連分数展開とその計算方法

• 連分数：$$a_0+\dfrac{b_1}{a_1+\frac{b_2}{a_2+\frac{b_3}{a_3+\cdots}}}$$ の中でも，特に分子 $b_1,\:b_2,\cdots$ が全て $1$ であり，$a_0$ が整数，$a_1,\:a_2,\cdots$ が正の整数であるような連分数を正則連分数と言います。

• 連分数の中でも正則連分数を扱うことが多いので，正則連分数のことを単に「連分数」ということもあります。

• 正則連分数は $a_0,a_1,\cdots$ の情報だけ持っておけばすぐに復元できます。そこで，分数式を下にズラっと書くと場所を取ってしまうので，正則連分数を以下の右辺のように表記することが多いです： $$a_0+\dfrac{1}{a_1+\frac{1}{a_2+\frac{1}{a_3}}}=[a_0;a_1,a_2,a_3]$$

有理数を正則連分数の形で表してみましょう。

有理数の連分数展開は割り算を繰り返すことで機械的にできます。一般的な議論の前に，連分数展開の具体例です。

• $36$ を $11$ で割った商は $3$，余りは $3$ なので，
  $\dfrac{36}{11}=3+\dfrac{3}{11}=3+\dfrac{1}{\frac{11}{3}}$

• $11$ を $3$ で割った商は $3$，余りは $2$ なので，
  $\dfrac{11}{3}=3+\dfrac{1}{\frac{3}{2}}$

• $3$ を $2$ で割った商は $1$，余りは $1$ なので，
  $\dfrac{3}{2}=1+\dfrac{1}{2}$

以上より，$\dfrac{36}{11}=3+\dfrac{1}{3+\dfrac{1}{1+\frac{1}{2}}}=[3;3,1,2]$

さきほどの具体例で見たように，有理数の連分数展開はユークリッドの互除法に対応しています。→ユークリッドの互除法の証明と不定方程式

もう少しきちんと説明します。

$a$ を $b$ で割った商を $q$ ，余りを $r$ とおくと，

$a=bq+r$ より，$\dfrac{a}{b}=q+\dfrac{1}{\frac{b}{r}}$ となります。

よって， $\dfrac{a}{b}$ を正則連分数展開するには $\dfrac{b}{r}$ を正則連分数展開すればよい，ことがわかります。このように，$a$ と $b$ の問題を $b$ と $r$ の問題に帰着させるというのはユークリッドの互除法と同じです！

そして，正則連分数には各段階の商が残ります。これはさきほどの具体例を見れば納得できるでしょう。

今までの議論から以下の定理がわかります：

無理数でも同様に連分数展開はできます。

無理数は有理数ではない数であるため，先ほどの定理から無理数は無限に続く連分数で表されます。

$$\begin{aligned} &\sqrt{2}\\ &=1+(\sqrt{2}-1)\\ &=1+\dfrac{1}{\frac{1}{\sqrt{2}-1}}\\ &=1+\dfrac{1}{\sqrt{2}+1}\\ &=1+\dfrac{1}{2+(\sqrt{2}-1)}\\ &=1+\dfrac{1}{2+\frac{1}{\sqrt{2}+1}}\\ &=1+\dfrac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{\sqrt{2}+1}}}\\ &=\cdots \end{aligned}$$

となり，$\sqrt{2}=[1;2,2,2,\cdots]$ となりそうです。

実は，無理数 $\alpha$ の連分数展開を途中で打ち切ったもの $\dfrac{p}{q}$ は，$\alpha$ の良い近似になります。具体的には，$\left|\alpha-\dfrac{p}{q}\right|<\dfrac{1}{q^2}$ が成立します。例えば，$\sqrt{2}$ の例だと，

• $[1;2]=\dfrac{3}{2}$ について $\left|\sqrt{2}-\dfrac{3}{2}\right|<\dfrac{1}{2^2}$
• $[1;2,2]=\dfrac{7}{5}$ について $\left|\sqrt{2}-\dfrac{7}{5}\right|<\dfrac{1}{5^2}$

となります。誤差が $\dfrac{1}{q}$ ではなく $\dfrac{1}{q^2}$ という非常に小さい値でおさえられるのがおもしろいです！

より詳しく知りたい方は 実数を分数で近似する【ディリクレのディオファントス近似定理】 をご覧ください。

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