平面の方程式とその３通りの求め方

例えば，座標空間上で $x-y+2z-4=0$ という一次式を満たす点 $(x,y,z)$ の集合はどのような図形を表すでしょうか？

実は，この式を満たす点の集合は平面になります。

この記事では，実際に $(1,1,2),(0,-2,1),(3,-1,0)$ という3点を通る平面の方程式を計算し，答えが

$x-y+2z-4=0$

になることを確認してみます。

通る3点が与えられたときに，その平面の方程式を求める方法を3通り紹介します。

1. ベクトルの外積と法線ベクトルを用いる方法
2. 連立方程式を解く方法
3. ベクトル方程式を用いる方法

レベルは高いですが3つの中で最も計算が単純な方法です。

平面内のベクトルは全てある定ベクトルと垂直になります。そのような定ベクトルを法線ベクトルと言います。法線ベクトルの1つを$\overrightarrow{n}=(p,q,r)$ とします。平面上の任意の一点を $A(x_0,y_0,z_0)$ とすると，

点 $P(x,y,z)$ が求める平面上にある

$\iff$

$\overrightarrow{AP}$ と法線ベクトル $\overrightarrow{n}$ が垂直

$\iff$

$p(x-x_0)+q(y-y_0)+r(z-z_0)=0$

となります。これが求める平面の方程式です。よって，法線ベクトルを求めればよいわけです。

法線ベクトルは，$\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ に垂直なベクトルで，これはベクトルの外積を用いれば一瞬で求められます。→ベクトルの内積と外積の意味と嬉しさ

平面上の直線の方程式は，通る2点を代入して連立方程式を解くことで求められました。それと同様に，通る3点を代入することで平面の方程式を求められます（空間の性質は平面の場合の手法を一般化できないか考えるべし）。

上記の例のように未知数が4つで方程式は3つなので，連立方程式の解は1つに決まりません。$d$ を定数と見て $a,b,c$ について解き，最後に $d$ で割って整理しましょう。

平面上の任意の点 $P$ は，実数 $s,t$ を用いて，

$\overrightarrow{AP}=s\overrightarrow{AB}+t\overrightarrow{AC}$

と表せます。始点を原点に直すと，

$\overrightarrow{OP}=(1-s-t)\overrightarrow{OA}+s\overrightarrow{OB}+t\overrightarrow{OC}$

この形でも平面の方程式を表せているので答えになっています。 $ax+by+cz+d=0$ の形に直したいときには，連立方程式を解いて $s,t$ を消去しないといけないので少しめんどうです。

今までは具体例を考えていましたが，より一般に，

$ax+by+cz+d=0$

という一次式を満たす点の集合は平面になります。

実際，上記の方法1を見直してみると，

$ax+by+cz+d=0$

は，法線ベクトルが $(a,b,c)$ であるような平面の方程式を表していることが分かります。

→高校数学の問題集　～最短で得点力を上げるために～のT105では，この記事の復習ができます。計算ミスを減らすコツも紹介しています。

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