Álgebra Lineal Ma1010 Núcleo e Imagen de una Transformación Lineal Departamento de Matemáticas ITESM Núcleo e Imagen de una Transformación Lineal Álgebra Lineal - p. 1/65 Núcleo de una transformación lineal Sea T : V → W una transformación lineal. Núcleo e Imagen de una Transformación Lineal Núcleo Tecnologı́a y Núcleo Inyectividad Rango Nota Suprayectividad Resultado 1 Nulidad y Rango Resultado 2 Ker y R contra SEL Ejemplo clave Álgebra Lineal - p. 2/65 Núcleo de una transformación lineal Sea T : V → W una transformación lineal. El núcleo T es el subconjunto formado por todos los vectores en V que se mapean a cero en W . Núcleo e Imagen de una Transformación Lineal Núcleo Tecnologı́a y Núcleo Inyectividad Rango Nota Suprayectividad Resultado 1 Nulidad y Rango Resultado 2 Ker y R contra SEL Ejemplo clave Álgebra Lineal - p. 2/65 Núcleo de una transformación lineal Sea T : V → W una transformación lineal. El núcleo T es el subconjunto formado por todos los vectores en V que se mapean a cero en W . Ker(T ) = {v ∈ V | T (v) = 0 ∈ W } Núcleo e Imagen de una Transformación Lineal Núcleo Tecnologı́a y Núcleo Inyectividad Rango Nota Suprayectividad Resultado 1 Nulidad y Rango Resultado 2 Ker y R contra SEL Ejemplo clave Álgebra Lineal - p. 2/65 Ejemplo Indique cuáles opciones contienen un vector en el núcleo de la transformación de R3 en R3 definida como     x −2 x + 3 z        T  y  =  −23 x − 15 y − 18 z   z −5 x − 3 y − 3 z dentro de las opciones: 1. v1 = (0, 0, 0)′ 2. v2 = (12, −28, 8)′ 3. v3 = (1, −2, 1)′ 4. v4 = (3, −7, 2)′ 5. v5 = (2, −4, −4)′ 6. v6 = (9, −18, −15)′ Núcleo e Imagen de una Transformación Lineal Núcleo Tecnologı́a y Núcleo Inyectividad Rango Nota Suprayectividad Resultado 1 Nulidad y Rango Resultado 2 Ker y R contra SEL Ejemplo clave Álgebra Lineal - p. 3/65 Solución Antes de pasar a la verificación, es conveniente observar que es posible encontrar una matriz A tal que T (x) = A · x. Es decir, aplicar T a un vector x es equivalente a multiplicar por una cierta matriz A al vector x. Empecemos con la dimensión de A: como A se multiplica por la izquierda de x y x ∈ R3 entonces el número de columnas de A es 3. Por otro lado, como el resultado A · x es un vector de R3 , entonces el número de renglones de A es 3. Si requerimos que  −2 x + 3 z       −23 x − 15 y − 18 z  =     −5 x − 3 y − 3 z Núcleo e Imagen de una Transformación Lineal  x Núcleo Tecnologı́a y Núcleo Inyectividad Rango Nota Suprayectividad Resultado 1 Nulidad y Rango Resultado 2 Ker y R contra SEL Ejemplo clave     y    z Álgebra Lineal - p. 4/65 No es difícil ver  −2 x + 3 z   −2     −23 x − 15 y − 18 z  =  −23    −5 x − 3 y − 3 z −5 0 3 −2  A=  −23 −5 0 −15 −3 −15 −3 3 x      −18   y   z −3 es decir que    Núcleo Tecnologı́a y Núcleo Inyectividad Rango Nota Suprayectividad Resultado 1 Nulidad y Rango Resultado 2 Ker y R contra SEL Ejemplo clave  −18   −3 Núcleo e Imagen de una Transformación Lineal Álgebra Lineal - p. 5/65 El vector v1 está en el núcleo de T debido a que  −2  T (v1 ) = Av1 =   −23 −5 0 −15 −3 3      0 0          −18  ·  0  =  0  =0 −3 0 0 Núcleo e Imagen de una Transformación Lineal Álgebra Lineal - p. 6/65 El vector v1 está en el núcleo de T debido a que  −2  T (v1 ) = Av1 =   −23 −5 0 −15 −3 3      0 0          −18  ·  0  =  0  =0 −3 0 0 El vector v2 está en el núcleo de T debido a que  −2  T (v2 ) = Av2 =   −23 −5 0 −15 −3 3   12   0           −18  ·  −28  =  0  =0 −3 8 0 Núcleo e Imagen de una Transformación Lineal Álgebra Lineal - p. 6/65 El vector v1 está en el núcleo de T debido a que  −2  T (v1 ) = Av1 =   −23 −5 0 −15 −3 3      0 0          −18  ·  0  =  0  =0 −3 0 0 El vector v2 está en el núcleo de T debido a que  −2  T (v2 ) = Av2 =   −23 −5 0 −15 −3 3   12   0           −18  ·  −28  =  0  =0 −3 8 0 El vector v3 no está en el núcleo de T debido a que  −2  T (v3 ) = Av3 =   −23 −5 0 −15 −3      1 1          −18  ·  −2  =  −11   6= 0 −2 −3 1 3 Núcleo e Imagen de una Transformación Lineal Álgebra Lineal - p. 6/65 El vector v4 está en el núcleo de T debido a que  −2  T (v4 ) = Av4 =   −23 −5 0 −15 −3 3      3 0          −18  ·  −7  =  0  =0 −3 2 0 Núcleo e Imagen de una Transformación Lineal Núcleo Tecnologı́a y Núcleo Inyectividad Rango Nota Suprayectividad Resultado 1 Nulidad y Rango Resultado 2 Ker y R contra SEL Ejemplo clave Álgebra Lineal - p. 7/65 El vector v4 está en el núcleo de T debido a que  −2  T (v4 ) = Av4 =   −23 −5 0 −15 −3 3      3 0          −18  ·  −7  =  0  =0 −3 2 0 El vector v5 no está en el núcleo de T debido a que  −2  T (v5 ) = Av5 =   −23 −5 0 −15 −3 3  2         −18 · −4  = −3 −4 Núcleo e Imagen de una Transformación Lineal −16  Núcleo Tecnologı́a y Núcleo Inyectividad Rango Nota Suprayectividad Resultado 1 Nulidad y Rango Resultado 2 Ker y R contra SEL Ejemplo clave  86   6= 0 14 Álgebra Lineal - p. 7/65 El vector v4 está en el núcleo de T debido a que  −2  T (v4 ) = Av4 =   −23 −5 0 −15 −3 3      3 0          −18  ·  −7  =  0  =0 −3 2 0 El vector v5 no está en el núcleo de T debido a que  −2  T (v5 ) = Av5 =   −23 −5 0 −15 −3 3  2         −18 · −4  = −3 −4 −16  Núcleo Tecnologı́a y Núcleo Inyectividad Rango Nota Suprayectividad Resultado 1 Nulidad y Rango Resultado 2 Ker y R contra SEL Ejemplo clave  86   6= 0 14 El vector v6 no está en el núcleo de T debido a que  −2  T (v6 ) = Av6 =   −23 −5 0 −15 −3     9 −63         −18 · −18  =  −333   6= 0  −54 −3 −15 3 Núcleo e Imagen de una Transformación Lineal Álgebra Lineal - p. 7/65 Ejemplo Determine el núcleo de la transformación de R3 en R3 definida como     −2 x + 3 z x     T  y  =  −23 x − 15 y − 18 z  z −5 x − 3 y − 3 z Núcleo e Imagen de una Transformación Lineal Núcleo Tecnologı́a y Núcleo Inyectividad Rango Nota Suprayectividad Resultado 1 Nulidad y Rango Resultado 2 Ker y R contra SEL Ejemplo clave Álgebra Lineal - p. 8/65 Ejemplo Determine el núcleo de la transformación de R3 en R3 definida como     −2 x + 3 z x     T  y  =  −23 x − 15 y − 18 z  z −5 x − 3 y − 3 z Núcleo Tecnologı́a y Núcleo Inyectividad Rango Nota Suprayectividad Resultado 1 Nulidad y Rango Resultado 2 Ker y R contra SEL Ejemplo clave Solución Un vector v = (a, b, c)′ pertenece al núcleo de T si T (v) = 0, es decir si:   −2 a + 3 c   T ((a, b, c)′ ) =  −23 a − 15 b − 18 c  = 0( en R3 ) −5 a − 3 b − 3 c Núcleo e Imagen de una Transformación Lineal Álgebra Lineal - p. 8/65 Por lo tanto, para pertenecer al núcleo debe cumplirse −2 a + 3 c = 0 −23 a − 15 b − 18 c = 0 −5 a − 3 b − 3 c = 0 Núcleo e Imagen de una Transformación Lineal Núcleo Tecnologı́a y Núcleo Inyectividad Rango Nota Suprayectividad Resultado 1 Nulidad y Rango Resultado 2 Ker y R contra SEL Ejemplo clave Álgebra Lineal - p. 9/65 Por lo tanto, para pertenecer al núcleo debe cumplirse −2 a + 3 c = 0 −23 a − 15 b − 18 c = 0 −5 a − 3 b − 3 c = 0 Reduciendo tenemos: Núcleo Tecnologı́a y Núcleo Inyectividad Rango Nota Suprayectividad Resultado 1 Nulidad y Rango Resultado 2 Ker y R contra SEL Ejemplo clave a − 3/2 c = 0 b + 7/2 c = 0 Núcleo e Imagen de una Transformación Lineal Álgebra Lineal - p. 9/65 Por lo tanto, para pertenecer al núcleo debe cumplirse −2 a + 3 c = 0 −23 a − 15 b − 18 c = 0 −5 a − 3 b − 3 c = 0 Reduciendo tenemos: Núcleo Tecnologı́a y Núcleo Inyectividad Rango Nota Suprayectividad Resultado 1 Nulidad y Rango Resultado 2 Ker y R contra SEL Ejemplo clave a − 3/2 c = 0 b + 7/2 c = 0 Es decir       3/2 3/2 c a        b  =  −7/2 c  = c  −7/2  1 c c Núcleo e Imagen de una Transformación Lineal Álgebra Lineal - p. 9/65 Observe que el núcleo de T en este caso es un espacio generado:    3/2      Ker(T ) = Gen  −7/2     1  Además, la dimensión de Ker(T ) es 1, lo cual coincide con el número de columnas sin pivote en la reducida de A (La matriz que define a la transformación T ). Geométricamente en R3 este generado corresponde a la línea que pasa por el origen y con vector de dirección (3/2, −7/2, 1)′ que es: x y z = =  3/2 −7/2 1 Núcleo e Imagen de una Transformación Lineal Núcleo Tecnologı́a y Núcleo Inyectividad Rango Nota Suprayectividad Resultado 1 Nulidad y Rango Resultado 2 Ker y R contra SEL Ejemplo clave Álgebra Lineal - p. 10/65 Ejemplo Determine el núcleo de la transformación de R3 en R2 definida como     x   x+y+z    T y  =  2x + 2y + 2z z Núcleo e Imagen de una Transformación Lineal Núcleo Tecnologı́a y Núcleo Inyectividad Rango Nota Suprayectividad Resultado 1 Nulidad y Rango Resultado 2 Ker y R contra SEL Ejemplo clave Álgebra Lineal - p. 11/65 Ejemplo Determine el núcleo de la transformación de R3 en R2 definida como     x   x+y+z    T y  =  2x + 2y + 2z z Solución Un vector v = (a, b, c)′ pertenece al núcleo de T si T (v) = 0, es decir si:       a   a+b+c 1 1 1 2      = T (v) = 0 ( en R ) = · b   2a + 2b + 2c 2 2 2 c Núcleo e Imagen de una Transformación Lineal Núcleo Tecnologı́a y Núcleo Inyectividad Rango Nota Suprayectividad Resultado 1 Nulidad y Rango Resultado 2 Ker y R contra SEL Ejemplo clave Álgebra Lineal - p. 11/65 Por lo tanto, para pertenecer al núcleo debe cumplirse a+b+c = 0 2a + 2b + 2c = 0 Núcleo e Imagen de una Transformación Lineal Núcleo Tecnologı́a y Núcleo Inyectividad Rango Nota Suprayectividad Resultado 1 Nulidad y Rango Resultado 2 Ker y R contra SEL Ejemplo clave Álgebra Lineal - p. 12/65 Por lo tanto, para pertenecer al núcleo debe cumplirse a+b+c = 0 2a + 2b + 2c = 0 Reduciendo tenemos: a+b+c = 0 Núcleo e Imagen de una Transformación Lineal Núcleo Tecnologı́a y Núcleo Inyectividad Rango Nota Suprayectividad Resultado 1 Nulidad y Rango Resultado 2 Ker y R contra SEL Ejemplo clave Álgebra Lineal - p. 12/65 Por lo tanto, para pertenecer al núcleo debe cumplirse a+b+c = 0 2a + 2b + 2c = 0 Reduciendo tenemos: a+b+c = 0 Núcleo Tecnologı́a y Núcleo Inyectividad Rango Nota Suprayectividad Resultado 1 Nulidad y Rango Resultado 2 Ker y R contra SEL Ejemplo clave Es decir         −b − c a −1 −1         b =b  1 +c  0   b = 1 0 c c Núcleo e Imagen de una Transformación Lineal Álgebra Lineal - p. 12/65 Es decir, que el núcleo de T en este caso es un espacio generado:      −1    −1     Ker(T ) = Gen  1  ,  0     1  0 Además, la dimensión de Ker(T ) es 2, lo cual corresponde al número de columnas sin pivote de la reducida de la matriz que define a T . Geométricamente, en R3 este generado corresponde a un plano que pasa por el origen y con vector normal n = u1 × u2 = (1, 1, 1)′ que es: Núcleo Tecnologı́a y Núcleo Inyectividad Rango Nota Suprayectividad Resultado 1 Nulidad y Rango Resultado 2 Ker y R contra SEL Ejemplo clave 1x + 1y + 1z = x + y + z = 0 Núcleo e Imagen de una Transformación Lineal Álgebra Lineal - p. 13/65 Ejemplo Determine el núcleo de T : R3 →R2 .     x   x−z    T = y  =  y+z z Núcleo e Imagen de una Transformación Lineal Núcleo Tecnologı́a y Núcleo Inyectividad Rango Nota Suprayectividad Resultado 1 Nulidad y Rango Resultado 2 Ker y R contra SEL Ejemplo clave Álgebra Lineal - p. 14/65 Ejemplo Núcleo Tecnologı́a y Núcleo Inyectividad Rango Nota Suprayectividad Resultado 1 Nulidad y Rango Resultado 2 Ker y R contra SEL Ejemplo clave Determine el núcleo de T : R3 →R2 .     x   x−z    T = y  =  y+z z Solución Sabemos que Ker(T ) es el conjunto de todos los vectores v =< x, y, z >′ de R3 tal que T (v) = 0 (en R2 ):  T (v) =  x−z y+z   = 1 0 0 1 −1   x      0 · y =    1 0 z Núcleo e Imagen de una Transformación Lineal Álgebra Lineal - p. 14/65 Para resolver el sistema  1 0 −1  0 1 1 0 0   → 1 0 0 1 −1 1 0 0  Núcleo Tecnologı́a y Núcleo Inyectividad Rango Nota Suprayectividad Resultado 1 Nulidad y Rango Resultado 2 Ker y R contra SEL Ejemplo clave  Cuya solución general es  x   1       y  = z  −1      z 1 De ahí que,               z     1  , z ∈ R = Gen  Ker(T ) =  −1  −z                 1 z Vemos que la dimensión de Ker(T ) es 1, lo cual corresponde al número de columnas sin pivote en la matriz que define a T . Geométricamente, en R3 esto corresonde a la recta x y z = =  Núcleo e Imagen de una Transformación 1 −1 1Lineal Álgebra Lineal - p. 15/65 Ejemplo Determine el núcleo de T : R3 →R3 .    x x−z      T =  y = y+z z x−y Núcleo e Imagen de una Transformación Lineal     Núcleo Tecnologı́a y Núcleo Inyectividad Rango Nota Suprayectividad Resultado 1 Nulidad y Rango Resultado 2 Ker y R contra SEL Ejemplo clave Álgebra Lineal - p. 16/65 Ejemplo Determine el núcleo de T : R3 →R3 .    x x−z      T =  y = y+z z x−y Núcleo Tecnologı́a y Núcleo Inyectividad Rango Nota Suprayectividad Resultado 1 Nulidad y Rango Resultado 2 Ker y R contra SEL Ejemplo clave     Solución Sabemos que Ker(T ) es el conjunto de todos los vectores v =< x, y, z >′ de R3 tal que T (v) = 0 (en R3 ):  x−z   1      T (v) =  y + z  = 0 1 x−y 0 1 −1 −1   x   0           1 · y = 0   z 0 0 Núcleo e Imagen de una Transformación Lineal Álgebra Lineal - p. 16/65 Para resolver el sistema  1 0 −1   0 1 1  1 −1 0   1    0  → 0 0 0 0 0  0 0 1 0 0 1  0   0 El sistema tiene solución única y es 0. Por tanto, Ker(T ) = {0} Núcleo e Imagen de una Transformación Lineal Núcleo Tecnologı́a y Núcleo Inyectividad Rango Nota Suprayectividad Resultado 1 Nulidad y Rango Resultado 2 Ker y R contra SEL Ejemplo clave Álgebra Lineal - p. 17/65 Ejemplo Indique la opción que describe adecuadamente al conjunto  B = < 0, 0, 3, 2 >′ , < 0, 1, 0, 0 >′ respecto al núcleo de la transformación de R4 en R4 definida como        x 3w − 2z 0 0 −2 3 x         y       −2 3  y  3w − 2z   0 0     T =  =   z   12 w − 8 z   0 0   −8 12   z        w 15 w − 10 z 0 0 −10 15 w A Es base para el núcleo. B Está en el núcleo; pero no es LI ni no lo genera. C Genera al núcleo pero no es LI. D Está en el núcleo; es LI pero no lo genera. E No es comparable con el núcleo. Núcleo e Imagen de una Transformación Lineal Núcleo Tecnologı́a y Núcleo Inyectividad Rango Nota Suprayectividad Resultado 1 Nulidad y Rango Resultado 2 Ker y R contra SEL Ejemplo clave Álgebra Lineal - p. 18/65 Solución Determinemos el núcleo de T :    0 0 −2 3 0      0 0 −2 3 0  rref     −−→    0 0  −8 12 0     0 0 −10 15 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Por lo tanto, los vectores del núcleo tienen la forma        x 1 0 0         y   0   1   0         =x +y  +w   z   0   0   3/2        w 0 0 1 Es decir, 0 −3/2  0    0   0  Núcleo Tecnologı́a y Núcleo Inyectividad Rango Nota Suprayectividad Resultado 1 Nulidad y Rango Resultado 2 Ker y R contra SEL Ejemplo clave             1 0  0                0   1     0      Ker(T ) = Gen  ,            0   0   3/2            0 1 0 Núcleo e Imagen de una Transformación Lineal  Álgebra Lineal - p. 19/65 Comparemos ahora Gen{B} con Ker(T ): a) ¿Gen{B} ⊆ Ker(T )?  1 0   0    0  0 0   0 0    1  rref    −−→   0    0 1 0 0 0 3/2 3 0 1 2 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0  1    0   0 2 1 0 0  Concluimos que sí:Gen{B} ⊆ Ker(T ). b)¿Ker(T ) ⊆ Gen{B}?  0   0    3  2 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0      0  rref    −−→   3/2    1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1/2 Núcleo Tecnologı́a y Núcleo Inyectividad Rango Nota Suprayectividad Resultado 1 Nulidad y Rango Resultado 2 Ker y R contra SEL Ejemplo clave   0    0   0 Concluimos que no:Ker(T ) 6⊆ Gen{B}. De estos cálculos (los que llevan B primero) también se deduce que: c) B es linealmente independiente. Núcleo e Imagen de una Transformación Lineal Álgebra Lineal - p. 20/65 Por lo tanto, la opción correcta es D: ■ está contenido en el núcleo (a) ■ no genera al núcleo (b); y ■ B es li (c)  Núcleo e Imagen de una Transformación Lineal Núcleo Tecnologı́a y Núcleo Inyectividad Rango Nota Suprayectividad Resultado 1 Nulidad y Rango Resultado 2 Ker y R contra SEL Ejemplo clave Álgebra Lineal - p. 21/65 El núcleo de una matriz y la tecnología Prácticamente la totalidad de los sistemas computacionales que manejan matrices vienen acompañados de funciones para manejar el kernel de una matriz. En el caso de Maple la instrucción nullspace(A) entrega una base para el núcleo de la transformación lineal T (X) = A X. Desafortunadamente, para la TI Voyage 200 no aparece un comando similar. Núcleo e Imagen de una Transformación Lineal Núcleo Tecnologı́a y Núcleo Inyectividad Rango Nota Suprayectividad Resultado 1 Nulidad y Rango Resultado 2 Ker y R contra SEL Ejemplo clave Álgebra Lineal - p. 22/65 Inyectividad de transformaciones lineales Una pregunta importante sobre funciones es si una función dada es inyectiva, o también dicho 1 a 1. Recuerde que una función es inyectiva si no hay dos elementos diferentes del dominio que tienen la misma evaluación. Es decir, es f es inyectiva si y sólo si f (x1 ) = f (x2 ) implica que x1 = x2 . Este concepto en las funciones lineales en espacios vectoriales tiene un comportamiento simple: f (x1 − x2 ) = 0 implica x1 − x2 = 0. Es decir: Teorema Núcleo Tecnologı́a y Núcleo Inyectividad Rango Nota Suprayectividad Resultado 1 Nulidad y Rango Resultado 2 Ker y R contra SEL Ejemplo clave Sea T : V → W una transformación lineal. T es inyectiva si y sólo si Ker(T ) = {0}. Note que en los ejemplos anteriores, sólo la última función fue inyectiva. Núcleo e Imagen de una Transformación Lineal Álgebra Lineal - p. 23/65 Notas En resumen: ■ Para ver si un vector está en el núcleo de una transformación lineal se debe aplicar la transformación. El vector x está en el núcleo de T si y sólo si T (x) = 0. ■ Determinar el núcleo de una transformación lineal equivale a encontrar la solución general de un SEL homogéneo. ■ Para determinar el núcleo de una transformación, debe encontrar la matriz que define a la transformación lineal y resolver [A|0]. Hay dos alternativas: el sistema tiene sólución única o el sistema tienen infinitas soluciones. En el caso de infinitas soluciones, la fórmula general muestra al núcleo como un espacio generado donde el número columnas sin pivote es la dimensión del núcleo como subespacio. En caso de tener solución única, el núcleo de T es el conjunto formado por el vector cero. ■ Para determinar si una transformación lineal es inyectiva, todas las columnas de la reducida de la matriz que define a la transformación lineal deben de tener pivote. Núcleo e Imagen de una Transformación Lineal Núcleo Tecnologı́a y Núcleo Inyectividad Rango Nota Suprayectividad Resultado 1 Nulidad y Rango Resultado 2 Ker y R contra SEL Ejemplo clave Álgebra Lineal - p. 24/65 El Rango de una transformación Sea T : V → W una transformación lineal. El rango o imagen de T es el conjunto de todas las imágenes de T en W. R(T ) = {w ∈ W |w = T (v) para algún v ∈ V } Es decir, el rango es el subconjunto de W formado por aquellos vectores que provienen de algún vector de V . Núcleo e Imagen de una Transformación Lineal Núcleo Tecnologı́a y Núcleo Inyectividad Rango Nota Suprayectividad Resultado 1 Nulidad y Rango Resultado 2 Ker y R contra SEL Ejemplo clave Álgebra Lineal - p. 25/65 Ejemplo Indique cuáles opciones contienen un vector en la imagen de la transformación de R3 en R3 definida como     2x + 5y + z x     T  y  =  8 x + 12 y + 6 z  −4 x − 2 y − 4 z z Núcleo Tecnologı́a y Núcleo Inyectividad Rango Nota Suprayectividad Resultado 1 Nulidad y Rango Resultado 2 Ker y R contra SEL Ejemplo clave dentro de las opciones: 1. 2. 3. 4. 5. v1 v2 v3 v4 v5 = (0, 0, 0)′ = (2, 8, −4)′ = (−23, −52, 6)′ = (5, 12, −2)′ = (−3, 1, −1)′ Núcleo e Imagen de una Transformación Lineal Álgebra Lineal - p. 26/65 Solución El vector v1 = (0, 0, 0)′ de R3 está en la imagen de T si existe un vector (a, b, c)′ en R3 tal que T ((a, b, c)′ ) = v1 . Es decir, si es consistente el sistema 2a + 5b + c = 0 8 a + 12 b + 6 c = 0 −4 a − 2 b − 4 c = 0 Núcleo e Imagen de una Transformación Lineal Núcleo Tecnologı́a y Núcleo Inyectividad Rango Nota Suprayectividad Resultado 1 Nulidad y Rango Resultado 2 Ker y R contra SEL Ejemplo clave Álgebra Lineal - p. 27/65 Solución El vector v1 = (0, 0, 0)′ de R3 está en la imagen de T si existe un vector (a, b, c)′ en R3 tal que T ((a, b, c)′ ) = v1 . Es decir, si es consistente el sistema 2a + 5b + c = 0 8 a + 12 b + 6 c = 0 −4 a − 2 b − 4 c = 0 Núcleo Tecnologı́a y Núcleo Inyectividad Rango Nota Suprayectividad Resultado 1 Nulidad y Rango Resultado 2 Ker y R contra SEL Ejemplo clave Pero este sistema por ser homogéno es consistente. Por tanto el vector v1 sı́ está en la imagen de T . Núcleo e Imagen de una Transformación Lineal Álgebra Lineal - p. 27/65 El vector v2 = (2, 8, −4)′ de R3 está en la imagen de T si existe un vector (a, b, c)′ en R3 tal que T ((a, b, c)′ ) = v2 . Es decir, si es consistente el sistema: 2a + 5b + c = 2 8 a + 12 b + 6 c = 8 −4 a − 2 b − 4 c = −4 Núcleo e Imagen de una Transformación Lineal Núcleo Tecnologı́a y Núcleo Inyectividad Rango Nota Suprayectividad Resultado 1 Nulidad y Rango Resultado 2 Ker y R contra SEL Ejemplo clave Álgebra Lineal - p. 28/65 El vector v2 = (2, 8, −4)′ de R3 está en la imagen de T si existe un vector (a, b, c)′ en R3 tal que T ((a, b, c)′ ) = v2 . Es decir, si es consistente el sistema: 2a + 5b + c = 2 8 a + 12 b + 6 c = 8 −4 a − 2 b − 4 c = −4 Núcleo Tecnologı́a y Núcleo Inyectividad Rango Nota Suprayectividad Resultado 1 Nulidad y Rango Resultado 2 Ker y R contra SEL Ejemplo clave Al reducir la matriz aumentada se obtiene:   1 0 9/8 1   0 0 1 −1/4   0 0 0 0 Núcleo e Imagen de una Transformación Lineal Álgebra Lineal - p. 28/65 El vector v2 = (2, 8, −4)′ de R3 está en la imagen de T si existe un vector (a, b, c)′ en R3 tal que T ((a, b, c)′ ) = v2 . Es decir, si es consistente el sistema: 2a + 5b + c = 2 8 a + 12 b + 6 c = 8 −4 a − 2 b − 4 c = −4 Núcleo Tecnologı́a y Núcleo Inyectividad Rango Nota Suprayectividad Resultado 1 Nulidad y Rango Resultado 2 Ker y R contra SEL Ejemplo clave Al reducir la matriz aumentada se obtiene:   1 0 9/8 1   0 0 1 −1/4   0 0 0 0 por ser consistente el sistema, el vector v2 sı́ está en la imagen de T . Núcleo e Imagen de una Transformación Lineal Álgebra Lineal - p. 28/65 El vector v3 = (−23, −52, 6)′ de R3 está en la imagen de T si existe un vector (a, b, c)′ en R3 tal que T ((a, b, c)′ ) = v3 . Es decir, si es consistente el sistema: 2a + 5b + c = −23 8 a + 12 b + 6 c = −52 −4 a − 2 b − 4 c = 6 Núcleo e Imagen de una Transformación Lineal Núcleo Tecnologı́a y Núcleo Inyectividad Rango Nota Suprayectividad Resultado 1 Nulidad y Rango Resultado 2 Ker y R contra SEL Ejemplo clave Álgebra Lineal - p. 29/65 El vector v3 = (−23, −52, 6)′ de R3 está en la imagen de T si existe un vector (a, b, c)′ en R3 tal que T ((a, b, c)′ ) = v3 . Es decir, si es consistente el sistema: 2a + 5b + c = −23 8 a + 12 b + 6 c = −52 −4 a − 2 b − 4 c = 6 Núcleo Tecnologı́a y Núcleo Inyectividad Rango Nota Suprayectividad Resultado 1 Nulidad y Rango Resultado 2 Ker y R contra SEL Ejemplo clave Al reducir la matriz aumentada se obtiene:   1 0 9/8 1   −5 0 1 −1/4   0 0 0 0 Núcleo e Imagen de una Transformación Lineal Álgebra Lineal - p. 29/65 El vector v3 = (−23, −52, 6)′ de R3 está en la imagen de T si existe un vector (a, b, c)′ en R3 tal que T ((a, b, c)′ ) = v3 . Es decir, si es consistente el sistema: 2a + 5b + c = −23 8 a + 12 b + 6 c = −52 −4 a − 2 b − 4 c = 6 Núcleo Tecnologı́a y Núcleo Inyectividad Rango Nota Suprayectividad Resultado 1 Nulidad y Rango Resultado 2 Ker y R contra SEL Ejemplo clave Al reducir la matriz aumentada se obtiene:   1 0 9/8 1   −5 0 1 −1/4   0 0 0 0 por ser consistente el sistema, el vector v3 sı́ está en la imagen de T . Núcleo e Imagen de una Transformación Lineal Álgebra Lineal - p. 29/65 El vector v4 = (5, 12, −2)′ de R3 está en la imagen de T si existe un vector (a, b, c)′ en R3 tal que T ((a, b, c)′ ) = v4 es decir si es consistente el sistema: 2a + 5b + c = 5 8 a + 12 b + 6 c = 12 −4 a − 2 b − 4 c = −2 Núcleo e Imagen de una Transformación Lineal Núcleo Tecnologı́a y Núcleo Inyectividad Rango Nota Suprayectividad Resultado 1 Nulidad y Rango Resultado 2 Ker y R contra SEL Ejemplo clave Álgebra Lineal - p. 30/65 El vector v4 = (5, 12, −2)′ de R3 está en la imagen de T si existe un vector (a, b, c)′ en R3 tal que T ((a, b, c)′ ) = v4 es decir si es consistente el sistema: 2a + 5b + c = 5 8 a + 12 b + 6 c = 12 −4 a − 2 b − 4 c = −2 Núcleo Tecnologı́a y Núcleo Inyectividad Rango Nota Suprayectividad Resultado 1 Nulidad y Rango Resultado 2 Ker y R contra SEL Ejemplo clave Al reducir la matriz aumentada se obtiene:   1 0 9/8 0   1 0 1 −1/4   0 0 0 0 Núcleo e Imagen de una Transformación Lineal Álgebra Lineal - p. 30/65 El vector v4 = (5, 12, −2)′ de R3 está en la imagen de T si existe un vector (a, b, c)′ en R3 tal que T ((a, b, c)′ ) = v4 es decir si es consistente el sistema: 2a + 5b + c = 5 8 a + 12 b + 6 c = 12 −4 a − 2 b − 4 c = −2 Núcleo Tecnologı́a y Núcleo Inyectividad Rango Nota Suprayectividad Resultado 1 Nulidad y Rango Resultado 2 Ker y R contra SEL Ejemplo clave Al reducir la matriz aumentada se obtiene:   1 0 9/8 0   1 0 1 −1/4   0 0 0 0 por ser consistente el sistema, el vector v4 sı́ está en la imagen de T . Núcleo e Imagen de una Transformación Lineal Álgebra Lineal - p. 30/65 El vector v5 = (−3, 1, −1)′ de R3 de está en la imagen de T si existe un vector (a, b, c)′ en R3 tal que T ((a, b, c)′ ) = v5 es decir si es consistente el sistema: 2a + 5b + c = −3 8 a + 12 b + 6 c = 1 −4 a − 2 b − 4 c = −1 Núcleo e Imagen de una Transformación Lineal Núcleo Tecnologı́a y Núcleo Inyectividad Rango Nota Suprayectividad Resultado 1 Nulidad y Rango Resultado 2 Ker y R contra SEL Ejemplo clave Álgebra Lineal - p. 31/65 El vector v5 = (−3, 1, −1)′ de R3 de está en la imagen de T si existe un vector (a, b, c)′ en R3 tal que T ((a, b, c)′ ) = v5 es decir si es consistente el sistema: 2a + 5b + c = −3 8 a + 12 b + 6 c = 1 −4 a − 2 b − 4 c = −1 Núcleo Tecnologı́a y Núcleo Inyectividad Rango Nota Suprayectividad Resultado 1 Nulidad y Rango Resultado 2 Ker y R contra SEL Ejemplo clave Al reducir la matriz aumentada se obtiene:   1 0 9/8 0   0 0 1 −1/4   0 0 0 1 Núcleo e Imagen de una Transformación Lineal Álgebra Lineal - p. 31/65 El vector v5 = (−3, 1, −1)′ de R3 de está en la imagen de T si existe un vector (a, b, c)′ en R3 tal que T ((a, b, c)′ ) = v5 es decir si es consistente el sistema: 2a + 5b + c = −3 8 a + 12 b + 6 c = 1 −4 a − 2 b − 4 c = −1 Núcleo Tecnologı́a y Núcleo Inyectividad Rango Nota Suprayectividad Resultado 1 Nulidad y Rango Resultado 2 Ker y R contra SEL Ejemplo clave Al reducir la matriz aumentada se obtiene:   1 0 9/8 0   0 0 1 −1/4   0 0 0 1 por ser inconsistente el sistema, el vector v5 no está en la imagen de T  Núcleo e Imagen de una Transformación Lineal Álgebra Lineal - p. 31/65 Ejemplo Determine la imagen de la transformación lineal de R3 en R3 definida como     2x + 5y + z x     T  y  =  8 x + 12 y + 6 z  −4 x − 2 y − 4 z z Núcleo e Imagen de una Transformación Lineal Núcleo Tecnologı́a y Núcleo Inyectividad Rango Nota Suprayectividad Resultado 1 Nulidad y Rango Resultado 2 Ker y R contra SEL Ejemplo clave Álgebra Lineal - p. 32/65 Solución El vector v1 = (a, b, c)′ de R3 de está en la imagen de T si existe un vector (x, y, z)′ en R3 tal que T ((x, y, z)′ ) = v1′ es decir si es consistente el sistema 2x + 5y + z = a 8 x + 12 y + 6 z = b −4 x − 2 y − 4 z = c Núcleo Tecnologı́a y Núcleo Inyectividad Rango Nota Suprayectividad Resultado 1 Nulidad y Rango Resultado 2 Ker y R contra SEL Ejemplo clave Al formar la matriz aumentada y escalonar se obtiene:   a 2 5 1   −4 a + b   0 −8 2 0 0 0 −2 a + b + c Núcleo e Imagen de una Transformación Lineal Álgebra Lineal - p. 33/65 Por tanto, (a, b, c)′ está en la imagen de T ssi el sistema anterior es consistente ssi −2 a + b + c = 0. Esto ocurrirá si y sólo si a = 1/2 b + 1/2 c. Es decir, (a, b, c)′ está en la imagen de T si y sólo si         a 1/2 b + 1/2 c 1/2 1/2          b =      b    =b  1 +c  0  c c 0 1 Núcleo Tecnologı́a y Núcleo Inyectividad Rango Nota Suprayectividad Resultado 1 Nulidad y Rango Resultado 2 Ker y R contra SEL Ejemplo clave Por tanto,         1/2   1/2   R(T ) = Gen  , 1  0           0 1 Geométricamente, R(T ) es el plano 2 a − b − c = 0 (o 2 x − y − z = 0) en R3  Núcleo e Imagen de una Transformación Lineal Álgebra Lineal - p. 34/65 Ejemplo Determine la imagen de la transformación lineal de R3 en R4 definida como     x + y + 2z x   x − y     T y =   −2 x + y − z  z x−y Núcleo e Imagen de una Transformación Lineal Núcleo Tecnologı́a y Núcleo Inyectividad Rango Nota Suprayectividad Resultado 1 Nulidad y Rango Resultado 2 Ker y R contra SEL Ejemplo clave Álgebra Lineal - p. 35/65 Solución El vector v = (a, b, c, d)′ de R4 está en la imagen de T si existe un vector (x, y, z)′ en R3 tal que T ((x, y, z)′ ) = v′ . Es decir, si es consistente el sistema   1 1 2 a x + y + 2z = a    0 b  x−y = b   1 −1 ó    −2 x + y − z = c 1 −1 c    −2 x−y = c 1 −1 0 d Núcleo Tecnologı́a y Núcleo Inyectividad Rango Nota Suprayectividad Resultado 1 Nulidad y Rango Resultado 2 Ker y R contra SEL Ejemplo clave En este ejemplo ilustraremos el uso de una técnica más eficiente que la usada en el problema anterior. La idea es que manejaremos sólo los coeficientes de a, b, c y d. De esta manera una expresión en estas variables la podemos representar por medio de un vector renglón con cuatro componentes. Así 2a + 3b − c + 8d se representa por (2, 3, −1, 8) a se representa por (1, 0, 0, 0) 3a − 3b − 3d se representa por (3, −3, 0, −3) c se representa por (0, 0, 1, 0) Núcleo e Imagen de una Transformación Lineal Álgebra Lineal - p. 36/65 Con esta idea, el sistema cuya matriz nos interesa revisar nos queda:    1 0 1 0 0 −1 1 1 2 1 0 0 0     0 1 1 0 0 −1   1 −1 0 0 1 0 0    →   0 0 0 1 0  −2 2 1 −1 0 0 1 0     1 −1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 −1   −2    3   −1 Núcleo Tecnologı́a y Núcleo Inyectividad Rango Nota Suprayectividad Resultado 1 Nulidad y Rango Resultado 2 Ker y R contra SEL Ejemplo clave Por tanto, la matriz aumentada representa un sistema consistente si y sólo si a = −2 c − 3 d b = d Núcleo e Imagen de una Transformación Lineal Álgebra Lineal - p. 37/65 Resumiendo, (a, b, c, d)′ está en la imagen de T si y sólo si  a     b    =c   c    d  −2     0    +d   1    0  −3     1       0    1 para c y d escalares. Por tanto      −2 −3               0   1       R(T ) = Gen  ,          1   0            0 1 Núcleo e Imagen de una Transformación Lineal Núcleo Tecnologı́a y Núcleo Inyectividad Rango Nota Suprayectividad Resultado 1 Nulidad y Rango Resultado 2 Ker y R contra SEL Ejemplo clave Álgebra Lineal - p. 38/65 Nota Observe que tanto Ker(T ) como R(T ) de una transformación lineal T son conjuntos no vacíos Núcleo e Imagen de una Transformación Lineal Núcleo Tecnologı́a y Núcleo Inyectividad Rango Nota Suprayectividad Resultado 1 Nulidad y Rango Resultado 2 Ker y R contra SEL Ejemplo clave Álgebra Lineal - p. 39/65 Nota Observe que tanto Ker(T ) como R(T ) de una transformación lineal T son conjuntos no vacíos T (0V ) = 0W implica que Núcleo e Imagen de una Transformación Lineal Núcleo Tecnologı́a y Núcleo Inyectividad Rango Nota Suprayectividad Resultado 1 Nulidad y Rango Resultado 2 Ker y R contra SEL Ejemplo clave Álgebra Lineal - p. 39/65 Nota Observe que tanto Ker(T ) como R(T ) de una transformación lineal T son conjuntos no vacíos T (0V ) = 0W implica que ■ 0V ∈ Ker(T ) y Núcleo e Imagen de una Transformación Lineal Núcleo Tecnologı́a y Núcleo Inyectividad Rango Nota Suprayectividad Resultado 1 Nulidad y Rango Resultado 2 Ker y R contra SEL Ejemplo clave Álgebra Lineal - p. 39/65 Nota Observe que tanto Ker(T ) como R(T ) de una transformación lineal T son conjuntos no vacíos T (0V ) = 0W implica que ■ 0V ∈ Ker(T ) y ■ 0W ∈ R(T ). Núcleo e Imagen de una Transformación Lineal Núcleo Tecnologı́a y Núcleo Inyectividad Rango Nota Suprayectividad Resultado 1 Nulidad y Rango Resultado 2 Ker y R contra SEL Ejemplo clave Álgebra Lineal - p. 39/65 Suprayectividad de transformaciones lineales Una pregunta importante sobre funciones es si una función dada es suprayectiva, o también dicho sobre. Recuerde que una función es suprayectiva si para todo elemento en el codominio hay un elemento en el dominio que bajo la función se transforma en él. Es decir, es f es suprayectiva si y sólo si f (x) = a es consistente para todo a en el codominio de f . en espacios vectoriales tiene un comportamiento simple: Teorema Sea T : V → W una transformación lineal y Núcleo Tecnologı́a y Núcleo Inyectividad Rango Nota Suprayectividad Resultado 1 Nulidad y Rango Resultado 2 Ker y R contra SEL Ejemplo clave B = {v1 , v2 , . . . , vm } un conjunto generador para V . T es suprayectiva si y sólo si Gen(T (v1 ), T (v2 ), . . . , T (vm )) = W . No que lo anterior implica que: Si T es suprayectiva, entonces dim(V ) ≥ dim(W ). En particular, si por ejemplo T : R3 → R4 es lineal, entonces T no puede ser sobre! Núcleo e Imagen de una Transformación Lineal Álgebra Lineal - p. 40/65 Notas En resumen: ■ Para ver si un vector está en la imagen de una transformación lineal se debe ver si un sistema es consistente. ■ Para determinar el rango de una transformación, debe encontrar la matriz que define a la transformación lineal y reducir [A|I]. Si todo renglón tiene pivote la función es suprayectiva. Es decir, todo vector del codominio es imagen de un vector en el dominio. Si hay renglones sin pivote en la parte izquierda se debe forzar la consistencia igualando a cero los elementos en la parte derecha de la reducida. El rango entonces queda como un espacio generado, el cual es precisamente el espacio generado por las columnas. Su dimensión será el número de pivotes en la reducida de la matriz A. ■ Para determinar si una transformación lineal es suprayectiva, todos los renglones en la reducida de A deben de tener pivotes. Núcleo e Imagen de una Transformación Lineal Núcleo Tecnologı́a y Núcleo Inyectividad Rango Nota Suprayectividad Resultado 1 Nulidad y Rango Resultado 2 Ker y R contra SEL Ejemplo clave Álgebra Lineal - p. 41/65 Núcleo e Imagen son subespacios La propiedad fundamental del núcleo y del contradominio es que ambos son espacios vectoriales: Núcleo e Imagen de una Transformación Lineal Núcleo Tecnologı́a y Núcleo Inyectividad Rango Nota Suprayectividad Resultado 1 Nulidad y Rango Resultado 2 Ker y R contra SEL Ejemplo clave Álgebra Lineal - p. 42/65 Núcleo e Imagen son subespacios La propiedad fundamental del núcleo y del contradominio es que ambos son espacios vectoriales: Teorema Sea T : V → W una transformación lineal. Núcleo e Imagen de una Transformación Lineal Núcleo Tecnologı́a y Núcleo Inyectividad Rango Nota Suprayectividad Resultado 1 Nulidad y Rango Resultado 2 Ker y R contra SEL Ejemplo clave Álgebra Lineal - p. 42/65 Núcleo e Imagen son subespacios La propiedad fundamental del núcleo y del contradominio es que ambos son espacios vectoriales: Teorema Sea T : V → W una transformación lineal. Entonces ■ Ker(T ) es un subespacio de V . ■ R(T ) es un subespacio de W . Núcleo e Imagen de una Transformación Lineal Núcleo Tecnologı́a y Núcleo Inyectividad Rango Nota Suprayectividad Resultado 1 Nulidad y Rango Resultado 2 Ker y R contra SEL Ejemplo clave Álgebra Lineal - p. 42/65 Nulidad y Rango de una Transformación Debido al resultado anterior el núcleo y la imagen de una transformación lineal son espacios vectoriales. Núcleo e Imagen de una Transformación Lineal Núcleo Tecnologı́a y Núcleo Inyectividad Rango Nota Suprayectividad Resultado 1 Nulidad y Rango Resultado 2 Ker y R contra SEL Ejemplo clave Álgebra Lineal - p. 43/65 Nulidad y Rango de una Transformación Debido al resultado anterior el núcleo y la imagen de una transformación lineal son espacios vectoriales. Como espacios vectoriales, ellos tienen una dimensión asociada. Núcleo e Imagen de una Transformación Lineal Núcleo Tecnologı́a y Núcleo Inyectividad Rango Nota Suprayectividad Resultado 1 Nulidad y Rango Resultado 2 Ker y R contra SEL Ejemplo clave Álgebra Lineal - p. 43/65 Nulidad y Rango de una Transformación Debido al resultado anterior el núcleo y la imagen de una transformación lineal son espacios vectoriales. Como espacios vectoriales, ellos tienen una dimensión asociada. Estas dimensiones tienen nombre específicos: Núcleo e Imagen de una Transformación Lineal Núcleo Tecnologı́a y Núcleo Inyectividad Rango Nota Suprayectividad Resultado 1 Nulidad y Rango Resultado 2 Ker y R contra SEL Ejemplo clave Álgebra Lineal - p. 43/65 Nulidad y Rango de una Transformación Debido al resultado anterior el núcleo y la imagen de una transformación lineal son espacios vectoriales. Como espacios vectoriales, ellos tienen una dimensión asociada. Estas dimensiones tienen nombre específicos: Sea T : V → W una transformación lineal. ■ La nulidad de T es la dimensión de Ker(T ). ■ El rango de T es la dimensión de R(T ). Núcleo e Imagen de una Transformación Lineal Núcleo Tecnologı́a y Núcleo Inyectividad Rango Nota Suprayectividad Resultado 1 Nulidad y Rango Resultado 2 Ker y R contra SEL Ejemplo clave Álgebra Lineal - p. 43/65 El siguiente resultado permite calcular fácilmente la nulidad y el rango de una transformación matricial. Núcleo e Imagen de una Transformación Lineal Núcleo Tecnologı́a y Núcleo Inyectividad Rango Nota Suprayectividad Resultado 1 Nulidad y Rango Resultado 2 Ker y R contra SEL Ejemplo clave Álgebra Lineal - p. 44/65 El siguiente resultado permite calcular fácilmente la nulidad y el rango de una transformación matricial. Teorema Sea T : V → W una transformación lineal. Núcleo e Imagen de una Transformación Lineal Núcleo Tecnologı́a y Núcleo Inyectividad Rango Nota Suprayectividad Resultado 1 Nulidad y Rango Resultado 2 Ker y R contra SEL Ejemplo clave Álgebra Lineal - p. 44/65 El siguiente resultado permite calcular fácilmente la nulidad y el rango de una transformación matricial. Teorema Sea T : V → W una transformación lineal. Suponga que T corresponde a la transformación matricial asociada a A. Núcleo e Imagen de una Transformación Lineal Núcleo Tecnologı́a y Núcleo Inyectividad Rango Nota Suprayectividad Resultado 1 Nulidad y Rango Resultado 2 Ker y R contra SEL Ejemplo clave Álgebra Lineal - p. 44/65 El siguiente resultado permite calcular fácilmente la nulidad y el rango de una transformación matricial. Teorema Sea T : V → W una transformación lineal. Suponga que T corresponde a la transformación matricial asociada a A. Entonces: ■ Ker(T ) = V(A) = Espacio nulo de A ■ R(T ) = C(A) = Espacio generado por las columnas de A ■ Nulidad(T ) = Nulidad(A) = Número de columnas sin pivote en A reducida. ■ Rango(T ) = Rango(A) = Número de columnas con pivote en A reducida. Núcleo e Imagen de una Transformación Lineal Núcleo Tecnologı́a y Núcleo Inyectividad Rango Nota Suprayectividad Resultado 1 Nulidad y Rango Resultado 2 Ker y R contra SEL Ejemplo clave Álgebra Lineal - p. 44/65 Note que el resultado anterior indica que para cualquier transformación lineal T : V → W , Núcleo Tecnologı́a y Núcleo Inyectividad Rango Nota Suprayectividad Resultado 1 Nulidad y Rango Resultado 2 Ker y R contra SEL Ejemplo clave dim(V ) = dim(Ker(T )) + dim(R(T )) dim(R(T )) ≤ dim(W ) Así por ejemplo: T : R4 → R3 lineal no puede ser inyectiva pues 4 = dim(Ker(T )) + dim(R(T )) ≤ dim(Ker(T )) + 3 por tanto, dim(Ker(T )) ≥ 1 probando que Ker(T )) 6= {0}. T : R4 → R8 lineal no puede ser sobre pues 4 = dim(Ker(T )) + dim(R(T )) por tanto, dim(R(T )) ≤ 4 probando que R(T ) 6= R8 Núcleo e Imagen de una Transformación Lineal Álgebra Lineal - p. 45/65 Ejemplo Calcule las bases para el núcleo y la imagen y determine la nulidad y el rango de T : R4 → R3 , T ((x, y, z, w)′ ) = (x + 3z, y − 2z, w)′ Núcleo e Imagen de una Transformación Lineal Núcleo Tecnologı́a y Núcleo Inyectividad Rango Nota Suprayectividad Resultado 1 Nulidad y Rango Resultado 2 Ker y R contra SEL Ejemplo clave Álgebra Lineal - p. 46/65 Ejemplo Calcule las bases para el núcleo y la imagen y determine la nulidad y el rango de T : R4 → R3 , T ((x, y, z, w)′ ) = (x + 3z, y − 2z, w)′ Solución De acuerdo con el teorema previo, basta expresar a T como transformación matricial y obtener las bases para las columnas y el espacio nulo de su matriz estándar A. Núcleo e Imagen de una Transformación Lineal Núcleo Tecnologı́a y Núcleo Inyectividad Rango Nota Suprayectividad Resultado 1 Nulidad y Rango Resultado 2 Ker y R contra SEL Ejemplo clave Álgebra Lineal - p. 46/65 Ejemplo Calcule las bases para el núcleo y la imagen y determine la nulidad y el rango de T : R4 → R3 , T ((x, y, z, w)′ ) = (x + 3z, y − 2z, w)′ Solución De acuerdo con el teorema previo, basta expresar a T como transformación matricial y obtener las bases para las columnas y el espacio nulo de su matriz estándar A. A se expresa con   1 0 3 0   A =  0 1 −2 0  0 0 0 1 Núcleo e Imagen de una Transformación Lineal Núcleo Tecnologı́a y Núcleo Inyectividad Rango Nota Suprayectividad Resultado 1 Nulidad y Rango Resultado 2 Ker y R contra SEL Ejemplo clave Álgebra Lineal - p. 46/65 Como ya está en forma escalonada reducida por operaciones de renglón, los vectores {(1, 0, 0)′ , (0, 1, 0)′ , (0, 0, 1)′ } forman una base para Col(A) = R(T ) = R3 . Núcleo e Imagen de una Transformación Lineal Núcleo Tecnologı́a y Núcleo Inyectividad Rango Nota Suprayectividad Resultado 1 Nulidad y Rango Resultado 2 Ker y R contra SEL Ejemplo clave Álgebra Lineal - p. 47/65 Como ya está en forma escalonada reducida por operaciones de renglón, los vectores {(1, 0, 0)′ , (0, 1, 0)′ , (0, 0, 1)′ } forman una base para Col(A) = R(T ) = R3 . Por otra parte, {(−3, 2, 1, 0)′ } es una base para V (A) = Ker(T ). Núcleo e Imagen de una Transformación Lineal Núcleo Tecnologı́a y Núcleo Inyectividad Rango Nota Suprayectividad Resultado 1 Nulidad y Rango Resultado 2 Ker y R contra SEL Ejemplo clave Álgebra Lineal - p. 47/65 Como ya está en forma escalonada reducida por operaciones de renglón, los vectores {(1, 0, 0)′ , (0, 1, 0)′ , (0, 0, 1)′ } forman una base para Col(A) = R(T ) = R3 . Por otra parte, {(−3, 2, 1, 0)′ } es una base para V (A) = Ker(T ). De modo que el rango de T es 3 y la nulidad es 1. Núcleo e Imagen de una Transformación Lineal Núcleo Tecnologı́a y Núcleo Inyectividad Rango Nota Suprayectividad Resultado 1 Nulidad y Rango Resultado 2 Ker y R contra SEL Ejemplo clave Álgebra Lineal - p. 47/65 Como ya está en forma escalonada reducida por operaciones de renglón, los vectores {(1, 0, 0)′ , (0, 1, 0)′ , (0, 0, 1)′ } forman una base para Col(A) = R(T ) = R3 . Por otra parte, {(−3, 2, 1, 0)′ } es una base para V (A) = Ker(T ). De modo que el rango de T es 3 y la nulidad es 1. Ker(T ) = {0} ⇔ Ax = 0 sólo tiene la solución trivial Núcleo e Imagen de una Transformación Lineal Núcleo Tecnologı́a y Núcleo Inyectividad Rango Nota Suprayectividad Resultado 1 Nulidad y Rango Resultado 2 Ker y R contra SEL Ejemplo clave Álgebra Lineal - p. 47/65 Como ya está en forma escalonada reducida por operaciones de renglón, los vectores {(1, 0, 0)′ , (0, 1, 0)′ , (0, 0, 1)′ } forman una base para Col(A) = R(T ) = R3 . Por otra parte, {(−3, 2, 1, 0)′ } es una base para V (A) = Ker(T ). De modo que el rango de T es 3 y la nulidad es 1. Ker(T ) = {0} ⇔ Ax = 0 sólo tiene la solución trivial Núcleo Tecnologı́a y Núcleo Inyectividad Rango Nota Suprayectividad Resultado 1 Nulidad y Rango Resultado 2 Ker y R contra SEL Ejemplo clave y R(T ) = Rm ⇔ las columnas de A generan a Rm  Núcleo e Imagen de una Transformación Lineal Álgebra Lineal - p. 47/65 Ejemplo Resuelva la siguiente ecuación diferencial: (−2 x − 1) y ′ (x) + 2 y(x) = 4 x2 + 4 x pensando el lado izquierdo de la ecuación como una transformación lineal de P2 en P3 . Núcleo e Imagen de una Transformación Lineal Núcleo Tecnologı́a y Núcleo Inyectividad Rango Nota Suprayectividad Resultado 1 Nulidad y Rango Resultado 2 Ker y R contra SEL Ejemplo clave Álgebra Lineal - p. 48/65 Solución Definamos T de P2 en P3 por T (p(x) = a x2 + b x + c) = (−2 x − 1)p′ (x) + 2 p(x) = −2 a x2 − 2 a x − b + 2 c Núcleo e Imagen de una Transformación Lineal Núcleo Tecnologı́a y Núcleo Inyectividad Rango Nota Suprayectividad Resultado 1 Nulidad y Rango Resultado 2 Ker y R contra SEL Ejemplo clave Álgebra Lineal - p. 49/65 Solución Definamos T de P2 en P3 por T (p(x) = a x2 + b x + c) = (−2 x − 1)p′ (x) + 2 p(x) = −2 a x2 − 2 a x − b + 2 c Viendo los polinomios como vectores tenemos tenemos que la transformación anterior queda:       2 −1 0   −b + 2 c c c   −2 a   0 0 −2         T b = · b  =  −2 a   0 0 −2  a a 0 0 0 0 Núcleo e Imagen de una Transformación Lineal Núcleo Tecnologı́a y Núcleo Inyectividad Rango Nota Suprayectividad Resultado 1 Nulidad y Rango Resultado 2 Ker y R contra SEL Ejemplo clave Álgebra Lineal - p. 49/65 El problema de resolver la ED se transforma encontrar un p(x) que cumpla: T (p(x)) = 4 x2 + 4 x. Es decir, en encontrar (c, b, a)′ tal que       2 −1 0 0 c  0   4  0 −2        · b =   0  4  0 −2  a 0 0 0 0 Núcleo e Imagen de una Transformación Lineal Núcleo Tecnologı́a y Núcleo Inyectividad Rango Nota Suprayectividad Resultado 1 Nulidad y Rango Resultado 2 Ker y R contra SEL Ejemplo clave Álgebra Lineal - p. 50/65 El problema de resolver la ED se transforma encontrar un p(x) que cumpla: T (p(x)) = 4 x2 + 4 x. Es decir, en encontrar (c, b, a)′ tal que       2 −1 0 0 c  0   4  0 −2        · b =   0  4  0 −2  a 0 0 0 0 Núcleo Tecnologı́a y Núcleo Inyectividad Rango Nota Suprayectividad Resultado 1 Nulidad y Rango Resultado 2 Ker y R contra SEL Ejemplo clave Formando la aumentada y reduciendo tenemos:     1 −1/2 0 0 2 −1 0 0  0    0 4 −2 0 −2 0 1     →      0  0 0 −2 4  0 0 0  0 0 0 0 0 0 0 0 Núcleo e Imagen de una Transformación Lineal Álgebra Lineal - p. 50/65 Como el sistema es consistente, la primera conclusión es que sı́ existe solución en P2 . También vemos que hay infinitas soluciones las cuales podemos calcular: c − 1/2b a   = 0 = −2  c → = b = a =     1/2b  c 1/2b       → b  = b   b    −2 a −2 Núcleo e Imagen de una Transformación Lineal     Núcleo Tecnologı́a y Núcleo Inyectividad Rango Nota Suprayectividad Resultado 1 Nulidad y Rango Resultado 2 Ker y R contra SEL Ejemplo clave Álgebra Lineal - p. 51/65 Como el sistema es consistente, la primera conclusión es que sı́ existe solución en P2 . También vemos que hay infinitas soluciones las cuales podemos calcular: c − 1/2b a   = 0 = −2  c → = b = a =     1/2b  c 1/2b       → b  = b   b    −2 a −2     Núcleo Tecnologı́a y Núcleo Inyectividad Rango Nota Suprayectividad Resultado 1 Nulidad y Rango Resultado 2 Ker y R contra SEL Ejemplo clave Y separando vectores  c   0   1/2       b  =  0  + b      −2 a Núcleo e Imagen de una Transformación Lineal 1 0     Álgebra Lineal - p. 51/65 Como el sistema es consistente, la primera conclusión es que sı́ existe solución en P2 . También vemos que hay infinitas soluciones las cuales podemos calcular: c − 1/2b a   = 0 = −2  c → = b = a =     1/2b  c 1/2b       → b  = b   b    −2 a −2     Núcleo Tecnologı́a y Núcleo Inyectividad Rango Nota Suprayectividad Resultado 1 Nulidad y Rango Resultado 2 Ker y R contra SEL Ejemplo clave Y separando vectores  c   0   1/2       b  =  0  + b      −2 a 1 0     La solución general de la ED en P2 queda: y(x) = −2 x2 + b (1/2 + x), b escalar libre  Núcleo e Imagen de una Transformación Lineal Álgebra Lineal - p. 51/65 SEL a través del kernel y el rango Supongamos que estamos resolviendo el SEL A x = b. Si definimos la transformación lineal TA (x) = A x, entonces ■ El sistema será consistente si y sólo si el vector b pertenece a la imagen de T . ■ Si el SEL es consistente, entonces: el sistema tendrá solución única si y sólo si el núcleo de T se reduce al vector cero. ■ Si x1 y x2 son dos soluciones, entonces x1 − x2 pertenece al núcleo de T . Por tanto: Si el sistema tiene soluciones infinitas, entonces la solución general tiene la forma Núcleo Tecnologı́a y Núcleo Inyectividad Rango Nota Suprayectividad Resultado 1 Nulidad y Rango Resultado 2 Ker y R contra SEL Ejemplo clave x = xp + c 1 z 1 + · · · + c k z k donde xp es una solución particular y z1 , . . . ,zk consituyen un conjunto generador para el núcleo. Núcleo e Imagen de una Transformación Lineal Álgebra Lineal - p. 52/65 Ejemplo clave Ejemplo Suponga que usted es maestro de álgebra lineal y le ha pedido a sus alumnos que resuelvan el SEL:       x1  1 2 1 1 1 1  3      x2     −2 −4     −7  2 10 1 −1           x3     3  =  13  6 −3 −15 1 −1          x 4      −1 −2 1 5 0 0    −4     x5   1 2 1 1 −1 3  1 x6 Núcleo Tecnologı́a y Núcleo Inyectividad Rango Nota Suprayectividad Resultado 1 Nulidad y Rango Resultado 2 Ker y R contra SEL Ejemplo clave Analice las siguientes soluciones dadas por sus alumnos: Núcleo e Imagen de una Transformación Lineal Álgebra Lineal - p. 53/65 José dice que la solución general es:         3 2 −5 3          −1   1   1   −1                   1   −6   2   −4          x=  + c2 ·   + c1 ·   + c3 ·    0   −1   2   1                   0   0   1   1          0 0 1 1 La solución particular de José es jp =< 3, −1, 1, 0, 0, 0 >′ y el generador de las soluciones al sistema homogéneo es:        2 −5 3                          1 1 −1                     −6   2   −4         jh =  , ,           2   −1   1                          0 1 1                0 1 1  Núcleo e Imagen de una Transformación Lineal Núcleo Tecnologı́a y Núcleo Inyectividad Rango Nota Suprayectividad Resultado 1 Nulidad y Rango Resultado 2 Ker y R contra SEL Ejemplo clave Álgebra Lineal - p. 54/65 Revisemos sus respuestas: ■ ¿Es jp solución al sistema original? Por conveniencia hacemos: A · jp − b:       3 2 −1        0   −7   7                   A · jp − b =  0  −  13  =  −13          0   −4   4        2 1 1 como no da el vector cero, concluimos que la solución particular dada por José no lo es. Núcleo e Imagen de una Transformación Lineal Álgebra Lineal - p. 55/65 ■ ¿La fórmula para el sistema homogéneo genera todas las soluciones al sistema homogéneo asociado? Por conveniencia, con los vectores en jh formamos una matriz que representamos también por jh y realizamos el producto A · jh ; como obtenemos una matriz de ceros, concluimos que en la solución de José la fórmula efectivamente da soluciones al sistema homogéneo. La pregunta que cabe ahora es si acaso las da todas. Cuando aplicamos rref a A vemos que tiene 3 columnas sin pivote, por tanto, la dimensión del espacio nulo de A es 3. Como al aplicar rref a la matriz jh tiene tres pivotes, concluimos que el conjunto jh es linealmente independiente, está dentro del núcleo y tiene tres elementos; por tanto, debe ser base para el núcleo. Por tanto, en la fórmula de José la parte asociada a la solución a la homogénea es adecuada. Núcleo e Imagen de una Transformación Lineal Álgebra Lineal - p. 56/65 María dice que la solución general es:         7 2 12 −5          0   1   1   −1                   −7   −6   2   −10          x=  + c1 ·   + c2 ·    + c3 ·   2   2    −1  4                   1   0   −2   1          0 0 −2 1 Núcleo Tecnologı́a y Núcleo Inyectividad Rango Nota Suprayectividad Resultado 1 Nulidad y Rango Resultado 2 Ker y R contra SEL Ejemplo clave La solución particular de María es mp =< 7, 0, −7, 2, 1, 0 >′ y el generador de las soluciones al sistema homogéneo es:        2 −5 12                          1 1 −1                      −6   2   −10        mh =  , ,           2   −1   4                Núcleo e Imagen de una Transformación Lineal  Álgebra Lineal - p. 57/65  0   1   −2  Revisemos sus respuestas: ■ ¿Es mp solución al sistema original? Por conveniencia hacemos: A · mp − b: como sí da el vector cero, concluimos que la solución particular dada por María sí lo es. Núcleo e Imagen de una Transformación Lineal Álgebra Lineal - p. 58/65 ■ ¿La fórmula para el sistema homogéneo genera todas las soluciones al sistema homogéneo asociado? Por conveniencia, con los vectores en mh formamos una matriz que representamos también por mh y realizamos el producto A · mh ; como obtenemos una matriz de ceros, concluimos que en la solución de María la fórmula efectivamente da soluciones al sistema homogéneo. La pregunta que cabe ahora es si acaso las da todas. Cuando aplicamos rref a A vemos que tiene 3 columnas sin pivote, por tanto, la dimensión del espacio nulo de A es 3. Como al aplicar rref a la matriz mh tiene dos pivotes, concluimos que el conjunto mh es linealmente dependiente y está dentro del núcleo; por tanto, no puede ser base para el núcleo. Por tanto, en la fórmula de María la parte asociada a la solución a la homogénea es incompleta. ■ Resumiendo; la fórmula de María no genera todas las soluciones al sistema. Núcleo e Imagen de una Transformación Lineal Álgebra Lineal - p. 59/65 Luis dice que la solución general es:        −3 2 −5         0   1   1                  8   −6   2          x=  + c1 ·   + c2 ·   + c3 ·   −3   2   −1                  1   0   1          0 0 1 1 1 1 1 1 1              La solución particular de Luis es lp =< −3, 0, 8, −3, 1, 0 >′ y el generador de las soluciones al sistema homogéneo es:        2 −5 1                          1 1 1                     −6   2   1         lh =  , ,           2   −1   1                          0 1 1                0 1 1  Núcleo e Imagen de una Transformación Lineal Núcleo Tecnologı́a y Núcleo Inyectividad Rango Nota Suprayectividad Resultado 1 Nulidad y Rango Resultado 2 Ker y R contra SEL Ejemplo clave Álgebra Lineal - p. 60/65 Revisemos sus respuestas: ■ ¿Es lp solución al sistema original? Por conveniencia hacemos: A · lp − b: como sí da el vector cero, concluimos que la solución particular dada por Luis sí lo es. Núcleo e Imagen de una Transformación Lineal Álgebra Lineal - p. 61/65 ■ ¿La fórmula para el sistema homogéneo genera todas las soluciones al sistema homogéneo asociado? Por conveniencia, con los vectores en lh formamos una matriz que representamos también por lh y realizamos el producto A · lh ;   0 0 7    0 0 6       A · lh =  0 0 −9      0 0 3    0 0 7 como obtenemos una matriz con dos primeras columnas de ceros y una tercera que no es de ceros, concluimos que en la solución de Luis la fórmula da algunas soluciones al sistema homogéneo (las que tienen c3 = 0) pero también da otros vectores que no son solución (los que tienen c3 6= 0). Por tanto, la solución de Luis es parcialmente correcta y parcialmente incorrecta. Núcleo e Imagen de una Transformación Lineal Álgebra Lineal - p. 62/65 Carolina dice que la solución general es:           −3 2 −5 3 4            0   1   1   −1   1                       −1   −6   2   −4   −4            x= +c1 · +c2 · +c3 · +c4 ·   0   2   −1   1   2                       1   0   1   1   −2            0 0 1 1 −2 La solución particular de Carolina es cp =< 3, 0, −1, 0, 1, 0 >′ y el generador de las soluciones al sistema homogéneo es:          2 −5 3 4                              1 1 −1 1                         −6   2   4   −4           ch =  , , ,             2   −1   1   2                              0 1 1 −2                  0 1 1 −2  Núcleo e Imagen de una Transformación Lineal Núcleo Tecnologı́a y Núcleo Inyectividad Rango Nota Suprayectividad Resultado 1 Nulidad y Rango Resultado 2 Ker y R contra SEL Ejemplo clave Álgebra Lineal - p. 63/65 Revisemos sus respuestas: ■ ¿Es cp solución al sistema original? Por conveniencia hacemos: A · cp − b: como sí da el vector cero, concluimos que la solución particular dada por Carolina sí lo es. Núcleo e Imagen de una Transformación Lineal Álgebra Lineal - p. 64/65 ■ ¿La fórmula para el sistema homogéneo genera todas las soluciones al sistema homogéneo asociado? Por conveniencia, con los vectores en ch formamos una matriz que representamos también por ch y realizamos el producto A · ch ; obtenemos una matriz con cuatro columnas de ceros. Esto nos indica que la fórmula correspondiente a sistema homogéneo entrega soluciones al sistema homogéneo. Por otro lado, al aplicar rref a ch obtenemos tres pivotes y una columna sin pivote. Así el espacio generado en la fórmula de Carolina correspondiente a las soluciones a la homogénea tiene dimensión 3, lo que iguala la dimensión 3 previamente calculada. Esto nos lleva a concluir que se generan todas las soluciones a la homogénea. Que se tenga una columna sin pivote indica que el vector que entró en tal columna es redundante en la solución dada por Carolina. ■ Resumiendo; la fórmula de Carolina es correcta al generar todas las soluciones al sistema de ecuaciones, aunque el último vector puede omitirse sin pérdida. Núcleo e Imagen de una Transformación Lineal Álgebra Lineal - p. 65/65