ニュートンの不等式の具体例

まずは $n=2$ の場合について考えます。

基本対称式を書き出すと，

$$S(2,0)=1,S(2,1)=a+b,S(2,2)=ab$$

よって， $$d(2,0)=1,d(2,1)=\dfrac{a+b}{2},d(2,2)=ab$$

ニュートンの不等式は $k=1$ の場合にのみ意味を持ちます。すなわち $$\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2\geq ab$$ となり相加相乗平均の不等式と一致します。

次に $n=3$ の場合について考えます。

さきほどと同様に $d(3,k)$ を書き出すと， $d(3,0)=1$，$d(3,1)=\dfrac{a+b+c}{3}$，$d(3,2)=\dfrac{ab+bc+ca}{3}$，$d(3,3)=abc$ である。

ニュートンの不等式は $k=1,2$ の場合に意味を持つ。

• $k=1$ の場合 $$\left(\dfrac{a+b+c}{3}\right)^2\geq \dfrac{ab+bc+ca}{3}$$ これは展開して整理すると，$a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca$ となります。 →有名不等式a^2+b^2+c^2≧ab+bc+caのいろいろな証明

• $k=2$ の場合 $$\left(\dfrac{ab+bc+ca}{3}\right)^2\geq \dfrac{1}{3}abc(a+b+c)$$ これは展開して整理すると，$a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\geq a^2bc+ab^2c+abc^2$ となり，Muirheadの不等式と一致します。（$[2,2,0]\succeq[2,1,1]$）

上記の具体例で確認したように，Newtonの不等式は多くの有名不等式と関係しています。

そして4変数以上の場合にはより複雑になり，一般的な証明はわりと難しくなります。

・並べ替え不等式を用いたニュートンの不等式の証明を（英語のサイトですが）発見しました。ニュートンの不等式の証明

・Muirheadの不等式を用いることで証明できそうな気がする（$n\leq 4$ の場合は証明できた）のですが一般の場合はかなり複雑でまだ証明できていません。

追記：重み付き相加相乗平均の不等式を使えばできるらしいです。