組立除法のやり方と例題３問

組立除法の手順は以下の3つ。

• 手順1：割られる式の係数を横に並べる。この場合，$x^3+4x^2-3x+5$ の係数 $1,4,-3,5$
  そして，割る式 $x-p$ の $p$ を右上に置く。この場合 $p=2$

• 手順2：下に行くときは縦に足す，右上に行くときは $p$ 倍（今回は $p=2$）する，という手順で，順々に「下，右上，下，右上」と数字を書いていく。今回は $1$→$1$→$2$→$6$→$12$ のように，足し算と $2$ 倍を繰り返す。

• 手順3：三行目に並んだものの右端が余り，それ以外が商。つまり，商は $x^2+6x+9$ ，余りは $23$ である。

手順1：係数 $1,0,0,0,\dfrac{1}{2}$ を並べる，$-2$ を右上に書く。

手順2：丸を埋める。下向きは足し算，右上は $-2$ 倍

手順3：商は $x^3-2x^2+4{x}-8$，余りは $\dfrac{33}{2}$ である。

$x^2$ と $x-\dfrac{1}{2}$ に対して組立除法を実行すると，商は $x+\dfrac{1}{2}$ ，余りは $\dfrac{1}{4}$ と分かる(実際に手を動かしてやってみてください！)。つまり，$x^2=\left(x-\dfrac{1}{2}\right)\left(x+\dfrac{1}{2}\right)+\dfrac{1}{4}$ 。これを変形して $2{x}-1$ を作り出す （割る式を二倍すると商は $\dfrac{1}{2}$ 倍される）：

$x^2=(2{x}-1)\left(\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{4}\right)+\dfrac{1}{4}$

よって，商は $\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{4}$ ，余りは $\dfrac{1}{4}$ 。

組立除法で得た商と思われる式を $b_2x^2+b_1x+b_0$，余りと思われる値を $r$ とおく。組立除法のやり方より，

• $a_3=b_2$
• $a_2+b_2p=b_1$
• $a_1+b_1p=b_0$
• $a_0+b_0p=r$

が成立する。

つまり，移項すると

• $a_3=b_2$
• $a_2=b_1-b_2p$
• $a_1=b_0-b_1p$
• $a_0=r-b_0p$

が成立する（※）。

このとき，割り算の等式

$a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0\\ =(x-p)(b_2x^2+b_1x+b_0)+r$

がたしかに成立していることを確認すれば良い。右辺を展開すると，

$b_2x^3+(b_1-b_2p)x^2+(b_0-b_1p)x+r-b_0p$

よって，割り算の等式は，（※）より各係数が両辺で等しいので確かに成立している。