$ の約数（から $284$ を除いたもの）を足すと，
  $1+2+4+71+142=220$

それぞれ相手と一致する。

約数の総和を求める公式を使うと，

• $220=2^2\times 5\times 11$ の約数の総和は，
  $(1+2+4)(1+5)(1+11)=504$
• $284=2^2\times 71$ の約数の総和は，
  $(1+2+4)(1+71)=504$

となり，$S(220)=S(284)=220+284$

$n\geq 2$ より，$p,q,r\geq 3$ である。よって，$p,q,r$ が素数のとき $2,p,q,r$ はすべて異なる素数である。

約数の総和を地道に計算すると，

$S(2^npq)-2^npq\\ =(1+2+\cdots +2^n)(1+p)(1+q)-2^npq\\ =(2^{n+1}-1)\times 3\times 2^{n-1}\times 3\times 2^n-2^npq\\ =9\times 2^{2n-1}(2^{n+1}-1)-2^n(3\times 2^{n-1}-1)(3\times 2^n-1)\\ =9\times 2^{3n}-9\times 2^{2n-1}-9\times 2^{3n-1}-2^n+3\times 2^{2n}+3\times 2^{2n-1}\\ =9\times 2^{3n-1}-2^n\\ =2^nr$

もう片方も，

$S(2^nr)-2^nr\\ =(2^{n+1}-1)\times 9\times 2^{2n-1}-2^nr\\ =(2^{n+1}-1)\times 9\times 2^{2n-1}-9\times 2^{3n-1}+2^n\\ =9\times 2^{3n}-9\times 2^{2n-1}-9\times 2^{3n-1}+2^n\\ =9\times 2^{3n-1}-9\times 2^{2n-1}+2^n\\ =2^n(9\times 2^{2n-1}-9\times 2^{n-1}+1)\\ =2^npq$