チェビシェフの不等式の２通りの証明と例題

$x_i-x_j$ と $y_i-y_j$ は同符号なので， $$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n(x_i-x_j)(y_i-y_j)\geq 0$$ となる。あとはこれを変形していく。

$$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n(x_iy_i+x_jy_j)\geq \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n(x_iy_j+x_jy_i)\\ 2\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nx_iy_i\geq \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n(x_iy_j+x_jy_i)\\ 2\sum_{i=1}^n(x_iy_i)\sum_{j=1}^n1\geq \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n(x_iy_j+x_jy_i)\\ 2n \sum_{i=1}^nx_iy_i\geq 2\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nx_iy_j$$

両辺を $2n^2$ で割ってチェビシェフの不等式を得る。

右側の不等式も同様にできる。

並べ替え不等式より以下の $n$ 個の不等式が成立する：

$$\sum_{i=1}^nx_iy_i\geq x_1y_1+x_2y_2+\cdots +x_ny_n\\ \sum_{i=1}^nx_iy_i\geq x_1y_2+x_2y_3+\cdots +x_ny_1\\ \sum_{i=1}^nx_iy_i\geq x_1y_3+x_2y_4+\cdots +x_ny_2\\ \vdots$$

これらを全て足しあわせて $n^2$ で割るとチェビシェフの不等式の左側が得られる。右側も同様。

対称式なので，$a\geq b\geq c$ の場合を証明すれば十分。このとき $\dfrac{1}{b+c}\geq\dfrac{1}{c+a}\geq\dfrac{1}{a+b}$ なので，チェビシェフの不等式より，

$$\begin{aligned} &\dfrac{a^n}{b+c}+\dfrac{b^n}{c+a}+\dfrac{c^n}{a+b}\\ &\quad\quad \geq\dfrac{1}{3} (a^{n-1}+b^{n-1}+c^{n-1})\left(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\right) \end{aligned}$$ である。これと，Nesbittの不等式 $$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\geq\dfrac{3}{2}$$ を組み合わせて求める不等式を得る。