Funkcja σ

Funkcja σ (sigma), niekiedy $d(n)$ – funkcja określona dla liczb naturalnych jako suma wszystkich dodatnich dzielników danej liczby.

Przykładowo: $\sigma (6)=1+2+3+6=12.$

Sumę $k$-tych potęg dzielników oznacza się przez $\sigma _{k}(n),$ na przykład $\sigma _{0}(n)$ to liczba dzielników danej liczby, znana również jako funkcja τ.

Liczby spełniające równanie $\sigma (n)=2n$ nazywa się liczbami doskonałymi, nierówność $\sigma (n)>2n$ nadmiarowymi, a nierówność $\sigma (n)<2n$ deficytowymi.

Twierdzenie

Jeśli $n\in \mathbb {N}$ ma rozkład na czynniki pierwsze postaci $n=p_{1}^{\alpha _{1}}p_{2}^{\alpha _{2}}\dots p_{k}^{\alpha _{k}},$ to

$\sigma (n)={\frac {p_{1}^{\alpha _{1}+1}-1}{p_{1}-1}}\cdot {\frac {p_{2}^{\alpha _{2}+1}-1}{p_{2}-1}}\cdot \ldots \cdot {\frac {p_{k}^{\alpha _{k}+1}-1}{p_{k}-1}}.$

Dowód

Każdy dzielnik naturalny liczby $n$ można przestawić w postaci:

$d=p_{1}^{\lambda _{1}}p_{2}^{\lambda _{2}}\dots p_{k}^{\lambda _{k}},$

gdzie:

$\lambda _{i}\in \mathbb {Z} ,\ 0\leqslant \lambda _{i}\leqslant \alpha _{i}.$

(1)

Ponieważ różnym układom liczb $\lambda _{1}\dots \lambda _{k}$ spełniającym (1) odpowiadają różne dzielniki $n,$ więc:

$\sigma (n)=\sum p_{1}^{\lambda _{1}}p_{2}^{\lambda _{2}}\dots p_{k}^{\lambda _{k}},$

(2)

gdzie sumowanie rozciąga się na wszystkie układy liczb całkowitych spełniające (1).

Każdy składnik sumy (2) występuje dokładnie raz, dlatego tę sumę można „zwinąć” do postaci iloczynowej:

$\sigma (n)=\left(1+p_{1}^{1}+\ldots +p_{1}^{\alpha _{1}}\right)\left(1+p_{2}^{1}+\ldots +p_{2}^{\alpha _{2}}\right)\dots \left(1+p_{k}^{1}+\ldots +p_{k}^{\alpha _{k}}\right).$

Z kolei $i$-ty czynnik powyższego iloczynu jest skończoną sumą szeregu geometrycznego o ilorazie $p_{i},$ więc

$1+p_{i}^{1}+\ldots +p_{i}^{\alpha _{i}}={\frac {p_{i}^{\alpha _{i}+1}-1}{p_{i}-1}}.$

Stąd teza.

Bibliografia

• Wacław Sierpiński: Teoria liczb. Warszawa, Wrocław: 1950, s. 113–116, seria: Monografie Matematyczne (19). [dostęp 2009-01-05].
• Wacław Sierpiński: Arytmetyka teoretyczna. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1969, s. 121–122, seria: Biblioteka Matematyczna, tom 7.