正多面体が５種類しかないことの２通りの証明

まず，正三角形によってつくられる正多面体を考える。

• 1つの頂点に3つの正三角形が集まる場合→正4面体
• 1つの頂点に4つの正三角形が集まる場合→正8面体
• 1つの頂点に5つの正三角形が集まる場合→正20面体
• 1つの頂点に6つ以上の正三角形が集まる場合→多面体にならない。なぜなら，一つの点に集まる角度の和が $360^{\circ}$ 以上になるとへこんでいない立体を作ることはできないから。

次に，正四角形によってつくられる正多面体を考える。

• 1つの頂点に3つの正四角形が集まる場合→正6面体
• 1つの頂点に4つ以上の正四角形が集まる場合→一つの点に集まる角度の和が $360^{\circ}$ 以上になるので無理。

次に，正五角形によってつくられる正多面体を考える。

• 1つの頂点に3つの正五角形が集まる場合→正12面体
• 1つの頂点に4つ以上の正五角形が集まる場合→一つの点に集まる角度の和が $360^{\circ}$ 以上になるので無理。

さらに，正六角形以上によって作られる正多面体は無い。なぜなら，正六角形以上は3つ集めるだけで一つの点に集まる角度の和が $360^{\circ}$ 以上になるから。

$F$ 個の正 $M$ 角形では合わせて辺が $MF$ 本あるが，一つの辺は二つの面に属するので，$MF=2E$

また，$V$ 個の頂点にそれぞれ $N$ 本の辺が集まり，一つの辺は二つの頂点を結ぶので，$NV=2E$

これらを $V-E+F=2$ に代入して $E$ のみの式にする：

$\dfrac{2E}{N}-E+\dfrac{2E}{M}=2$

$\dfrac{2}{M}+\dfrac{2}{N}-1=\dfrac{2}{E}$

右辺は正なので左辺も正。よって

$\dfrac{2}{M}+\dfrac{2}{N} > 1$

$NM-2M-2N <0$

$(N-2)(M-2)<4$

これを満たす $M,N$ を列挙すると，

$(M,N)=(3,3),(3,4),(3,5),(4,3),(5,3)$ となり5種類しかないことがわかる。