楕円体・回転楕円体の意味と体積・表面積

$$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$$

を $x$ 軸のまわりに回転させた立体 $V$ を考える（$y$ 軸まわりの回転も同様）。

$(x,y,z)$ が $V$ に含まれる
$\iff$ $(x,0,0)$ と $(x,y,z)$ の距離が $y_0=b\sqrt{1-\dfrac{x^2}{a^2}}$ 以下
$\iff$ $y^2+z^2\leq b^2\left(1-\dfrac{x^2}{a^2}\right)$
$\iff$ $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{b^2}\leq 1$

これは，回転楕円体の式。

楕円体 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}\leq 1$ を $y$ 軸方向に $\dfrac{a}{b}$ 倍に拡大し，$z$ 軸方向に $\dfrac{a}{c}$ 倍に拡大すると，

$$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{a^2}+\dfrac{z^2}{a^2}\leq 1$$

になる。 これは半径 $a$ の球であるので，体積は $\dfrac{4}{3}\pi a^3$

よって，拡大前の楕円体の体積は

$$\dfrac{4}{3}\pi a^3\times\dfrac{b}{a}\times\dfrac{c}{a}=\dfrac{4}{3}\pi abc$$

$x=x_0$ から $x_0+\Delta x$ の間にある部分の表面積を考える。この部分は $\Delta x$ が十分小さいとき「長さが $2\pi y_0$ で太さが $\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}$ の帯」とみなせるので，表面積は

$$2\pi y_0\sqrt{1+\left(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\right)^2}\Delta x$$

よって，積分すると

$$S=\int_{-a}^a 2\pi y\sqrt{1+y'^2}dx$$

まず，被積分関数を $x$ で表す。

• $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ より $y^2=b^2\left(1-\dfrac{x^2}{a^2}\right)$
• また，これを $x$ で微分すると $2yy'=\dfrac{-2b^2x}{a^2}$

以上より，

$$S = 4\pi \int_0^a \sqrt{b^2-\dfrac{b^2x^2}{a^2}+\dfrac{b^4}{a^4}x^2}dx$$

ここで，$a> b$ の場合，上式は

$$4\pi b \int_0^a\sqrt{1-\dfrac{\varepsilon_1^2}{a^2}x^2}dx$$

$x=\dfrac{a\sin\theta}{\varepsilon_1}$ と置換すると，

$$\begin{aligned} S &= \dfrac{4\pi ab}{\varepsilon_1}\displaystyle\int_0^{\theta_0}\cos^2\theta d\theta\\ &= \dfrac{2\pi ab}{\varepsilon_1}\left(\theta_0+\dfrac{\sin 2\theta_0}{2}\right)\\ &= \dfrac{2\pi ab}{\varepsilon_1}\left(\theta_0+\sin\theta_0\cos\theta_0\right) \end{aligned}$$

ただし，$\varepsilon_1=\sin\theta_0$ と， $$\begin{aligned} \cos\theta_0 &= \sqrt{1-\sin^2\theta_0}\\ &= \sqrt{1-\varepsilon_1^2}\\ &= \sqrt{\dfrac{b^2}{a^2}} \end{aligned}$$

より

$$\begin{aligned} S&=\dfrac{2\pi ab}{\varepsilon_1} \left( \theta_0+\varepsilon_1\cdot\dfrac{b}{a} \right)\\ &= 2\pi\left(b^2+\dfrac{ab\mathrm{Arcsin} (\varepsilon_1)}{\varepsilon_1}\right) \end{aligned}$$

$a<b$ の場合も同様に計算できる。