なかなか回答がつかないようですので、
以下、見様見真似の恥ずかしいコードで恐縮ですが、
とりあえずご参考までに。
動作の概要
当該メールのすべての添付ファイルを、
指定された一時フォルダに保存し、
(サンプルではC:\Documents and Settings\User_Name\デスクトップ\temp)
関連付けられたアプリケーションで印刷する
Private Declare Function ShellExecute Lib "SHELL32.dll" _
Alias "ShellExecuteA" _
(ByVal hWnd As Long, _
ByVal lpOperation As String, _
ByVal lpFile As String, _
ByVal lpParameters As String, _
ByVal lpDirectory As String, _
ByVal nShowCmd As Long) As Long
Sub Sample0710270(メール As MailItem)
一時フォルダ = "C:\Documents and Settings\User_Name\デスクトップ\temp"
For Each 添付ファイル In メール.Attachments
ファイル名 = 一時フォルダ & "\" & 添付ファイル.DisplayName
添付ファイル.SaveAsFile (ファイル名)
Call ShellExecute(lngHwnd, "print", ファイル名, "", "", 1)
Next 添付ファイル
End Sub
(WindowsXP/Outlook2003で動作確認)
[仕訳ルールと通知]の[スクリプトを実行する]に、
Sample0710270を登録して動作させることを想定しています。
添付ファイルをいったん保存する必要があるので、
適当なフォルダをあらかじめ用意して
コード中でそのパスを指定しておく必要があります。
TIFFファイルに関連付けられたアプリケーションによっては
うまく動作しないかもしれません。
テスト環境では、TIFFファイルは
"Microsoft Office Document Imaging"に関連付けられています。
「添付ファイルを人の目を介さずフルオートで処理する」という運用は、
なんとなくセキュリティ的にアブナい感じがします。
受信時に直接動作させるのではなく、
受信時には中間フォルダに移動させるだけにし、
目視で確認した上で再度仕訳ルールを適用して
一括して印刷と移動を行うようにした方が安全かと思います。
あるいは、受信時には添付ファイルを保存するだけにして、
エクスプローラ上で複数選択⇒右クリック⇒印刷 とか。