Wzór Stirlinga

Wzór Stirlinga – wzór pozwalający obliczyć w przybliżeniu wartość silni:

$n!\approx {\bigg (}{\frac {n}{e}}{\bigg )}^{n}{\sqrt {2\pi n}}$

(1)

Wzór ten daje dobre przybliżenie dla dużych liczb $n.$

Formalnie: $\lim _{n\to \infty }{\frac {n!}{{\sqrt {2\pi n}}\;\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}}=1.$

Przybliżona, często używana postać logarytmiczna:

$\ln n!\approx n\ln n-n.$

Wzór Stirlinga stosuje się także dla obliczania przybliżonej wartości funkcji gamma, która rozszerza funkcję silnia na zbiór liczb zespolonych.

Nazwa pochodzi od nazwiska szkockiego matematyka: Jamesa Stirlinga.

Wyprowadzenie

Wzór, wraz z precyzyjnym oszacowaniem błędu, może być wyprowadzony następująco. Zamiast przybliżać $n!,$ weźmy logarytm naturalny

$\ln n!=\ln 1+\ln 2+\ldots +\ln n.$

Następnie, aby znaleźć przybliżenie wartości $\ln(n!),$ stosujemy wzór Eulera-Maclaurina, podstawiając $f(x)=\ln(x){:}$

$\ln(n)!=n\ln n-n+1-{\frac {\ln n}{2}}+\sum _{k=2}^{m}{\frac {B_{k}{(-1)}^{k}}{k(k-1)}}\,\cdot \,\left({\frac {1}{n^{k-1}}}-1\right)+R,$

gdzie $B_{k}$ to liczba Bernoulliego, a $R$ jest resztą wzoru Eulera-Maclaurina.

Dalej z obu stron bierzemy granicę,

$\lim _{n\to \infty }\left(\ln n!-n\ln n+n-{\frac {\ln n}{2}}\right)=1+\sum _{k=2}^{m}{\frac {B_{k}{(-1)}^{k}}{k(k-1)}}+\lim _{n\to \infty }R.$

Niech $y$ równa się powyższej granicy. Łącząc powyższe dwa wzory, dostajemy wzór przybliżony w postaci logarytmicznej:

$\ln n!=\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\ln n-n+y+\sum _{k=2}^{m}{\frac {B_{k}{(-1)}^{k}}{k(k-1)n^{k-1}}}+O\left({\frac {1}{n^{m}}}\right),$

gdzie O(·) to notacja dużego O.

Niech obie strony równania będą wykładnikami funkcji wykładniczej oraz wybierzmy jakąś konkretną dodatnią liczbę całkowitą, np. 1. Dostajemy wyrażenie z nieznanym wyrazem $e^{y}.$

$n!=e^{y}{\sqrt {n}}\ \left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+O\left({\frac {1}{n}}\right)\right).$

Nieznany wyraz $e^{y}$ może być wyznaczony poprzez wzięcie granicy po obu stronach przy $n$ dążącym do nieskończoności oraz używając iloczynu Wallisa. Wartością $e^{y}$ jest ${\sqrt {2\pi }}.$ Otrzymujemy wzór Stirlinga:

$n!={\sqrt {2\pi n}}\ \left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+O\left({\frac {1}{n}}\right)\right).$

Wzór może być również wyprowadzony poprzez wielokrotne całkowanie przez części. Wyraz wiodący może być znaleziony poprzez metodę największego spadku.

Szybkość zbieżności i oszacowanie błędu

Przykład porównania jakości przybliżenia dla wzorów (1) (wersja popularna) oraz (2) (wersja dokładniejsza, $\lambda =(12\ n)^{-1}$). Dla n = 140 n! jest wyznaczona z dokładnością do 9 cyfr znaczących.

Dokładniej,

$n!={\sqrt {2\pi n}}\;\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}e^{\lambda _{n}},$

(2)

przy

${\frac {1}{12n+1}}<\lambda _{n}<{\frac {1}{12n}}.$

Tak naprawdę, wzór Stirlinga jest pierwszym przybliżeniem następującego szeregu (szeregu Stirlinga):

$n!={\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+{\frac {1}{12n}}+{\frac {1}{288n^{2}}}-{\frac {139}{51840n^{3}}}-{\frac {571}{2488320n^{4}}}+\ldots \right).$

Przy $n\to \infty ,$ błąd w seriach o skończonej długości jest co najwyżej równy pierwszemu pominiętemu wyrazowi. Jest to przykład rozwinięcia asymptotycznego.

Rozwinięcie asymptotyczne logarytmu również jest nazywane szeregiem Stirlinga:

$\ln n!=n\ln n-n+{\frac {1}{2}}\ln(2\pi n)+{\frac {1}{12n}}-{\frac {1}{360n^{3}}}+{\frac {1}{1260n^{5}}}-{\frac {1}{1680n^{7}}}+\ldots$

W tym przypadku błąd, wskutek pominięcia dalszych wyrazów, jest zawsze tego samego znaku i tego samego rzędu, co pierwszy pominięty wyraz.

Wzór Stirlinga dla funkcji gamma

Porównanie aproksymacji Stirlinga z funkcją gamma

Wzór Stirlinga ma zastosowanie do przybliżonego obliczania funkcji gamma; funkcja ta jest zdefiniowana dla wszystkich liczb zespolonych innych niż liczby całkowite niedodatnie; jeżeli część rzeczywista liczby zespolonej jest większa od zera, $\Re (z)>0,$ to

$\ln \Gamma (z)=\left(z-{\frac {1}{2}}\right)\ln z-z+{\frac {\ln {2\pi }}{2}}+2\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {\operatorname {arctg} {\frac {t}{z}}}{\exp(2\pi t)-1}}dt.$

Powtarzane całkowanie przez części daje rozwinięcie asymptotyczne

$\ln \Gamma (z)=\left(z-{\frac {1}{2}}\right)\ln z-z+{\frac {\ln {2\pi }}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}}{2n(2n-1)z^{2n-1}}},$

gdzie $B_{n}$ jest $n$-tą liczbą Bernoulliego. Wzór jest poprawny dla modułu z $z,$ mianowicie $|\arg z|<\pi -\varepsilon ,$ gdzie $\varepsilon$ jest dodatni. Błąd przybliżenia:

$O(z^{-m-1/2})$ dla użytych $m$ wyrazów.

Zbieżna postać wzoru Stirlinga

Wyznaczenie zbieżnej postaci wzoru Stirlinga wymaga oszacowania

$\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {2\operatorname {arctg} {\frac {t}{z}}}{\exp(2\pi t)-1}}\,dt=\ln \Gamma (z)-\left(z-{\frac {1}{2}}\right)\ln z+z-{\frac {1}{2}}\ln(2\pi ).$

Jedną z metod jest uśrednianie zbieżnych serii odwróconych rosnących eksponent. Jeśli $z^{\overline {n}}=z(z+1)\ldots (z+n-1),$ wtedy

$\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {2\operatorname {arctg} {\frac {t}{z}}}{\exp(2\pi t)-1}}\,dt=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {c_{n}}{(z+1)^{\overline {n}}}},$

gdzie:

$nc_{n}=\int \limits _{0}^{1}x^{\overline {n}}\left(x-{\frac {1}{2}}\right)\,dx.$

Z tego otrzymujemy następującą postać ww. wzoru

$\ln \Gamma (z)=\left(z-{\frac {1}{2}}\right)\ln z-z+{\frac {\ln {2\pi }}{2}}$

$+{\frac {1}{12(z+1)}}+{\frac {1}{12(z+1)(z+2)}}+{\frac {59}{360(z+1)(z+2)(z+3)}}+\ldots ,$

który zbiega, gdy $\Re (z)>0.$

Historia

Wzór został odkryty przez Abrahama de Moivre w postaci

$n!\sim c\cdot n^{n+1/2}e^{-n},\quad c=\operatorname {const} .$

Wkładem Stirlinga było pokazanie, że stałą $c$ jest ${\sqrt {2\pi }}.$ Bardziej precyzyjną wersję podał Jacques Binet.

Przybliżenie Stirlinga „pierwszego rzędu”, $n!=n^{n},$ zostało użyte przez Maxa Plancka w jego artykule z roku 1901, w którym wyprowadził on wzór na promieniowanie ciała doskonale czarnego. Przybliżenie to powiązało zaproponowaną przez Plancka koncepcję elementów energii z wzorem na promieniowanie ciała doskonale czarnego. Przybliżenie było później często używane w teorii kwantowej, na przykład przez Louis de Broglie’a. Dla bardzo dużych $n$ wykres przybliżenia „pierwszego rzędu” wzoru Stirlinga, zrobiony w skali logarytmicznej, jest prawie równoległy do linii otrzymanej z koncepcji odseparowanych od siebie kwantów światła.

Jednak entropia układu, obliczona przy zastosowaniu przybliżenia Stirlinga „pierwszego rzędu”, jest inna, przy czym stosunek tych wielkości staje się silnie nieliniowy dla małych $n.$ Można tylko spekulować, że podobny wpływ na entropię systemu mogłoby mieć wprowadzenie do opisu zasady nieoznaczoności, spinu fotonu i innych wielkości fizycznych nieznanych w czasie, gdy powstawała stara teoria kwantowa. Brak jest doświadczalnej weryfikacji związków między użytym przez Plancka przybliżeniem Stirlinga „pierwszego rzędu” i najnowszymi teoriami fizycznymi.

Zobacz też

• funkcje specjalne

Bibliografia

• Abramowitz M., Stegun I., Handbook of Mathematical Functions, http://www.math.hkbu.edu.hk/support/aands/toc.htm.
• Paris R.B., Kaminsky D., Asymptotics and the Mellin-Barnes Integrals, Cambridge University Press, 2001.
• Whittaker E.T., Watson G.N., A Course in Modern Analysis, fourth edition, Cambridge University Press, 1963. ISBN 0-521-58807-3.