Twierdzenie Monge’a

Twierdzenie Monge’a – twierdzenie geometrii mówiące, że dla dowolnych trzech parami rozłącznych okręgów, punkty przecięć trzech par prostych stycznych zewnętrznie do odpowiednich par okręgów są współliniowe. Problem został postawiony przez d’Alemberta oraz udowodniony przez Gasparda Monge’a w 1798 roku

Dowód

Oznaczmy promienie okręgów przez odpowiednio $r_{1},r_{2},r_{3},$ a środki przez $O_{1},O_{2},O_{3}.$ Niech ponadto $Z_{ij}$ będzie przecięciem stycznych zewnętrznych do okręgów $O_{i}$ i $O_{j}.$

Ponieważ promienie prostopadłe do stycznej są równoległe, więc z twierdzenia Talesa mamy równości:

${\frac {O_{2}Z_{23}}{O_{3}Z_{23}}}={\frac {r_{2}}{r_{3}}},\quad {\frac {O_{1}Z_{13}}{O_{3}Z_{13}}}={\frac {r_{1}}{r_{3}}},\quad {\frac {O_{2}Z_{12}}{O_{1}Z_{12}}}={\frac {r_{2}}{r_{1}}}.$

Ponieważ

${\frac {O_{2}Z_{23}}{O_{3}Z_{23}}}\ {\frac {O_{1}Z_{13}}{O_{3}Z_{13}}}\ {\frac {O_{2}Z_{12}}{O_{1}Z_{12}}}={\frac {r_{2}}{r_{3}}}\ {\frac {r_{3}}{r_{1}}}\ {\frac {r_{1}}{r_{2}}}=1,$

więc z twierdzenia Menelaosa dla trójkąta $O_{1}O_{2}O_{3}$ punkty $Z_{12},Z_{23},Z_{31}$ są współliniowe.

Przypadek, gdy dwa okręgi nie są rozłączne

Dowód Johna Sweeta

Inżynier John Sweet opracował inny, intuicyjny dowód powyższego twierdzenia. Louis A. Graham przytacza jego tok rozumowania:

Przypuśćmy, że trzy okręgi na płaszczyźnie są tak naprawdę kołami wielkimi pewnych trzech kul, a styczne zewnętrzne to ślady trzech stożków, w które wpisane są kule. Wierzchołki tych stożków będą leżały na płaszczyźnie, w której leżą trzy koła wielkie. Teraz wyobraźmy sobie płaszczyznę styczną zewnętrznie do trzech kul. Będzie ona styczna również do trzech stożków i zawierała ich wierzchołki. Tak więc wierzchołki stożków będą należały do części wspólnej tych dwóch płaszczyzn, czyli będą współliniowe.

Dowód ten nie sprawdza się jednak w przypadku, gdy najmniejszy z trzech okręgów leży pomiędzy dwoma pozostałymi.

Uogólnienia

Trzy rozłączne okręgi o różnych promieniach i ich sześć środków jednokładności: zewnętrzne $(Z_{12},Z_{23},Z_{31})$ i wewnętrzne $(W_{12},W_{23},W_{31})$ oraz proste, na których leżą

Nie jest niezbędne, aby okręgi w twierdzeniu były rozłączne. Okręgi te mogą się przecinać, o ile nie zawierają się nawzajem.

W twierdzeniu powyższym zamiast przecięcia stycznych zewnętrznych do pary okręgów można rozważać dwa środki jednokładności. Każda para okręgów rozłącznych będzie miała dwa takie środki, jeden zewnętrzny, a drugi wewnętrzny, leżący pomiędzy okręgami. Wtedy, twierdzenie przyjmuje postać:

Dla danych trzech rozłącznych okręgów o różnych promieniach, sześć środków jednokładności wyznaczonych przez każdą z par kół będzie leżało na czterech prostych, po trzy na każdej z nich. Każde dwa wewnętrzne środki jednokładności będą współliniowe z zewnętrznym środkiem jednokładności z pozostałej pary okręgów. Ponadto trzy zewnętrzne środku jednokładności będą leżały na wspólnej prostej.

Twierdzenie Monge’a ma swój analogon w trzech wymiarach. Rozważmy cztery rozłączne kule. Na każdej z par kul opiszmy stożek, w ten sposób, że obie kule leżą po tej samej stronie jego wierzchołka (jest to odpowiednik stycznych zewnętrznych). Wtedy wierzchołki czterech stożków leżą na jednej płaszczyźnie .

Twierdzenie w ogólnej postaci można w końcu rozszerzyć na więcej wymiarów:

Mając $n+1$ rozłącznych $n$-wymiarowych kul w przestrzeni $n$-wymiarowej, $n(n+1)$ środków jednokładności par tych kul leży na $2_{n}$ hiperpłaszczyznach, po ${\frac {1}{2}}n(n+1)$ na każdej z nich .

Bibliografia

• Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Math Made Visual. Creating Images for Understanding Mathematics. The Mathematical Association of America, 2006.
• Matrin Gardner: The Colossal Book of Short Puzzles and Problems. W.W.Norton & Company, 2006.
• Louis A. Graham: Ingenious Mathematical Problems and Methods. Nowy York: Dover Publications, Inc., 1959.
• Richard Walker. Monge’s Theorem in Many Dimensions. „The Mathematical Gazette”. 60 (413), s. 185–188, 1976. The Mathematical Association. 
• David Wells: The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. John Sharp (ilustr.). Penguin Books Ltd., 1991.

Linki zewnętrzne

• A. Bogomolny: Monge’s Theorem of three circles and common tangents from Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles.
• Eric W. Weisstein: „Monge’s Circle Theorem.” From MathWorld--A Wolfram Web Resource..