Тригонометриска функција — функција на агол . Името го добилеа по гранката од математиката која ги користи за решавање триаголници , а која се нарекува тригонометрија .
Кога аголот, знали аргументот на овие функции е реален број , тогаш тие се функции на рамнинската тригонометрија : синус и косинус , од кои се изведуваат сите останати. Од останатите основни функции на агол често во употреба се тангенс , па и котангенс , потоа, малку поретко се среќаваат косеканс и секанс , и конечно најретко синус версус и косинус версус . Кога аголот е комплексен број тогаш функциите на агол може да преминат во хиперболични функции .
Инверзните тригонометриски функции се викаат циклометриски функции и аркус-функции , т.е. функција-1 .
Сл.1. Тригонометриски триаголник
Основните тригонометриски функции, синус, косинус и тангенс обично се дефинираат со помош на правоаголен триаголник (види ја сликата десно). Имено, односот на две страни во правоаголниот триаголник е функција од остриот агол на триаголникот и затоа односите меѓу страните на правоаголниот триаголник се нарекуваат тригонометриски функции. Поимот „тригонометрија“ потекнува од грчките зборови за триаголник (тригонос) и за мерење (метрео), т.е. поимот тригонометрија буквално значи „мерење на триаголникот“. Синус од остар агол во правоаголен триаголник е односот меѓу спротивната катета на тоја гол и хипотенузата. Косинус од остриот агол во правоаголен триаголник е односот меѓу прилегнатата катета и хипотенузата. Тангенс е односот меѓу спротивната и прилегнатата катета на остар агол во правоаголен триаголник. Котангенс е односот меѓу прилегнатата и спротивната катета на остар агол во правоаголен триаголник.[ 1]
x
=
r
⋅
cos
ϕ
,
y
=
r
⋅
sin
ϕ
,
y
x
=
tg
ϕ
.
{\displaystyle x=r\cdot \cos \phi ,\;y=r\cdot \sin \phi ,\;{\frac {y}{x}}=\operatorname {tg} \phi .}
Позитивен математички агол има спротивна насока од стрелките на часовникот.
На сликата (2) долу е прикажана кружница со полупречник еден со центар во координатниот почеток , т.е.
x
2
+
y
2
=
1
,
{\displaystyle x^{2}+y^{2}=1,}
која се вика тригонометриска кружница .
Сл.2. Тригонометриска кружница
Дефиниција 1
Тригонометриските реални функции на агол φ се дефинираат со равенките
(а)
cos
2
ϕ
+
sin
2
ϕ
=
1
,
{\displaystyle \cos ^{2}\phi +\sin ^{2}\phi =1,\,}
синус и косинус се реални броеви ;
(б)
tg
ϕ
=
sin
ϕ
cos
ϕ
,
ctg
ϕ
=
cos
ϕ
sin
ϕ
,
{\displaystyle \operatorname {tg} \phi ={\frac {\sin \phi }{\cos \phi }},\;\operatorname {ctg} \phi ={\frac {\cos \phi }{\sin \phi }},}
тангенс и котангенс ;
(в)
sec
ϕ
=
1
cos
ϕ
,
csc
ϕ
=
1
sin
ϕ
,
{\displaystyle \sec \phi ={\frac {1}{\cos \phi }},\;\csc \phi ={\frac {1}{\sin \phi }},}
секанс и косеканс .
(г)
vercos
ϕ
=
1
−
sin
ϕ
,
versin
=
1
−
cos
ϕ
,
{\displaystyle \operatorname {vercos} \phi =1-\sin \phi ,\;\operatorname {versin} =1-\cos \phi ,}
косинус версус и синус версус .
Функциите (в), а особено (г) ретко ги среќаваме.
Теорема 1
(а)
O
A
¯
=
cos
ϕ
,
O
C
¯
=
sin
ϕ
,
{\displaystyle {\overline {OA}}=\cos \phi ,\;{\overline {OC}}=\sin \phi ,}
косинус и синус;
(б)
B
E
¯
=
tg
ϕ
,
F
G
¯
=
ctg
ϕ
,
{\displaystyle {\overline {BE}}=\operatorname {tg} \phi ,\;{\overline {FG}}=\operatorname {ctg} \phi ,}
тангенс и котангенс;
(в)
O
E
¯
=
sec
ϕ
,
O
G
¯
=
csc
ϕ
,
{\displaystyle {\overline {OE}}=\sec \phi ,\;{\overline {OG}}=\csc \phi ,}
секанс и косеканс.
Доказ
Точката Т од сликата 1. овде (сл.2.) е точката D.
(а) Следи непосредно заради полупречникот r = 1.
(б) Да ги воочиме сличните триаголници
Δ
E
B
O
∼
Δ
D
A
O
,
{\displaystyle \Delta EBO\sim \Delta DAO,}
од каде
B
E
¯
:
O
B
¯
=
A
D
¯
:
O
A
¯
,
{\displaystyle {\overline {BE}}:{\overline {OB}}={\overline {AD}}:{\overline {OA}},}
т.е.
B
E
¯
:
1
=
sin
ϕ
:
cos
ϕ
;
{\displaystyle {\overline {BE}}:1=\sin \phi :\cos \phi ;}
да ги воочиме сличните триаголници
Δ
G
F
O
∼
Δ
O
A
D
,
{\displaystyle \Delta GFO\sim \Delta OAD,}
одатле
F
G
¯
:
F
O
¯
=
O
A
¯
:
A
D
¯
,
{\displaystyle {\overline {FG}}:{\overline {FO}}={\overline {OA}}:{\overline {AD}},}
т.е.
F
G
¯
:
1
=
cos
ϕ
:
sin
ϕ
.
{\displaystyle {\overline {FG}}:1=\cos \phi :\sin \phi .}
(в) Од истите слични триаголници (б) добиваме
O
E
¯
:
O
B
¯
=
O
D
¯
:
O
A
¯
,
{\displaystyle {\overline {OE}}:{\overline {OB}}={\overline {OD}}:{\overline {OA}},}
т.е.
O
E
¯
:
1
=
1
:
cos
ϕ
;
{\displaystyle {\overline {OE}}:1=1:\cos \phi ;}
потоа
O
G
¯
:
O
F
¯
=
O
D
¯
:
A
D
¯
,
{\displaystyle {\overline {OG}}:{\overline {OF}}={\overline {OD}}:{\overline {AD}},}
т.е.
O
G
¯
:
1
=
1
:
sin
ϕ
.
{\displaystyle {\overline {OG}}:1=1:\sin \phi .}
Крај на доказот.
Овде ќе бидат анализирани особините на вредностите на тригонометриски функции за посебни агли.
На претходната слика (3) претставен е Декартовиот правоаголен координатен систем и точката D на тригонометриската кружница. Аголот BOD = φ може неограничено да расте додека подвижниот крак на аголот (OD) проаѓа редум низ првиот, вториот, третиот и четвртиот квадрант , а потоа повторно по истиот круг . Значи, аголот φ може да расте до 360° и понатаму. Притоа проекциите на точката D на апсцисата и ординатата секогаш се сметаат како косинус и синус на аголот φ. Тоа значи дека косинусот е позитивен кога точката D во првиот и четвртиот квадрант, а дека синусот е позитивен кога точката D е во првиот и вториот квадрант. Детално тоа се гледа во следната табела:
Тригонометриските функции по квадранти
Квадрант
1. (0°-90°)
2. (90°-180°)
3. (180°-270°)
4. (270°-360°)
синус
+
+
-
-
косинус
+
-
-
+
тангенс
+
-
+
-
Преку тригонометриската кружница или адиционите формули лесно може да се провери точноста на формулата за сведување на вредностите на тригонометриските функции на функции на агли од првиот квадрант:
cos
(
180
o
−
ϕ
)
=
−
cos
ϕ
,
sin
(
180
o
−
ϕ
)
=
sin
ϕ
,
{\displaystyle \cos(180^{o}-\phi )=-\cos \phi ,\;\sin(180^{o}-\phi )=\sin \phi ,}
cos
(
180
o
+
ϕ
)
=
−
cos
ϕ
,
sin
(
180
o
+
ϕ
)
=
−
sin
ϕ
,
{\displaystyle \cos(180^{o}+\phi )=-\cos \phi ,\;\sin(180^{o}+\phi )=-\sin \phi ,}
cos
(
−
ϕ
)
=
cos
ϕ
,
sin
(
−
ϕ
)
=
−
sin
ϕ
.
{\displaystyle \cos(-\phi )=\cos \phi ,\;\sin(-\phi )=-\sin \phi .}
Функциите косинус и синус се периодични со основен период од 360°, a функцијата тангенс е периодична со период од 180°:
cos
(
360
o
+
ϕ
)
=
cos
ϕ
,
sin
(
360
o
+
ϕ
)
=
sin
ϕ
,
tg
(
180
o
+
ϕ
)
=
tg
ϕ
.
{\displaystyle \cos(360^{o}+\phi )=\cos \phi ,\;\sin(360^{o}+\phi )=\sin \phi ,\;\operatorname {tg} (180^{o}+\phi )=\operatorname {tg} \phi .}
Периодот на синусната и косинусната функција може да се најде од формулата:
T
=
2
π
ω
{\displaystyle T={\frac {2\pi }{\omega }}}
Така периодот на функцијата е
sin
2
α
{\displaystyle \sin {2\alpha }}
еднаков
T
=
2
π
2
{\displaystyle T={\frac {2\pi }{2}}}
, односно
π
{\displaystyle \pi }
.
Функциите на агли поголеми од 360 степени со претходните формули се сведува на функции од помали агли, а потоа, ако е потребно, на првиот квадрант, на начин видлив во следната табела:
β
{\displaystyle \beta \,}
π
2
+
α
{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}+\alpha }
π
+
α
{\displaystyle \pi +\alpha \,}
3
π
2
+
α
{\displaystyle {\frac {3\,\pi }{2}}+\alpha }
π
2
−
α
{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}-\alpha }
π
−
α
{\displaystyle \pi -\alpha \,}
3
π
2
−
α
{\displaystyle {\frac {3\,\pi }{2}}-\alpha }
2
π
−
α
{\displaystyle 2\,\pi -\alpha }
sin
β
{\displaystyle \sin \beta \,}
cos
α
{\displaystyle \cos \alpha \,}
−
sin
α
{\displaystyle -\sin \alpha \,}
−
cos
α
{\displaystyle -\cos \alpha \,}
cos
α
{\displaystyle \cos \alpha \,}
sin
α
{\displaystyle \sin \alpha \,}
−
cos
α
{\displaystyle -\cos \alpha \,}
−
sin
α
{\displaystyle -\sin \alpha \,}
cos
β
{\displaystyle \cos \beta \,}
−
sin
α
{\displaystyle -\sin \alpha \,}
−
cos
α
{\displaystyle -\cos \alpha \,}
sin
α
{\displaystyle \sin \alpha \,}
sin
α
{\displaystyle \sin \alpha \,}
−
cos
α
{\displaystyle -\cos \alpha \,}
−
sin
α
{\displaystyle -\sin \alpha \,}
cos
α
{\displaystyle \cos \alpha \,}
tg
β
{\displaystyle \operatorname {tg} \,\beta }
−
ctg
α
{\displaystyle -\operatorname {ctg} \,\alpha }
tg
α
{\displaystyle \operatorname {tg} \,\alpha }
−
ctg
α
{\displaystyle -\operatorname {ctg} \,\alpha }
ctg
α
{\displaystyle \operatorname {ctg} \,\alpha }
−
tg
α
{\displaystyle -\operatorname {tg} \,\alpha }
ctg
α
{\displaystyle \operatorname {ctg} \,\alpha }
tg
α
{\displaystyle \operatorname {tg} \,\alpha }
ctg
β
{\displaystyle \operatorname {ctg} \,\beta }
−
tg
α
{\displaystyle -\operatorname {tg} \,\alpha }
ctg
α
{\displaystyle \operatorname {ctg} \,\alpha }
−
tg
α
{\displaystyle -\operatorname {tg} \,\alpha }
tg
α
{\displaystyle \operatorname {tg} \,\alpha }
−
ctg
α
{\displaystyle -\operatorname {ctg} \,\alpha }
tg
α
{\displaystyle \operatorname {tg} \,\alpha }
ctg
α
{\displaystyle \operatorname {ctg} \,\alpha }
Во општ случај тоа може да се запише вака:
f
(
n
π
+
α
)
=
±
f
(
α
)
{\displaystyle f(n\pi +\alpha )=\pm f(\alpha )}
f
(
n
π
−
α
)
=
±
f
(
α
)
{\displaystyle f(n\pi -\alpha )=\pm f(\alpha )}
f
(
(
2
n
+
1
)
π
2
+
α
)
=
±
g
(
α
)
{\displaystyle f\left({\frac {(2n+1)\pi }{2}}+\alpha \right)=\pm g(\alpha )}
f
(
(
2
n
+
1
)
π
2
−
α
)
=
±
g
(
α
)
{\displaystyle f\left({\frac {(2n+1)\pi }{2}}-\alpha \right)=\pm g(\alpha )}
Притоа f — е произволна тригонометриска функција, g — е нејзината соодветна функција (косинус за синус, синус за косинус и аналогно за останатите функции), а n — цел број .
Вредности на тригонометриските функции прикажани на тригонометриската кружница
За некои од аглите од првиот квадрант функциите полесно се пресметуваат:
Најчести вредности на тригонометриските функции
ϕ
{\displaystyle \phi \,}
0°
30°
45°
60°
90°
sin
ϕ
{\displaystyle \sin \phi \,}
0
1
2
{\displaystyle {\frac {1}{2}}}
2
2
{\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}
3
2
{\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}
1
cos
ϕ
{\displaystyle \cos \phi \,}
1
3
2
{\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}
2
2
{\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}
1
2
{\displaystyle {\frac {1}{2}}}
0
tg
ϕ
{\displaystyle \operatorname {tg} \phi }
0
3
3
{\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{3}}}
1
3
{\displaystyle {\sqrt {3}}}
±
∞
{\displaystyle \pm \infty }
Еден од начинот на пресметување на овие вредности е прикажан во прегледот на основни агли . Од табелата се гледа дека веќе кај „основните“ агли тригонометриските функции се ирационални броеви и дека слични изрази за други агли би можело да бидат уште посложени. Поедноставен од тие посложени изрази би бил, на пример
sin
15
o
=
3
−
1
2
2
,
{\displaystyle \sin 15^{o}={\frac {{\sqrt {3}}-1}{2{\sqrt {2}}}},}
и тоа е најмалиот агол чиј синус може да се претстави со запис на проста алгебарска комбинација од рационални броеви и корени. Со векови тригонометриските вредности биле запишувани во тригонометриски таблици , на 5 до 10 децимали , a во последно време се користат скоро исклучиво сметач или калкулатор .
Вредностите на тригонометриските функции на некои агли кои се пресметуваат по нешто подолг пат се дадени во следната табела:
α
{\displaystyle \alpha \,}
π
12
=
15
∘
{\displaystyle {\frac {\pi }{12}}=15^{\circ }}
π
10
=
18
∘
{\displaystyle {\frac {\pi }{10}}=18^{\circ }}
π
8
=
22.5
∘
{\displaystyle {\frac {\pi }{8}}=22.5^{\circ }}
π
5
=
36
∘
{\displaystyle {\frac {\pi }{5}}=36^{\circ }}
3
π
10
=
54
∘
{\displaystyle {\frac {3\,\pi }{10}}=54^{\circ }}
3
π
8
=
67.5
∘
{\displaystyle {\frac {3\,\pi }{8}}=67.5^{\circ }}
2
π
5
=
72
∘
{\displaystyle {\frac {2\,\pi }{5}}=72^{\circ }}
sin
α
{\displaystyle \sin \alpha \,}
3
−
1
2
2
{\displaystyle {\frac {{\sqrt {3}}-1}{2\,{\sqrt {2}}}}}
5
−
1
4
{\displaystyle {\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}}
2
−
2
2
{\displaystyle {\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}{2}}}
5
−
5
2
2
{\displaystyle {\frac {\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}{2\,{\sqrt {2}}}}}
5
+
1
4
{\displaystyle {\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}}
2
+
2
2
{\displaystyle {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}}
5
+
5
2
2
{\displaystyle {\frac {\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}{2\,{\sqrt {2}}}}}
cos
α
{\displaystyle \cos \alpha \,}
3
+
1
2
2
{\displaystyle {\frac {{\sqrt {3}}+1}{2\,{\sqrt {2}}}}}
5
+
5
2
2
{\displaystyle {\frac {\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}{2\,{\sqrt {2}}}}}
2
+
2
2
{\displaystyle {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}}
5
+
1
4
{\displaystyle {\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}}
5
−
5
2
2
{\displaystyle {\frac {\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}{2\,{\sqrt {2}}}}}
2
−
2
2
{\displaystyle {\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}{2}}}
5
−
1
4
{\displaystyle {\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}}
tg
α
{\displaystyle \operatorname {tg} \,\alpha }
2
−
3
{\displaystyle 2-{\sqrt {3}}}
1
−
2
5
{\displaystyle {\sqrt {1-{\frac {2}{\sqrt {5}}}}}}
2
−
1
2
+
1
{\displaystyle {\sqrt {\frac {{\sqrt {2}}-1}{{\sqrt {2}}+1}}}}
5
−
2
5
{\displaystyle {\sqrt {5-2\,{\sqrt {5}}}}}
1
+
2
5
{\displaystyle {\sqrt {1+{\frac {2}{\sqrt {5}}}}}}
2
+
1
2
−
1
{\displaystyle {\sqrt {\frac {{\sqrt {2}}+1}{{\sqrt {2}}-1}}}}
5
+
2
5
{\displaystyle {\sqrt {5+2\,{\sqrt {5}}}}}
ctg
α
{\displaystyle \operatorname {ctg} \,\alpha }
2
+
3
{\displaystyle 2+{\sqrt {3}}}
5
+
2
5
{\displaystyle {\sqrt {5+2\,{\sqrt {5}}}}}
2
+
1
2
−
1
{\displaystyle {\sqrt {\frac {{\sqrt {2}}+1}{{\sqrt {2}}-1}}}}
1
+
2
5
{\displaystyle {\sqrt {1+{\frac {2}{\sqrt {5}}}}}}
5
−
2
5
{\displaystyle {\sqrt {5-2\,{\sqrt {5}}}}}
2
−
1
2
+
1
{\displaystyle {\sqrt {\frac {{\sqrt {2}}-1}{{\sqrt {2}}+1}}}}
1
−
2
5
{\displaystyle {\sqrt {1-{\frac {2}{\sqrt {5}}}}}}
Кога точката D еднаш ја обиколи кружницата поминува пат 2π односно прави 360°. Лак со должина π одговара на агол од 180° - рамен агол, π/2 е 90° - прав агол, π/3 е 60°, π/4 е 45°, π/6 е 30°, и општо лак со должина x радијани одговара на агол од 360x /2π степени. За еден радијан , х = 1, се добива агол 57,2957795... степени , т.е. во степени, минути и секунди 57°17'44,8". Еден степен има 60 минута, а една минута има 60 секунди. Изразите минути и секунди потекнуваат од латинските зборови: partes minutae primae и partes minutae secundae , т.е. први мали делови и втори мали делови. Математичките текстови за единица агол го подразбираат радијанот.
Тригонометриските функции, исто така, може да се претставуваат со (бесконечни) редови :
sin
x
=
x
−
x
3
3
!
+
x
5
5
!
−
x
7
7
!
+
.
.
.
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
x
2
n
+
1
(
2
n
+
1
)
!
{\displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+...=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}}
cos
x
=
1
−
x
2
2
!
+
x
4
4
!
−
x
6
6
!
+
.
.
.
==
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
x
2
n
(
2
n
)
!
{\displaystyle \cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+...==\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}}
Овие редови може да се употребат и за дефинирање на тригонометриски функции на комплексен број z, и хиперболични функции .
Имајќи ги предвид равенките
tg
x
=
sin
x
cos
x
,
{\displaystyle \operatorname {tg} \,x={\frac {\sin x}{\cos x}},}
ctg
x
=
cos
x
sin
x
,
{\displaystyle \operatorname {ctg} \,x={\frac {\cos x}{\sin x}},}
sec
x
=
1
cos
x
{\displaystyle \sec x={\frac {1}{\cos x}}}
и
cosec
x
=
1
sin
x
,
{\displaystyle \operatorname {cosec} \,x={\frac {1}{\sin x}},}
во Тејлоровиот ред може да се разложат следните функции:
tg
x
=
x
+
1
3
x
3
+
2
15
x
5
+
17
315
x
7
+
62
2835
x
9
+
⋯
=
∑
n
=
1
∞
2
2
n
(
2
2
n
−
1
)
|
B
2
n
|
(
2
n
)
!
x
2
n
−
1
(
−
π
2
<
x
<
π
2
)
,
{\displaystyle {\operatorname {tg} \,x=x+{\frac {1}{3}}\,x^{3}+{\frac {2}{15}}\,x^{5}+{\frac {17}{315}}\,x^{7}+{\frac {62}{2835}}\,x^{9}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)|B_{2n}|}{(2n)!}}x^{2n-1}\quad \left(-{\frac {\pi }{2}}<x<{\frac {\pi }{2}}\right),}}
ctg
x
=
1
x
−
x
3
−
x
3
45
−
2
x
5
945
−
x
7
4725
−
⋯
=
1
x
+
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
2
2
n
|
B
2
n
|
(
2
n
)
!
x
2
n
−
1
(
−
π
<
x
<
π
)
,
{\displaystyle {\operatorname {ctg} \,x={\frac {1}{x}}-{\frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}-{\frac {2x^{5}}{945}}-{\frac {x^{7}}{4725}}-\cdots ={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}2^{2n}|B_{2n}|}{(2n)!}}\,x^{2n-1}\quad \left(-\pi <x<\pi \right),}}
sec
x
=
1
+
1
2
x
2
+
5
24
x
4
+
61
720
x
6
+
277
8064
x
8
+
⋯
=
1
+
∑
n
=
1
∞
E
n
(
2
n
)
!
x
2
n
,
(
−
π
2
<
x
<
π
2
)
,
{\displaystyle {\sec x=1+{\frac {1}{2}}\,x^{2}+{\frac {5}{24}}\,x^{4}+{\frac {61}{720}}\,x^{6}+{\frac {277}{8064}}\,x^{8}+\cdots =1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {E_{n}}{(2n)!}}\,x^{2n},\quad \left(-{\frac {\pi }{2}}<x<{\frac {\pi }{2}}\right),}}
csc
x
=
1
x
+
1
6
x
+
7
360
x
3
+
31
15120
x
5
+
127
604800
x
7
+
⋯
=
1
x
+
∑
n
=
1
∞
2
(
2
2
n
−
1
−
1
)
B
n
(
2
n
)
!
x
2
n
−
1
(
−
π
<
x
<
π
)
,
{\displaystyle {\csc x={\frac {1}{x}}+{\frac {1}{6}}\,x+{\frac {7}{360}}\,x^{3}+{\frac {31}{15120}}\,x^{5}+{\frac {127}{604800}}\,x^{7}+\cdots ={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2\,(2^{2n-1}-1)B_{n}}{(2n)!}}x^{2n-1}\quad \left(-\pi <x<\pi \right),}}
Тригонометриските функции може да се претстават графички. На следните слики се прикажани нивните графикони:
Графикони на тригонометриски функции: синусо , косинусо , тангенсо , секансо , косекансо , котангенсо
Косинус и секанс се парни функции , додека останатите четири се непарни функции :
sin
(
−
α
)
=
−
sin
α
,
{\displaystyle \sin \left(-\alpha \right)=-\sin \alpha \,,}
cos
(
−
α
)
=
cos
α
,
{\displaystyle \cos \left(-\alpha \right)=\cos \alpha \,,}
t
g
(
−
α
)
=
−
t
g
α
,
{\displaystyle \mathop {\mathrm {tg} } \,\left(-\alpha \right)=-\mathop {\mathrm {tg} } \,\alpha \,,}
c
t
g
(
−
α
)
=
−
c
t
g
α
,
{\displaystyle \mathop {\mathrm {ctg} } \,\left(-\alpha \right)=-\mathop {\mathrm {ctg} } \,\alpha \,,}
sec
(
−
α
)
=
sec
α
,
{\displaystyle \sec \left(-\alpha \right)=\sec \alpha \,,}
c
o
s
e
c
(
−
α
)
=
−
c
o
s
e
c
α
.
{\displaystyle \mathop {\mathrm {cosec} } \,\left(-\alpha \right)=-\mathop {\mathrm {cosec} } \,\alpha \,.}
Тетивата е пократка од лакот На сликата лево се гледа тетивата
A
D
B
¯
{\displaystyle {\overline {ADB}}}
која сигурно е пократка од лакот
A
C
B
^
.
{\displaystyle {\widehat {ACB}}.}
Тетивата е најкраткото растојание меѓу две точки на кружница . Затоа полутетивата
A
D
¯
{\displaystyle {\overline {AD}}}
е пократка од полулакот
A
C
^
.
{\displaystyle {\widehat {AC}}.}
Триаголникот ODA, со остар агол
a
l
p
h
a
{\displaystyle alpha}
е правоаголен . Правиот агол е во темето D, катетата ОD изнесува
cos
ϕ
{\displaystyle \cos \phi }
, катетата DA изнесува
sin
α
{\displaystyle \sin \alpha }
, хипотенузата е со должина еден. Кога аголот е во радијани и
0
<
α
<
π
2
,
{\displaystyle 0<\alpha <{\frac {\pi }{2}},}
тогаш
Теорема 1
lim
α
→
0
sin
α
=
0
,
lim
α
→
0
cos
α
=
1.
{\displaystyle \lim _{\alpha \to 0}\sin \alpha =0,\;\lim _{\alpha \to 0}\cos \alpha =1.}
Доказ : Следи од
0
<
sin
ϕ
<
D
B
^
=
ϕ
{\displaystyle 0<\sin \phi <{\widehat {DB}}=\phi }
и
0
<
1
−
cos
ϕ
<
A
B
¯
<
D
B
¯
<
D
B
^
=
ϕ
.
{\displaystyle 0<1-\cos \phi <{\overline {AB}}<{\overline {DB}}<{\widehat {DB}}=\phi .}
Крај.
Кога аголот тежи кон нула преку позитивните вредности, тогаш синусот е позитивен, а негативен е кога аголот тежи кон нула преку негативни вредности. Косинусот пак во двата случаја е позитивен. Од тоа произлегуваат лимесите за котангенс :
lim
x
→
+
0
ctg
x
=
+
∞
,
lim
x
→
−
0
ctg
x
=
−
∞
.
{\displaystyle \lim _{x\to +0}\operatorname {ctg} x=+\infty ,\;\lim _{x\to -0}\operatorname {ctg} x=-\infty .}
Со замена на х со комплементен агол се добиваат соодветните лимеси за тангенс .
Тригонометриски круг
Теорема 2
lim
x
→
0
sin
x
x
=
1.
{\displaystyle \lim _{x\to \ 0}{\frac {\sin x}{x}}=1.}
Доказ
На сликата десно, површината на правоаголниот триаголник OCD е помала од површината на кружниот исечок OAD, а оваа повторно е помала од површината на правоаголниот триаголник OAB. Со х агол AOB. Оттука
sin
x
cos
x
2
<
x
2
<
tg
x
2
.
{\displaystyle {\frac {\sin x\cos x}{2}}<{\frac {x}{2}}<{\frac {\operatorname {tg} x}{2}}.}
Ако овие нееднаквости ги поделиме со (позитивен)
sin
x
2
,
{\displaystyle {\frac {\sin x}{2}},}
ќе добиеме
cos
x
<
x
sin
x
<
1
cos
x
,
{\displaystyle \cos x<{\frac {x}{\sin x}}<{\frac {1}{\cos x}},}
а оттука
1
cos
x
>
sin
x
x
>
cos
x
.
{\displaystyle {\frac {1}{\cos x}}>{\frac {\sin x}{x}}>\cos x.}
Со
x
→
0
{\displaystyle x\to 0}
вреди
cos
x
→
1
,
1
cos
x
→
1
,
{\displaystyle \cos x\to 1,\;{\frac {1}{\cos x}}\to 1,}
па е
sin
x
x
→
1.
{\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}\to 1.}
Синус е непарна функција па доказот за негативни агли е ист. Крај на доказот.
Извод од функцијата f(x) по дефиниција е гранична вредност :
f
′
(
x
)
=
lim
Δ
x
→
0
Δ
f
(
x
)
Δ
x
=
lim
Δ
x
→
0
f
(
x
+
Δ
x
)
−
f
(
x
)
Δ
x
.
{\displaystyle f'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta f(x)}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}.}
Теорема 3
(а)
(
sin
x
)
′
=
cos
x
,
{\displaystyle (\sin x)'=\cos x,\,}
(б)
(
cos
x
)
′
=
−
sin
x
,
{\displaystyle (\cos x)'=-\sin x,\,}
(в)
(
tg
x
)
′
=
sec
2
x
.
{\displaystyle (\operatorname {tg} x)'=\sec ^{2}x.\,}
(г)
(
ctg
x
)
′
=
−
csc
2
x
.
{\displaystyle (\operatorname {ctg} x)'=-\csc ^{2}x.\,}
Доказ
(а)
Δ
sin
x
=
sin
(
x
+
Δ
x
)
−
sin
x
=
2
cos
(
x
+
Δ
x
2
)
sin
Δ
x
2
,
{\displaystyle \Delta \sin x=\sin(x+\Delta x)-\sin x=2\cos \left(x+{\frac {\Delta x}{2}}\right)\sin {\frac {\Delta x}{2}},}
па
Δ
sin
x
Δ
x
=
cos
(
x
+
Δ
x
2
)
Δ
x
2
→
cos
x
,
{\displaystyle {\frac {\Delta \sin x}{\Delta x}}={\frac {\cos(x+{\frac {\Delta x}{2}})}{\frac {\Delta x}{2}}}\rightarrow \cos x,}
када
Δ
x
→
0
{\displaystyle \Delta x\rightarrow 0}
(теорема 2).
(б) Заради
cos
x
=
sin
(
π
2
−
x
)
,
{\displaystyle \cos x=\sin({\frac {\pi }{2}}-x),}
биће
(
cos
x
)
′
=
cos
(
π
2
−
x
)
⋅
(
π
2
−
x
)
′
=
−
cos
(
π
2
−
x
)
=
−
sin
x
.
{\displaystyle (\cos x)'=\cos({\frac {\pi }{2}}-x)\cdot ({\frac {\pi }{2}}-x)'=-\cos({\frac {\pi }{2}}-x)=-\sin x.}
(в) Извод на количник
(
tg
x
)
′
=
(
sin
x
cos
x
)
′
=
{\displaystyle (\operatorname {tg} x)'=\left({\frac {\sin x}{\cos x}}\right)'=}
=
sin
′
x
cos
x
−
cos
′
x
sin
x
cos
2
x
=
cos
2
x
+
sin
2
x
cos
2
x
=
1
cos
2
x
=
sec
2
x
.
{\displaystyle ={\frac {\sin 'x\cos x-\cos 'x\sin x}{\cos ^{2}x}}={\frac {\cos ^{2}x+\sin ^{2}x}{\cos ^{2}x}}={\frac {1}{\cos ^{2}x}}=\sec ^{2}x.}
(г) Извод на количник
(
ctg
x
)
′
=
(
cos
x
sin
x
)
′
=
{\displaystyle (\operatorname {ctg} x)'=\left({\frac {\cos x}{\sin x}}\right)'=}
=
cos
′
x
sin
x
−
sin
′
x
cos
x
sin
2
x
=
−
sin
2
x
−
cos
2
x
sin
2
x
=
−
1
sin
2
x
=
−
csc
2
x
.
{\displaystyle ={\frac {\cos 'x\sin x-\sin 'x\cos x}{\sin ^{2}x}}={\frac {-\sin ^{2}x-\cos ^{2}x}{\sin ^{2}x}}=-{\frac {1}{\sin ^{2}x}}=-\csc ^{2}x.}
Крај на доказот 3.
Ова се интегралите на некои тригонометриски функции:
f
(
x
)
{\displaystyle \ \ \ \ f(x)}
f
′
(
x
)
{\displaystyle \ \ \ \ f'(x)}
∫
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int f(x)\,dx}
sin
x
{\displaystyle \,\ \sin x}
cos
x
{\displaystyle \,\ \cos x}
−
cos
x
+
C
{\displaystyle \,\ -\cos x+C}
cos
x
{\displaystyle \,\ \cos x}
−
sin
x
{\displaystyle \,\ -\sin x}
sin
x
+
C
{\displaystyle \,\ \sin x+C}
tan
x
{\displaystyle \,\ \tan x}
sec
2
x
=
1
+
tan
2
x
{\displaystyle \,\ \sec ^{2}x=1+\tan ^{2}x}
−
ln
|
cos
x
|
+
C
{\displaystyle -\ln \left|\cos x\right|+C}
cot
x
{\displaystyle \,\ \cot x}
−
csc
2
x
=
−
(
1
+
cot
2
x
)
{\displaystyle \,\ -\csc ^{2}x=-(1+\cot ^{2}x)}
ln
|
sin
x
|
+
C
{\displaystyle \ln \left|\sin x\right|+C}
sec
x
{\displaystyle \,\ \sec x}
sec
x
tan
x
{\displaystyle \,\ \sec x\tan x}
ln
|
sec
x
+
tan
x
|
+
C
{\displaystyle \ln \left|\sec x+\tan x\right|+C}
csc
x
{\displaystyle \,\ \csc x}
−
csc
x
cot
x
{\displaystyle \,\ -\csc x\cot x}
−
ln
|
csc
x
+
cot
x
|
+
C
{\displaystyle \ -\ln \left|\csc x+\cot x\right|+C}
Прегледот на скоро сите особини на тригонометриските функции кои се однесуваат на решавање на триаголници се дадени во статијата: рамнинска тригонометрија .
Во посебен прилог може да се најдат доказите за адиционите формули, каде спаѓаат и формулите за двојни агли , потоа половини агли , како и претставување на збир и разлика на тригонометриски функции со помош на производ и обратно, и изразување на останатите тригонометриски функции со помош на тангенс од половина агол.
Исто така, во посебен прилог се дадени тригонометриските равенки .
Тригонометриски функции како решенија на диференцијални равенки[ уреди | уреди извор ]
Тригонометриските функции косинус и синус може да се претстават како решенија на диференцијални равенки :
d
2
d
φ
2
R
(
φ
)
=
−
R
(
φ
)
,
{\displaystyle {\frac {d^{2}}{d\varphi ^{2}}}R(\varphi )=-R(\varphi ),}
со почетним условом
cos
(
0
)
=
sin
′
(
0
)
=
1
{\displaystyle \cos(0)=\sin '(0)=1}
.
cos
″
x
=
−
cos
x
,
{\displaystyle \ \cos ''x=-\cos x,}
sin
″
x
=
−
sin
x
.
{\displaystyle \ \sin ''x=-\sin x.}
Тригонометриски функции како решенија на функционални равенки[ уреди | уреди извор ]
Функциите косинус и синус може да се одредат како непрекинати решенија на системи функционални равенки :
{
f
(
x
+
y
)
=
f
(
x
)
f
(
y
)
−
g
(
x
)
g
(
y
)
g
(
x
+
y
)
=
g
(
x
)
f
(
y
)
+
f
(
x
)
g
(
y
)
{\displaystyle \left\{{\begin{array}{rcl}f(x+y)&=&f(x)f(y)-g(x)g(y)\\g(x+y)&=&g(x)f(y)+f(x)g(y)\end{array}}\right.}
Инверзни тригонометриски функции се arcsin x (аркус синус икс), arccos x (аркус косинус ), arctg x (аркус тангенс ), arcctg x (аркус котангенс ). Тие се инверзни на тригонометриските функции sin x (синус икс), cos x (косинус ), tg x (тангенс ), ctg x (котангенс ). Претставката аркус потекнува од латинскиот збор arcus - лак, агол. Се нарекуваат и циклометриски функции.
за
−
π
2
≤
y
≤
π
2
,
y
=
arcsin
x
ако
x
=
sin
y
;
за
0
≤
y
≤
π
,
y
=
arccos
x
ако
x
=
cos
y
;
за
−
π
2
<
y
<
π
2
,
y
=
arctan
x
ако
x
=
tan
y
;
за
−
π
2
≤
y
≤
π
2
,
y
≠
0
,
y
=
arccsc
x
ако
x
=
csc
y
;
за
0
≤
y
≤
π
,
y
≠
π
2
,
y
=
arcsec
x
ако
x
=
sec
y
;
за
0
<
y
<
π
,
y
=
arccot
x
ако
x
=
cot
y
.
{\displaystyle {\begin{matrix}{\mbox{за}}&-{\frac {\pi }{2}}\leq y\leq {\frac {\pi }{2}},&y=\arcsin x&{\mbox{ако}}&x=\sin y\,;\\\\{\mbox{за}}&0\leq y\leq \pi ,&y=\arccos x&{\mbox{ако}}&x=\cos y\,;\\\\{\mbox{за}}&-{\frac {\pi }{2}}<y<{\frac {\pi }{2}},&y=\arctan x&{\mbox{ако}}&x=\tan y\,;\\\\{\mbox{за}}&-{\frac {\pi }{2}}\leq y\leq {\frac {\pi }{2}},y\neq 0,&y=\operatorname {arccsc} x&{\mbox{ако}}&x=\csc y\,;\\\\{\mbox{за}}&0\leq y\leq \pi ,y\neq {\frac {\pi }{2}},&y=\operatorname {arcsec} x&{\mbox{ако}}&x=\sec y\,;\\\\{\mbox{за}}&0<y<\pi ,&y=\operatorname {arccot} x&{\mbox{ако}}&x=\cot y\,.\end{matrix}}}
Примената на тригонометријата и тригонометриските функции во физиката е многу голема.
Така на пример доста се користат во анализа на простирањето на брановите, опишување на хармониските осцилации како периодични движења, претставување на наизменичната струја , итн.
↑ Боривоје Миладиновиќ, Трајче Ѓорѓијевски и Никола Петрески, Математика за II година гимназиско образование . Скопје: Алби, 2009, стр. 8-9.