線型写像の表現行列とその例

例えば $$\begin{aligned} f \left( e_{1}^{(n)} \right) &= A \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11} \\ a_{21} \\ \vdots \\ a_{m1} \end{pmatrix} \\ &= a_{11} \begin{pmatrix} 1\\0\\ \vdots\\ 0 \end{pmatrix} + \cdots + a_{m1} \begin{pmatrix} 0 \\ \vdots \\ 0\\ 1 \end{pmatrix}\\ &= a_{11} e_{1}^{(m)} + \cdots + a_{m1} e_{m}^{(m)} \end{aligned}$$ となる。同じように計算すると $$\begin{cases} f \left( e_{1}^{(n)} \right) = a_{11} e_{1}^{(m)} + \cdots + a_{m1} e_{m}^{(m)}\\ f \left( e_{2}^{(n)} \right) = a_{12} e_{1}^{(m)} + \cdots + a_{m2} e_{m}^{(m)}\\ \; \vdots\\ f \left( e_{n}^{(n)} \right) = a_{1n} e_{1}^{(m)} + \cdots + a_{mn} e_{m}^{(m)} \end{cases}$$ である。

よって表現行列は $$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}$$ であり，元の行列 $A$ と一致する。

$$\begin{aligned} \phi (1) &= 0 + x^3 = x^3\\ \phi (x) &= 1 + 0 = 1\\ \phi (x^2) &= 2x + 0 = 2x\\ \phi (x^3) &= 3x^2 + 0 = 3x^2\\ \end{aligned}$$ より表現行列は $$\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 3\\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

※ 余談ですが，対角化をうまく用いると表現行列が対角行列になる基底を求めることができます。

2つの基底 $\{ v_1' , \cdots , v_n' \}$，$\{ v_1 , \cdots , v_n \}$ を任意に取り，それらによる基底の変換行列を $A = (a_{ij})$ とおく。

$A$ のランクが $n$ 未満であると仮定する。

$A$ を $n$ 本の列ベクトル $$\left\{ \begin{pmatrix} a_{11} \\ a_{21} \\ \vdots \\ a_{n1} \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} a_{12} \\ a_{22} \\ \vdots \\ a_{n2} \end{pmatrix}, \cdots , \begin{pmatrix} a_{1n} \\ a_{2n} \\ \vdots \\ a_{nn} \end{pmatrix} \right\}$$ だとみなすと，ランクが $n$ 未満であることから，この $n$ 本は線型従属である。$\cdots \ (\ast)$

定義より $$\begin{cases} v_1' = a_{11} v_1 + a_{12} v_2 + \cdots + a_{1n} v_n\\ v_2' = a_{21} v_1 + a_{22} v_2 + \cdots + a_{2n} v_n\\ \: \vdots\\ v_n' = a_{n1} v_1 + a_{n2} v_2 + \cdots + a_{nn} v_n \end{cases}$$ と表されるが，$(\ast)$ より $\{ {v'}_1 , \cdots , {v'}_n \}$ は線型従属になる。

これは $\{ {v'}_1 , \cdots , {v'}_n \}$ が基底であることと反する。よって，$A$ のランクは $n$ である。

$$\begin{aligned} &g \circ f (v_i)\\ &= g (a_{1i} w_1 + \cdots + a_{mi})\\ &= \sum_{k=1}^m a_{ki} g(w_k)\\ &= \sum_{k=1}^m a_{ki} (b_{1k}x_1 + \cdots + b_{lk} x_l)\\ &= \sum_{k=1}^m \sum_{j=1}^l a_{ki} b_{jk} x_j \end{aligned}$$ であるため，表現行列は $BA$ である。

$f : V \to W$ について

• $A$ を基底 $\{ v_1 , \cdots , v_n \}$，$\{ w_1 , \cdots , w_m \}$ に対する $f$ の表現行列とする。
• $B$ を基底 $\{ v_1' , \cdots , v_n' \}$，$\{ w_1' , \cdots , w_m' \}$ に対する $f$ の表現行列とする。

$P$ を $\{ v_1 , \cdots , v_n \}$ から $\{ v_1' , \cdots , v_n' \}$ への基底の変換行列，$Q$ を $\{ w_1 , \cdots , w_m \}$ から $\{ w_1' , \cdots , w_m' \}$ への基底の変換行列とする。

このとき $$B = Q^{-1}AP$$ と表される。

基底の変換行列はランクが $n$ であるため $\mathrm{rank} A = \mathrm{rank} B$ となる。