ディオファントス近似にまつわる入試問題

与式の両辺を $2y^2$ 倍すると

$$0 < |y^2 - 2xy| < 2$$

となる。$x,y$ は自然数であるため $y(y-2x)$ も整数である。

不等式から $|y(y-2x)| = 1$ である。特に $y$ は正であるため $y|y-2x| = 1$ である。

$y$，$|y-2x|$ はどちらも正の整数であるため，$y = 1$ である。よって $1-2x= \pm 1$ で $x=1$ を得る。

こうして $(x,y) = (1,1)$ となる。

与式の両辺を $2y^2$ 倍すると

$$|y^3 - 2x^2y| < 4$$

となる。$x,y$ は自然数であるため $y |y^2-2x^2| = 0,1,2,3$ である。

1. $y|y^2 - 2x^2| = 0$ のとき

$y$ は自然数であるため $y^2 - 2x^2 = 0$ である。このとき $\dfrac{y}{x} = \sqrt{2}$ となるが，$\sqrt{2}$ の無理数性から不適である。

2. $y|y^2 - 2x^2| = 1$ のとき

$y$，$|y^2 - 2x^2|$ は正の整数であるため，$y = 1$ である。

よって $|1-2x^2|=1$ である。これは $2x^2 = 0,2$ である。$x$ は自然数であるため $x = 1$ である。こうして $(x,y) = (1,1)$ を得る。

3. $y|y^2 - 2x^2| = 2$ のとき

$y = 1,2$ である。

$y=1$ のとき $|1-2x^2|=2$ である。

絶対値を外すと，$1-2x^2 = \pm 2$ で $x^2 = \dfrac{3}{2} , - \dfrac{1}{2}$ となる。どちらも場合も $x$ が自然数となることはない。

$y=2$ のとき $|4-2x^2|=1$ である。

左辺は $2|2-x^2|$ となりこれは $2$ の倍数である。一方右辺は $1$ であり，これらは矛盾する。

4. $y|y^2 - 2x^2| = 3$ のとき

$y = 1,3$ である。

$y=1$ のとき $|1-2x^2|=3$ である。

絶対値を外すと，$1-2x^2 = \pm 3$ で $x^2 = 2,-1$ となる。どちらも場合も $x$ が自然数となることはない。

$y=3$ のとき $|9-2x^2| = 1$ である。

絶対値を外すと，$9-2x^2 = \pm 1$ で $x^2 = 4,-5$ となる。$x^2=4$ のとき，自然数解 $x=2$ を得る。こうして $(x,y) = (2,3)$ を得る。

$\;$

以上より $(x,y) = (1,1),(2,3)$ が解となる。

$$\begin{aligned} \left| \dfrac{a}{b} + \sqrt{7} \right| &= \left| \dfrac{a}{b} - \sqrt{7} + 2\sqrt{7} \right|\\ &\leqq \left| \dfrac{a}{b} - \sqrt{7} \right| + 2\sqrt{7}\\ &< \dfrac{2}{b^4} + 2\sqrt{7}\\ &< \dfrac{2}{2^4} + 2 \times 2.646\\ &= 5.312\\ &< 6 \end{aligned}$$

(1) より $$\left| \dfrac{a^2}{b^2} - 7 \right| = \left| \dfrac{a}{b} + \sqrt{7} \right| \times \left| \dfrac{a}{b} - \sqrt{7} \right| < \dfrac{12}{b^4}$$ である。

両辺に $b^4$ を掛けると $$b^2 |a^2 - 7 b^2| < 12$$ となる。

$3^2 < 12 < 4^2$ と $b > 2$ より $b = 2,3$ である。

• $b = 2$ のとき

不等式は $$|a^2 - 28| < 3$$ となる。これを解くと $25 < a^2 < 31$ である。これを満たす整数 $a$ は存在しない。

• $b=3$ のとき

不等式は $$|a^2 - 63| < \dfrac{4}{3}$$ となる。$a^-63$ は整数であるため $|a^2 - 63| = 0,1$ である。

絶対値を外すと $a^2 = 62,63,64$ となる。このうち $a$ が自然数となるのは $a = 8$ のときである。

$\;$

以上より $(a,b) = (8,3)$ を得る。

$$|a_{n+1} - x a_n| < \dfrac{1}{a_n}$$ を示せばよい。

$x^2 - x - 1 = 0$ の解は $\dfrac{1\pm \sqrt{5}}{2}$ である。$y = \dfrac{1 - \sqrt{5}}{2}$ とおく。

このとき漸化式から $$\begin{cases} a_{n+2} - x a_{n+1} = y (a_{n+1} - x a_n)\\ a_{n+2} - y a_{n+1} = x (a_{n+1} - y a_n) \end{cases}$$ を得る。

これより $$\begin{cases} a_{n+1} - x a_n = y^n\\ a_{n+1} - y a_n = x^n \end{cases}$$

これを解くことで $a_n = \dfrac{x^n - y^n}{\sqrt{5}}$ を得る。

また $$|a_{n+1} - xa_n| = |y|^{n}$$ を得る。

$$\begin{aligned} & |y|^n < \dfrac{1}{a_n}\\ \Longleftrightarrow \ & |y|^n < \dfrac{\sqrt{5}}{x^n - y^n}\\ \Longleftrightarrow \ & |xy|^n - y^{2n} < \sqrt{5}\\ \Longleftrightarrow \ & 1 - y^{2n} < \sqrt{5} \end{aligned}$$ となるが，$|y| = \dfrac{\sqrt{5}-1}{2} < 1$ より最後の不等式は成立し，最初の不等式が従う。

こうして $$|a_{n+1} - xa_n| < \dfrac{1}{a_n}$$ が示された。