Ciąg Fareya

Ciąg ułamków Fareya rzędu $n$ – rosnący ciąg ${\mathcal {F}}_{n}$ wszystkich nieskracalnych ułamków ${\frac {h}{k}}$ takich, że $1\leqslant k\leqslant n\wedge 0\leqslant h\leqslant k$ ^[1].

Przykład

${\mathcal {F}}_{5}=\left({\frac {0}{1}},{\frac {1}{5}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{3}},{\frac {2}{5}},{\frac {1}{2}},{\frac {3}{5}},{\frac {2}{3}},{\frac {3}{4}},{\frac {4}{5}},{\frac {1}{1}}\right)$ ^[2].

Własności

Twierdzenie Cauchy’ego-Fareya^[3].
Dla $N\geqslant 1$ nie ma dwóch kolejnych ułamków o tym samym mianowniku^[4].
Jeśli ${\frac {h_{1}}{k_{1}}},{\frac {h_{2}}{k_{2}}},{\frac {h_{3}}{k_{3}}}$ są kolejnymi ułamkami ciągu ułamków Fareya ${\mathcal {F}}_{n},$ to ${\frac {h_{2}}{k_{2}}}={\frac {h_{1}+h_{3}}{k_{1}+k_{3}}}$ ^[5].
Jeśli ${\frac {h_{1}}{k_{1}}},{\frac {h_{2}}{k_{2}}}$ są kolejnymi ułamkami ciągu ułamków Fareya ${\mathcal {F}}_{n},$ to $k_{1}+k_{2}\geqslant n+1$ ^[6].

Przykład zastosowania

Ta sekcja od 2017-07 zawiera treści, przy których brakuje odnośników do źródeł.

Należy dodać przypisy do treści niemających odnośników do źródeł. Dodanie listy źródeł bibliograficznych jest problematyczne, ponieważ nie wiadomo, które treści one uźródławiają.
Sprawdź w źródłach: Encyklopedia PWN • Google Books • Google Scholar • Federacja Bibliotek Cyfrowych • BazHum • BazTech • RCIN • Internet Archive (texts / inlibrary)
Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się w dyskusji tej sekcji.
Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tej sekcji.

Znaleźć liczby $m<{\sqrt {\frac {1}{2}}}<d$ najbliższe ${\sqrt {\frac {1}{2}}},$ których mianowniki są mniejsze od 50.

Mamy:

{\frac {0}{1}}<{\sqrt {\frac {1}{2}}}<{\frac {1}{1}},

czyli

{\frac {0}{1}}\leqslant m<{\sqrt {\frac {1}{2}}}<d\leqslant {\frac {1}{1}},

zachodzi nierówność:

{\frac {0+1}{1+1}}\leqslant m<{\sqrt {\frac {1}{2}}},

więc:

{\frac {1}{2}}\leqslant m<{\sqrt {\frac {1}{2}}}<d\leqslant {\frac {1}{1}}.

Zauważamy, że skrajne wartości są najlepszymi oszacowaniami spośród liczb o mianowniku nie większym niż 2.

Stwierdzamy, że ${\frac {1+1}{2+1}}={\frac {2}{3}}<{\sqrt {\frac {1}{2}}},$

czyli:

{\frac {1}{2}}<{\frac {2}{3}}\leqslant m<{\sqrt {\frac {1}{2}}}<d\leqslant {\frac {1}{1}},

a zatem:

{\frac {2}{3}}\leqslant m<{\sqrt {\frac {1}{2}}}<d\leqslant {\frac {1}{1}}.

W kolejnych krokach dostajemy:

{\frac {2}{3}}\leqslant m<{\sqrt {\frac {1}{2}}}<d\leqslant {\frac {3}{4}}

{\frac {2}{3}}\leqslant m<{\sqrt {\frac {1}{2}}}<d\leqslant {\frac {5}{7}}

{\frac {7}{10}}\leqslant m<{\sqrt {\frac {1}{2}}}<d\leqslant {\frac {5}{7}}

{\frac {12}{17}}\leqslant m<{\sqrt {\frac {1}{2}}}<d\leqslant {\frac {5}{7}}

{\frac {12}{17}}\leqslant m<{\sqrt {\frac {1}{2}}}<d\leqslant {\frac {17}{24}}

{\frac {12}{17}}\leqslant m<{\sqrt {\frac {1}{2}}}<d\leqslant {\frac {29}{41}}

Liczby ${\frac {12}{17}}$ oraz ${\frac {29}{41}}$ są kolejnymi liczbami w pięćdziesiątym ciągu Fareya, więc nie ma pomiędzy nimi liczby o mianowniku mniejszym niż 58, czyli są to poszukiwane liczby.

Zobacz też

drzewo Sterna-Brocota

Przypisy

↑ Wacław Marzantowicz, Piotr Zarzycki, Elementarna teoria liczb, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2012, ISBN 978-83-01-14855-3, s. 58, Definicja 12.2.
↑ Wacław Marzantowicz, Piotr Zarzycki, Elementarna teoria liczb, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2012, ISBN 978-83-01-14855-3, s. 58, Przykład 12.3.
↑ Wacław Marzantowicz, Piotr Zarzycki, Elementarna teoria liczb, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2012, ISBN 978-83-01-14855-3, s. 58, Twierdzenie 12.4.
↑ Wacław Marzantowicz, Piotr Zarzycki, Elementarna teoria liczb, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2012, ISBN 978-83-01-14855-3, s. 59, Twierdzenie 12.6.
↑ Wacław Marzantowicz, Piotr Zarzycki, Elementarna teoria liczb, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2012, ISBN 978-83-01-14855-3, s. 59, Twierdzenie 12.7.
↑ Wacław Marzantowicz, Piotr Zarzycki, Elementarna teoria liczb, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2012, ISBN 978-83-01-14855-3, s. 59, Twierdzenie 12.8.

Linki zewnętrzne

Ułamki Fareya, Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechniki Warszawskiej (MiNI PW), kanał „Archipelag Matematyki” na YouTube, 27 lipca 2017 [dostęp 2024-09-04].
Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Farey Sequence, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12] (ang.).

[1] Wacław Marzantowicz, Piotr Zarzycki, Elementarna teoria liczb, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2012, ISBN 978-83-01-14855-3, s. 58, Definicja 12.2.

[2] Wacław Marzantowicz, Piotr Zarzycki, Elementarna teoria liczb, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2012, ISBN 978-83-01-14855-3, s. 58, Przykład 12.3.

[3] Wacław Marzantowicz, Piotr Zarzycki, Elementarna teoria liczb, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2012, ISBN 978-83-01-14855-3, s. 58, Twierdzenie 12.4.

[4] Wacław Marzantowicz, Piotr Zarzycki, Elementarna teoria liczb, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2012, ISBN 978-83-01-14855-3, s. 59, Twierdzenie 12.6.

[5] Wacław Marzantowicz, Piotr Zarzycki, Elementarna teoria liczb, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2012, ISBN 978-83-01-14855-3, s. 59, Twierdzenie 12.7.

[6] Wacław Marzantowicz, Piotr Zarzycki, Elementarna teoria liczb, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2012, ISBN 978-83-01-14855-3, s. 59, Twierdzenie 12.8.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]