正八面体を上から見た図と東大の問題

正八面体の一つの面が水平になるように地面においたときに，上から見た図はこのようになります。青い三角形が底面，赤い三角形が天面（見ている人に一番近い面）緑の点は底面および天面の重心に対応する点です。

空間把握能力が高ければこの図をイメージするのは簡単ですが，東大入試では過去2回も出題されているので覚えておきましょう。

図がこのようになる理由は「対称性より」と書けば十分です。納得しきれない人はぜひ正八面体を作ってみてください。

こちらも重要です。

正八面体を底面に平行な平面で切断すると六角形 $ABCDEF$ ができます。対称性より $AB=CD=EF$ かつ $BC=DE=FA$ が成立します。

さらに，正八面体の一辺の長さを $a$ とすると， $AB+BC=a$ であることが分かります。

この性質は，さきほどの上から見た図で考えれば説明することができます。紫の点線が切断面を表しています。

この図を利用して $BC=x$ として $AB$ の長さを求めると，$AB=a-x$ であることが分かります。

ちなみに $AB+BC=a$ は展開図で考えても，座標空間で考えても導出することができます。

東大の有名な入試問題を2問ほど紹介します。上記の2つの図を知っていれば比較的簡単に解くことができます。逆に上記の図を知らないとかなりの難問です。

さきほど述べた断面図の性質 $AB+BC=1$ をきちんと説明するだけです。

略解：さきほどの断面図 $ABCDEF$ において幅 $FC$ は $1$ で高さは $\dfrac{\sqrt{3}}{2}(AF+FE)=\dfrac{\sqrt{3}}{2} <1$ である。よってほんの少し回転させれば一辺の長さが $1$ の正方形にすっぽりおさまる。（周囲に触れない）

よって各高さの断面図が正方形内にすっぽりおさまるので正八面体は正方形に触れることなくを通過する。

同じ構図の問題が2008年にも出題されています。

冒頭の図が解答そのものです。

回転体の軸は図の緑の点に対応します。細かい計算はやや面倒なので省略します。上記の2つの事実に加えて，断面図上で平面図形の考察が必要になります。

Tag:東大入試数学の良問と背景知識まとめ