Sieczna

Sieczna $S$ przecina krzywą $K$ w punktach $P,Q$

Sieczna – prosta przecinająca daną krzywą w co najmniej dwóch punktach. Odcinek siecznej ograniczony punktami przecięcia z krzywą nazywa się cięciwą tej krzywej.

Twierdzenie o siecznej okręgu przechodzącej przez punkt

Dla danego punktu $P$ i okręgu $o,$ dla każdej siecznej przechodzącej przez $P$ i przecinającej $o$ w punktach $A$ i $B$ wartość wyrażenia $|PA|\cdot |PB|$ jest ta sama. Twierdzenie to jest prawdziwe również dla zdegenerowanych siecznych, tzn. stycznych.

Dowód

Dla $P$ na zewnątrz okręgu

Poprowadźmy z punktu $P$ styczną i sieczną okręgu $o.$ Punkt styczności nazwijmy $T,$ a punkty przecięcia z sieczną $A$ i $B,$ gdzie $|PA|<|PB|.$ Kąt $PBT$ jest kątem wpisanym opartym na cięciwie $TA,$ więc przystaje do kąta dopisanego $ATP.$ Trójkąty $ATP$ i $TBP$ mają wspólny kąt $TPB,$ a ich pozostałe kąty są przystające, więc są podobne.

Wobec tego prawdą jest, że:

${\frac {|PT|}{|PA|}}={\frac {|PB|}{|PT|}}.$

Po wymnożeniu obustronnie przez $|PA|\cdot |PT|$ otrzymujemy

$|PT|^{2}=|PA|\cdot |PB|.$

Identyczne rozumowanie można przeprowadzić dla dowolnej innej siecznej, a dla drugiej stycznej wniosek jest trywialny, więc, ponieważ dla dowolnej siecznej $|PT|^{2}=|PA|\cdot |PB|,$ a $|PT|$ jest stałe, to ${|PA|}\cdot |PB|$ też musi być stałe, co kończy dowód.

Dla $P$ wewnątrz okręgu

Pary kątów DAB, DCB i ADC, ABC są parami kątów wpisanych opartych na tym samym łuku, więc są przystające, więc trójkąty DAP, BCP są podobne według cechy kk. Stąd:

${\frac {|AP|}{|PD|}}={\frac {|CP|}{|PB|}}$

$|AP|\cdot |PB|=|DP|\cdot |PC|$

co było do udowodnienia.

Zobacz też

• metoda siecznych