Walec (bryła)

Przykład walca pochyłego

Walec – w sensie szerokim (ogólnym) jest to dowolna bryła ograniczona:

1. powierzchnią walcową;
2. parą płaszczyzn równoległych do siebie, ale nie do tej powierzchni.

Prosta przesuwającą się równolegle wzdłuż krzywej płaskiej (podstawy walca), która zakreśla powierzchnię walcową, nazywa się tworzącą walca.

Wyróżnia się dwa rodzaje walców ze względu na kąt między tymi płaszczyznami a tworzącą:

• jeśli są prostopadłe do tworzącej, walec nazywa się prostym. Czasem definicja walca jest zawężona tylko do tego szczególnego przypadku – podstaw prostopadłych do powierzchni bocznej;
• jeśli walec nie jest prosty, to jest nazywany pochyłym.

Podstawą walca może być dowolna figura płaska, np.:

• krzywa stożkowa: elipsa, parabola lub hiperbola. Mówi się wówczas odpowiednio o walcu eliptycznym, parabolicznym i hiperbolicznym, przy czym jedynie pierwszy z nich może utworzyć bryłę;
• wielokąt – taki walec nazywa się graniastosłupem, przy czym ten typ bryły ma też inną, równoważną definicję.

Walec kołowy prosty

Walec kołowy prosty z zaznaczoną wysokością i promieniem

Jego podstawą oraz górną częścią jest koło, a jego szerokość jest w każdym miejscu taka sama. Walec ten powstaje przez obrót prostokąta wokół jednego z jego boków. Walec bywa definiowany w ten wąski sposób lub równoważnie, przez kołowe podstawy i prostokątne przekroje.

Podstawowe wzory

Niech:

• $r$ – promień podstawy walca,
• $h$ – wysokość walca.

Pole powierzchni podstawy

$P_{p}\ =\pi r^{2}$

Pole powierzchni bocznej

$P_{b}\ =2\pi rh$

Pole powierzchni całkowitej

${\begin{aligned}P_{c}\ &=2P_{p}+P_{b}=\\&=2\pi r^{2}+2\pi rh=\\&=2\pi r(r+h)\end{aligned}}$

Objętość

$V\ =\pi r^{2}h$

Opis analityczny

Bryła ta jest w pewnym kartezjańskim układzie współrzędnych opisana jako zbiór punktów $(x,y,z)$ spełniających układ nierówności:

${\begin{cases}x^{2}+y^{2}\leqslant r^{2}\\0\leqslant z\leqslant h\end{cases}}$

zaś w pewnym układzie walcowym jako zbiór punktów $(\rho ,\phi ,z)$ spełniających układ nierówności:

${\begin{cases}\rho \leqslant r\\0\leqslant z\leqslant h\end{cases}}$

gdzie $r>0$ jest promieniem walca, zaś $h>0$ – jego wysokością.

Często walcem nazywa się też powierzchnię walcową, będącą przedłużeniem w nieskończoność powierzchni bocznej walca. Jej równanie: $x^{2}+y^{2}=r^{2}.$

Zobacz też

• wielościan

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Cylinder, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2024-05-20].
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Right Circular Cylinder, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2024-05-20].
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Cylinder-Cylinder Intersection, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2024-05-20].
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Cylinder Cutting, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2024-05-20].
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Generalized Cylinder, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2024-05-20].
• Cylinder (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-05-20].