行列のスペクトル分解

$A=\begin{pmatrix}3&1\\1&3\end{pmatrix}$ をスペクトル分解すると，

$$A=4\times\begin{pmatrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{pmatrix}+2\times\begin{pmatrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{pmatrix}$$

となります。

• 固有値 $4$ に対応する固有空間 $W_{4}=\{\overrightarrow{x}\mid x_1=x_2\}$ への射影行列が $\begin{pmatrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{pmatrix}$ です。
• 固有値 $2$ に対応する固有空間 $W_{2}=\{\overrightarrow{x}\mid x_1=-x_2\}$ への射影行列が$\begin{pmatrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{pmatrix}$ です。

スペクトル分解すると，$A$ の性質が以下のようにわかります：
$A$ による変換は $x_1=x_2$ 方向の成分を $4$ 倍して$x_1=-x_2$ 方向の成分を $2$ 倍するような変換。

補足：射影行列について

スペクトル分解は，射影行列の知識があると理解しやすいです。ぜひ 射影行列のイメージと楽しい公式 を見てください。その記事では $\begin{pmatrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{pmatrix}$ が $x_1=x_2$ への直交射影であるという意味も詳しく解説しています。

スペクトル分解 $A=\displaystyle\sum_{i=1}^N\lambda_iP_{\lambda_i}$ に対して以下が成立します。

$P_{\lambda_i}$ は「$W_{\lambda_i}$ の成分を取り出す操作」に対応するので，1～3は以下のように解釈できます。

1. 「$W_{\lambda_i}$ の成分を取り出す操作」は $2$ 回繰り返しても $1$ 回でも結果は同じ。
2. 「$W_{\lambda_i}$ の成分を取り出す操作」と「$W_{\lambda_j}$ の成分を取り出す操作」を両方すると $\overrightarrow{0}$ になる。
3. 「$W_{\lambda_i}$ の成分を取り出した結果」を全成分ぶん足しあげるもとに戻る。

いずれも妥当ですね。

$A=\displaystyle\sum_{i=1}^N\lambda_iP_{\lambda_i}$ とスペクトル分解できれば，さきほどの性質1,2を使うことで $$A^n=\displaystyle\sum_{i=1}^N\lambda_i^nP_{\lambda_i}$$ となるので，$n$ 乗の計算が簡単にできます。

※スペクトル分解が与えられたもとで行列の $n$ 乗を計算する問題は，大学入試でも昔よく出題されていました。

冒頭の主張は以下のようにも表せます。

※ $A$ は正規行列なので，固有ベクトルたちをうまく取れば正規直交基底を作れます。→正規行列の意味と3つの代表例

正規行列がスペクトル分解できること（固有ベクトルによる表現）を証明します。

つまり，スペクトル分解とは，ユニタリ行列で対角化した式を少し変形したものに過ぎません。