Prisekani ikozidodekaeder

Prisekani ikozidodekaeder
(animacija)
vrsta	arhimedsko telo uniformni polieder
elementi	F = 62, E = 180, V = 120 (χ = 2)
stranske ploskve na stran	30{4} + 20{6} + 12{10}
Conwayjev zapis	bD ali taD
Schläflijevi simboli	tr{5,3} ali $t{\begin{Bmatrix}5\\3\end{Bmatrix}}$
	t0,1,2{5,3}
Wythoffov simbol	2 3 5 |
Coxeter-Dinkinov diagram
simetrija	Ih, H3, [5,3], (*532), red 120
vrtilna grupa	I, [5,3]+, (532), red 60
diedrski kot	6-10: 142,62° 4-10: 148,28° 4-6: 159,095°
sklici	U28, C31, W16
značilnosti	konveksen polpravilen zonoeder
obarvane stranske ploskve	4.6.10 (slika oglišč)
disdiakisni triakontaeder (dualni polieder)	mreža telesa

Prisekani ikozidodekaeder je v geometriji konveksni polieder. Je arhimedsko telo, eno od trinajstih konveksnih izogonalnih neprizmatičnih teles skonstruirano z dvema ali več vrstami pravilnih mnogokotniških stranskih ploskev.

Ima dvainšestdeset pravilnih stranskih ploskev, od tega trideset kvadratnih, dvajset šestkotniških in dvanajst desetkotniških, ter 120 robov in 180 oglišč – največ od vseh konveksnih neprizmatičnih uniformnih poliedrov. Ker ima vsaka njegova stranska ploskev točkovno simetrijo (enakovredno 180° vrtilni simetriji), je prisekani ikozidodekaeder zonoeder.

Druga imena

Telo ima naslednja druga imena:

• prisekani ikozidodekaeder (Johannes Kepler)
• rombiprisekani ikozidodekaeder (Magnus Wenninger)
• veliki rombiikozidodekaeder (Robert Edward Williams, Peter Richard Cromwell)
• omniprisekani dodekaeder ali ikozaeder (Norman Johnson)

Ime prisekani ikozidodekaeder, ki ga je izvirno imenoval Kepler, je deloma zavajujoč. Če se priseka ikozidodekaeder, ne nastane uniformni polieder. Namesto kvadratov ima takšna prisekanost zlate pravokotnike. Vendar je nastalo telo topološko enakovredno temu in se lahko vedno deformira vse dokler stranske ploskve niso pravilne.

Ikozidodekaeder

Točno geometrično prisekavanje ikozidodekaedra tvori pravokotniške stranske ploskve in ne kvadratne.

Drugo ime veliki rombiikozidodekaeder (kakor tudi rombiprisekani ikozidodekaeder) se nanaša na dejstvo, da 30 kvadratnih stranskih ploskev leži v istih ravninah kot 30 stranskih ploskev romskega triakontaedra, ki je dual ikozidodekaedru. Primerjaj z rombiikozidodekaedrom.

Ena nesrečna stvar je, da obstaja nekonveksni uniformni polieder z enakim imenom. Glej nekonveksni veliki rombiikozidodekaeder.

Kartezične koordinate

Kartezične koordinate za oglišča prisekanega ikozidodekaedra s središčem v izhodišču z dolžino roba enako 2φ − 2 so vse sode permutacije:

(±⁠1/φ⁠, ±⁠1/φ⁠, ±(3 + φ)),

(±⁠2/φ⁠, ±φ, ±(1 + 2φ)),

(±⁠1/φ⁠, ±φ², ±(−1 + 3φ)),

(±(2φ − 1), ±2, ±(2 + φ)) in

(±φ, ±3, ±2φ),

kjer je:

$\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\!\,$ število zlatega reza.

Površina in prostornina

Površina P in prostornina V prisekanega ikozidodekaedra z dolžino roba a sta:

$P=30a^{2}\left(1+{\sqrt {3}}+{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)\approx 174,292\,0303a^{2}\!\,.$

$V=(95+50{\sqrt {5}})a^{3}\approx 206,803\,399a^{3}\!\,.$

Če se skonstruira množica vseh 13-ih arhimedskih teles z enakimi dolžinami robov, bi bil prisekani ikozidodekaeder največji.

Pravokotne projekcije

Prisekani ikozidodekaeder ima sedem posebnih pravokotnih projekcij usrediščenih na oglišče, tri vrste robov in tri vrste stranskih ploskev (kvadrati, šestkotniki in desetkotniki). Zadnji dve odgovarjata Coxeterjevima ravninama A₂ in H₂.

Pravokotne projekcije

usrediščeno na	oglišče	rob 4-6	rob 4-10	rob 6-10	stransko ploskev – kvadrat	stransko ploskev – šestkotnik	stransko ploskev – desetkotnik
slika
projektivna simetrija	[2]+	[2]	[2]	[2]	[2]	[6]	[10]
disdiakisni triakontaeder

Sferna tlakovanja in Schleglovi diagrami

Prisekani ikozidodekaeder se lahko predstavi tudi kot sferno tlakovanje in projicira na ravnino s stereografsko projekcijo. Ta projekcija je konformna in ohranja kote ne pa tudi površine ali dolžine. Premice na sferi se projicirajo kot krožni loki na ravnino.

Schleglovi diagrami so podobni s perspektivno projekcijo in ravnimi robovi.

ortografska projekcija	stereografske projekcije
	usrediščeno na desetkotnik	usrediščeno na šestkotnik	usrediščeno na kvadrat

Geometrijski odnosi

Znotraj ikozaedrske simetrije obstaja neomejeno število geometrijskih različic prisekanega ikozidodekaedra z izogonalnimi stranskimi ploskvami. Prisekani dodekaeder, rombiikozidodekaeder in prisekani ikozaeder so izrojeni mejni primeri.

Sorodni poliedri in tlakovanja

Ta polieder se ima lahko za člana zaporedja uniformnih vzorcev s sliko oglišč (4.6.2p) in Coxeter-Dinkinovim diagramom . Za p < 6 so člani omniprisekani poliedri (zonoedri), prikazani spodaj kot sferna tlakovanja. Za p > 6 so tlakovanja v hiperbolični ravnini, ki se začne s prisekanim trisedemkotnim tlakovanjem.

Različice simetrij *n32 omniprisekanih tlakovanj: 4.6.2n
simetrija *n32 [n,3]	sferna				evklidska	kompakt. hiperb.		parakomp.	nekompaktna hiperbolična
	*232 [2,3]	*332 [3,3]	*432 [4,3]	*532 [5,3]	*632 [6,3]	*732 [7,3]	*832 [8,3]	*∞32 [∞,3]	[12i,3]	[9i,3]	[6i,3]	[3i,3]
slika
oglišče	4.6.4	4.6.6	4.6.8	4.6.10	4.6.12	4.6.14	4.6.16	4.6.∞	4.6.24i	4.6.18i	4.6.12i	4.6.6i
duali
konfig.	V4.6.4	V4.6.6	V4.6.8	V4.6.10	V4.6.12	V4.6.14	V4.6.16	V4.6.∞	V4.6.24i	V4.6.18i	V4.6.12i	V4.6.6i

Glej tudi

• graf prisekanega ikozidodekaedra

Viri

• Cromwell, Peter Richard (1997), Polyhedra, Cambridge: Cambridge University Press, str. 79-86 Archimedean solids, COBISS 6472537, ISBN 0-521-55432-2
• Klitzing, Richard Klitzing, 3D convex uniform polyhedra, x3x5x - grid (angleško)
• Wenninger, Magnus J. (1974), Polyhedron Models, Cambridge University Press, COBISS 2618457, ISBN 978-0-521-09859-5, MR 0467493
• Williams, Robert Edward (1979), The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design, Dover Publications, Inc, ISBN 0-486-23729-X

Zunanje povezave

• Weisstein, Eric Wolfgang. »Great rhombicosidodecahedron«. MathWorld.
• Mreža prisekanega ikozidodekaedra z interaktivnim trirazsežnim pogledom (angleško)
• Uniformni poliedri (angleško)
• Poliedri v virtualni realnosti The Encyclopedia of Polyhedra (angleško)