不定方程式の整数解【例題4問と解き方6パターン】

大学入試でも超頻出です。$ax+by=c$ 型は解き方を確実に覚えましょう。

2変数の1次不定方程式です。

詳細は →一次不定方程式ax+by=cの整数解

上記の例のように整数解を持たないことがいきなり示せるのは稀ですが，例えば「$x$ は $3$ の倍数になる」など解の範囲が絞れる場合があります。困ったらとりあえず $3,4,5,7$ などで割った余りを考えて解を絞れないか検討しましょう。

難しい応用問題は→不定方程式の難問

特に，平方数や立方数は剰余に制約がつきます。より詳しくは，→平方剰余と基本的な問題

axy+bx+cy+d=0 パターン

$axy+bx+cy+d=0$ 型は，両辺を $a$ 倍してから $(ax+A)(ay+B)=C$ と因数分解することで解けます。

他の例

上記の例以外にも，$a^n-b^n,a^n+b^n,a^4+4b^4$ の形を作り出せたら因数分解してみましょう。

→因数分解公式（n乗の差，和）

→因数分解公式（ソフィージェルマンの恒等式）

対称な不定方程式は変数の間に大小関係を決めても一般性を失わないので不等式でおさえる手法が使いやすいです。

より発展的な問題は エジプト分数（単位分数の和）に関する4つの話題をどうぞ。

$$ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0$$ 型は $x$ または $y$ についての2次方程式と見た時に判別式が平方数になるという条件から解の候補が絞れます。

判別式でうまくいかないときはペル方程式に帰着することが多いです。

→ペル方程式に関する基本的な性質まとめ

数学オリンピックの難問に多いタイプです。

• 例えば，フェルマーの最終定理の $n=4$ の場合の証明は無限降下法を使うとうまくいきます。
  →無限降下法の整数問題への応用例の下の方

• 無限降下法に似たタイプ「最小性に矛盾させる」方法としてVieta jumpingというものもあります。
  →数オリのテクニック〜Vieta jumping〜

• 難しい不定方程式は複数のテクニックをうまく組み合わせて解く必要があります。例えば2と3を併用するとピタゴラス数を求めることができます。
  →ピタゴラス数の求め方とその証明

• フェルマーの小定理もたまに使います。
  →フェルマーの小定理の証明と例題