曲率・曲率半径の感覚的な意味と求め方

1. まずは $A(a,f(a))$ における法線の方程式を求める（→ 法線ベクトルの3通りの求め方と応用）：
   $(y-f(a))f'(a)=a-x$

2. 同様に $B(b,f(b))$ における法線の方程式も求まるので，二つの法線の交点の座標 $C(x_b,\:y_b)$ を求める（詳細は省略）

3. $b$ を $a$ に近づけていくと $(x_b,y_b)$ は「$A$ 付近で $f(x)$ を円弧とみなしたときの円」の中心となる。
   つまり，曲率円の中心は $(\displaystyle\lim_{b\to a}x_b,\:\lim_{b\to a}y_b)$
   実際に極限を計算すると，
   $\displaystyle\lim_{b\to a}y_b=\dfrac{1}{f''(a)}+f(a)+\dfrac{f'(a)^2}{f''(a)}$
   $\displaystyle\lim_{b\to a}x_b=a-\dfrac{f'(a)}{f''(a)}-\dfrac{f'(a)^3}{f''(a)}$

4. 曲率円の中心と $A$ の距離が曲率半径である。
   $R^2=(\displaystyle\lim_{b\to a}x_b-a)^2+(\lim_{b\to a}y_b-f(a))^2\\=\dfrac{(1+f'(a)^2)^3}{f''(a)^2}$

$f'(a)=2a,\:f''(a)=2$ より，曲率半径は

$R=\dfrac{(1+4a^2)^{\frac{3}{2}}}{2}$

つまり曲率半径は $a^2$ が大きいほど大きくなる。放物線は原点付近が最も急カーブで，離れるに連れてカーブが緩やかになる。

$y=f(x)$ 版の公式：
$R=\dfrac{\left\{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2\right\}^{\frac{3}{2}}}{\left|\frac{d^2y}{dx^2}\right|}$

に，$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dt}{dx}\dfrac{dy}{dt}=\dfrac{y'}{x'}$ および $\dfrac{d^2y}{dx^2}=\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{y'}{x'}\right)=\dfrac{dt}{dx}\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{y'}{x'}\right)=\dfrac{1}{x'}\dfrac{x'y''-y'x''}{x'^2}$ を代入すると得る。

時刻 $s$ における速度ベクトルを $v(s)$ とする。

下図を見ると，$\Delta s$ が小さい正の数のとき，

$|v(s+\Delta s)-v(s)|\fallingdotseq\Delta\theta \fallingdotseq\dfrac{\Delta s}{R}$

よって，$\displaystyle\lim_{\Delta s\to 0}\dfrac{|v(s+\Delta s)-v(s)|}{\Delta s}=\dfrac{1}{R}$

加速度の定義より，左辺は加速度ベクトルの大きさと一致する。

• 曲線の媒介変数表示を $(x(t),y(t))$ とする
• $s$ を弧長パラメタとする（つまり，曲線上を速度 $1$ で進む物体の時刻 $s$ における位置が $(x(s),y(s))$ と表せる）
• $\dfrac{ds}{dt}=\sqrt{\left(\dfrac{dx}{dt}\right)^2+\left(\dfrac{dy}{dt}\right)^2}=\sqrt{x'^2+y'^2}$ に注意する。

速度ベクトルの $x$ 成分は，$\dfrac{dx}{ds}=\dfrac{dt}{ds}\dfrac{dx}{dt}=\dfrac{x'}{\sqrt{x'^2+y'^2}}$

加速度ベクトルの $x$ 成分は，
$\dfrac{d^2x}{ds^2}=\dfrac{dt}{ds}\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{x'}{\sqrt{x'^2+y'^2}}\right)\\ =\dfrac{1}{\sqrt{x'^2+y'^2}}\dfrac{x''\sqrt{x'^2+y'^2}-x'\frac{2x'x''+2y'y''}{2\sqrt{x'^2+y'^2}}}{x'^2+y'^2}\\ =\dfrac{x''-\frac{x''x'^2+y''y'x'}{x'^2+y'^2}}{x'^2+y'^2}\\ =\dfrac{x''y'^2-x'y'y''}{(x'^2+y'^2)^2}\\ =\dfrac{y'(y'x''-x'y'')}{(x'^2+y'^2)^2}$

対称性より $y$ 成分は，
$\dfrac{d^2y}{ds^2}=\dfrac{x'(x'y''-y'x'')}{(x'^2+y'^2)^2}$

よって，重要な性質より

$\dfrac{1}{R}=\sqrt{\left(\dfrac{d^2x}{ds^2}\right)^2+\left(\dfrac{d^2y}{ds^2}\right)^2}\\ =\dfrac{|x'y''-y'x''|}{(x'^2+y'^2)^{\frac{3}{2}}}$