入試数学コンテスト第5回第1問解答解説

更新 2021/12/10

第1問 [三角比・確率]

問題

サイコロを3回振り，出た目を順に $a,b,c$ とする。 $S = \sin \dfrac{\pi}{a} \sin \dfrac{\pi}{b} \cos \dfrac{\pi}{c}$ とおく。

(1) $2 \cdot \dfrac{\pi}{5} = \pi - 3 \cdot \dfrac{\pi}{5}$ を用いることで $\sin \dfrac{\pi}{5}$ を求めよ。

(2) $S=0$ となる確率を求めよ。

(3) $S$ が整数となる確率を求めよ。

(4) $S$ が有理数となる確率を求めよ。

第1問は三角比と確率の問題です。

まずは頻出の $\sin \dfrac{\pi}{5}$ を計算させる問題です。

第1問 (1)

$2 \cdot \dfrac{\pi}{5} = \pi - 3 \cdot \dfrac{\pi}{5}$ より $\sin \left( 2 \cdot \dfrac{\pi}{5} \right) = \sin \left( \pi - 3 \cdot \dfrac{\pi}{5} \right)$ である。

よって $\begin{aligned} \sin \left( 2 \cdot \dfrac{\pi}{5} \right) &= \sin \left( \pi - 3 \cdot \dfrac{\pi}{5} \right)\\ &= \sin \left( 3 \cdot \dfrac{\pi}{5} \right)\\ 2 \sin \dfrac{\pi}{5} \cos \dfrac{\pi}{5} &= 3 \sin \dfrac{\pi}{5} - 4 \sin^3 \dfrac{\pi}{5} \\ 2 \cos \dfrac{\pi}{5} &= 3 - 4 \sin^2 \dfrac{\pi}{5}\\ &= 3 - 4 \left(1 - \cos^2 \dfrac{\pi}{5} \right)\\ &= 4 \cos^2 \dfrac{\pi}{5} -1 \end{aligned}$ であるため $\cos \dfrac{\pi}{5}$ は $4 t^2 -2t-1=0$ の解である。

$0 < \cos \dfrac{\pi}{5} <1$ に注意すると $\cos \dfrac{\pi}{5} = \dfrac{1+ \sqrt{5}}{4}$ である。

$\sin \dfrac{\pi}{5} = \sqrt{1 - \cos^2 \dfrac{\pi}{5}}$ より $\sin \dfrac{\pi}{5} = \dfrac{1}{2} \sqrt{\dfrac{5-\sqrt{5}}{4}}$ である。

$\sin \dfrac{\pi}{5}$ の計算ですが，この手法の他に，角度が $36^{\circ},72^{\circ},72^{\circ}$ の二等辺三角形の辺の比が $1:\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}:\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$ である事実を使う手法もあります。

詳しくは覚えておくと便利な三角比の値を読んでみてください。

(2) からは確率の問題になります。

必要になる三角比は $\begin{aligned} \cos \dfrac{\pi}{1} = -1 &, \sin \dfrac{\pi}{1} =0\\ \cos \dfrac{\pi}{2} = 0 &, \sin \dfrac{\pi}{2} =1\\ \cos \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2} &, \sin \dfrac{\pi}{3} =\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\ \cos \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} &, \sin \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\\ \cos \dfrac{\pi}{5} = \dfrac{1+ \sqrt{5}}{4} &, \sin \dfrac{\pi}{5} = \dfrac{1}{2} \sqrt{\dfrac{5-\sqrt{5}}{4}}\\ \cos \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} &, \sin \dfrac{\pi}{6} =\dfrac{1}{2} \end{aligned}$ です。早速解答を確認していきましょう。

第1問 (2)

$\cos \dfrac{\pi}{2} =0, \sin \pi = 0$ であるため， $S \neq 0$ となるのは， $a \neq 2$ かつ $b\neq 2$ かつ $c \neq 1$ のときである。余事象を考えると $S=0$ となる確率は $1 - \left(\dfrac{5}{6} \right)^3 = \dfrac{91}{216}$ である。

(2) は余事象を活用する問題でした。(3)(4)は丁寧に場合分けをしていく問題です。

第1問 (3)

$c=1$ のとき

$S = \sin \dfrac{\pi}{a} \sin \dfrac{\pi}{b}$ であるため， $S$ が整数となるのは，次のいずれか。

$\sin \dfrac{\pi}{a} = \sin \dfrac{\pi}{b} = 1$ のとき。すなわち $S=0$ のとき。
$\sin \dfrac{\pi}{a}$ か $\sin \dfrac{\pi}{b}$ が $0$ のとき。すなわち $S$ が $0$ ではない整数のとき。

1つ目の出方は1通り，2つ目の出方は11通りある。

$c=2$ のとき

$\cos \dfrac{\pi}{c} = 0$ であるため， $a,b$ によらず $S$ は整数になる。よってこのときの出方は36通りになる。

$c = 3,4,5,6$ のとき

$0 < \cos \dfrac{\pi}{c} <1$ であるため， $S$ が整数になるのは $\sin \dfrac{\pi}{a}$ が $0$ になるときか $\sin \dfrac{\pi}{b}$ が $0$ になるときである。固定した $c$ に対して出方は11通りとなる。

$c$ として4通り目を取ることができるため，この条件下で $S$ が整数になる目の出方は44通りであることがわかる。

以上をまとめると， $S$ が整数となるような目の出方は $1+11+36+44 = 92$ となる。こうして求める確率は $\dfrac{92}{216} = \dfrac{23}{54}$ だとわかる。

サインとコサインは1より大きい値を取らないことから， $c=3,4,5,6$ のパターンが簡単に計算できます。しかし次の問題は $S$ が有理数となるときです。同じ手は通じません。より丁寧に場合分けをする必要があります。

第1問 (3)

$c=2$ のとき

$\cos \dfrac{\pi}{c} = 0$ であるため， $a,b$ によらず $S$ は有理数になる。よってこのときの出方は36通りになる。

$c = 1,3$ のとき

このとき， $\cos \dfrac{\pi}{c}$ は $1$ もしくは $\dfrac{1}{2}$ なので， $\sin \dfrac{\pi}{a} \sin \dfrac{\pi}{b}$ が有理数であればよい。

$S=0$ になるときを考える。これは (3) のときと同様であるため，11通りである。

$S \neq 0$ で $S$ が有理数であるときを考える。

$\sin \dfrac{\pi}{a} , \sin \dfrac{\pi}{b}$ がどちらも有理数の時は， $a,b = 1,6$ のときである。よって4通りとなる。どちらも無理数で積が有理数となるときは， $a=b=3$ もしくは $a=b=4$ のときで2通りである。

上記をまとめて $c=1,3$ のとき， $S$ が有理数となるのは $(11+4+2) \times 2 = 34$ 通りである。

$c=6$ のとき

$S = \sin \dfrac{\pi}{a} \sin \dfrac{\pi}{b} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ が有理数となる場合を求める。

$S = 0$ のときは $a$ もしくは $b$ が $1$ のときであるので，出方は11通りである。

$S \neq 0$ のときは， $\sin \dfrac{\pi}{a}, \sin \dfrac{\pi}{b}$ の一方は $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ でもう一方は( $0$ ではない)有理数になるときを考えればよい。 $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ となるのは $3$ が出たときで，( $0$ ではない)有理数となるのは $2,6$ が出たときである。よって出方は $1 \times 2 \times 2 =4$ 通りとなる。

以上を合わせると15通りとなる。

$c = 4$ のとき

$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ を $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ に置き換えた場合であるため， $c=6$ のときと同じである。よって15通り。

$c=5$ のとき

$S = \sin \dfrac{\pi}{a} \sin \dfrac{\pi}{b} \cdot \dfrac{1+ \sqrt{5}}{4}$ が有理数となる場合を求める。

$S = 0$ となるのはこれまでと同様に11通りである。

$S \neq 0$ で有理数となることはない。実際 $\sin \dfrac{\pi}{a} \sin \dfrac{\pi}{b}$ が $\sqrt{5}-1$ に有理数を掛けたものになる必要があるが，各パターンを見たときそのようになる組み合わせはない。

よってこのときは11通りありえる。

以上をまとめると $S$ が有理数になる組み合わせは $36+34+15+15+11 = 111$ 通りとなって，求める確率は $\dfrac{111}{216} = \dfrac{37}{72}$ となる。

数え損ねをした人が多いようでした。例えば $c= 1,3$ のうち片方の場合の数が入っていない解答や $\sin \dfrac{\pi}{a} \sin \dfrac{\pi}{b} = 0$ となる場合の考慮ミスが見られます。

このようなタイプの問題を間違えないコツとして「計算用紙を贅沢に使う」というものがあります。これで惜しいミスがグッと減ります。