SISTEMAS DINÁMICOS I Comisión 3 Universidad Tecnológica Nacional Facultad Regional San Rafael 2015 Hidrodinámica- Breve apunte teórico FUNDAMENTOS TEORICOS Hidrodinámica Ahora analizaremos en forma muy elemental el comportamiento de los fluidos en movimiento. Cuando un fluido está en movimiento, el flujo se puede clasificar en dos tipos: a) Flujo estacionario o laminar si cada partícula de fluido sigue una trayectoria uniforme y estas no se cruzan, es un flujo ideal. Por ejemplo el humo de cigarrillo justo después de salir del cigarro es laminar. En el flujo estacionario la velocidad del fluido permanece constante en el tiempo. Sobre una velocidad crítica, el flujo se hace turbulento. b) Flujo turbulento es un flujo irregular con regiones donde se producen torbellinos. Por ejemplo el humo de cigarrillo en la parte superior alejada del cigarro es turbulento. El flujo laminar se vuelve turbulento por efecto de la fricción que también está presente en los fluidos y surge cuando un objeto o capa del fluido que se mueve a través de él desplaza a otra porción de fluido; lo notas por ejemplo cuando corres en el agua. La fricción interna en un fluido es la resistencia que presenta cada capa de fluido a moverse respecto a otra capa. La fricción interna o roce de un fluido en movimiento se mide por un coeficiente de viscosidad. Por efecto de la viscosidad parte de la energía cinética del fluido se transforma en energía térmica, similar al caso de los sólidos. Debido a que el movimiento de un fluido real es muy complejo, consideraremos un modelo de fluido ideal con las siguientes restricciones: fluido incompresible, es decir de densidad constante, no viscoso, flujo estacionario e irrotacional, en este último caso se refiere a la rotación de cada partícula de fluido y no del fluido como un todo, que puede tener una trayectoria curva o girar. Caudal En dinámica de fluidos, caudal (Q) es el volumen de fluido que pasa por determinado elemento en la unidad de tiempo. Normalmente se calcula a partir del flujo, volumen que pasa por un área dada en la unidad de tiempo. 1 SISTEMAS DINÁMICOS I Comisión 3 Universidad Tecnológica Nacional Facultad Regional San Rafael 2 2015 � = �� � ∗ � � = �� � ∗ �� /�� � � (1) (2) La fórmula principal para hallar el caudal de un fluido es: Figura 1 El caudal se relaciona fácilmente con la velocidad a la que se desplaza el fluido. Consideremos un tubo por el que se desplaza un fluido. La sección interna (área) del tubo es A y la velocidad a la que se desplaza el fluido (cada molécula del fluido) es v. Ahora tomemos arbitrariamente un cierto volumen dentro del tubo. Ese volumen (un cilindro) es igual a la superficie de su base (que no es otro que la sección del tubo, A) por la altura (un cierto Δx): = �∗ ∆ (3) Al cabo de cierto intervalo de tiempo (Δt) todo el volumen habrá atravesado el área de adelante. Justamente así teníamos definido el caudal: �= y recordando que = ∆ /∆ nos queda: /∆ (4) SISTEMAS DINÁMICOS I Comisión 3 Universidad Tecnológica Nacional Facultad Regional San Rafael 3 2015 �= � ∗ ∆ =�∗ ∆ (5) El caudal es igual a la velocidad a la que se mueve el fluido por la sección del conducto. Ecuación de continuidad La trayectoria seguida por una partícula de fluido estacionario se llama línea de corriente, así que por definición la velocidad es siempre tangente a la línea de corriente en cualquier punto. Por lo tanto las líneas de corriente no se pueden cruzar, sino en el punto de cruce, la partícula de fluido podría irse por cualquiera de las líneas y el flujo no sería estacionario. Un conjunto de líneas de corriente forma un tubo de corriente o de flujo (figura 1), las partículas de fluido se pueden mover sólo a lo largo del tubo, ya que las líneas de corriente no se cruzan. Figura 2 Considerar un fluido que se mueve a lo largo de un tubo de corriente, cuya sección transversal aumenta en dirección del flujo, como en la figura 1. En un intervalo � en la sección más angosta del tubo de área � , el fluido se mueve una distancia � = � . La masa contenida en el volumen � � es � = � � � . De manera similar, en la sección ancha del tubo de área � , se obtienen expresiones equivalentes en el mismo � , cambiando el subíndice 1 por 2. Pero la masa se conserva en el flujo estacionario, esto es la masa que cruza por � es igual a la masa que pasa por � en el intervalo de tiempo � , entonces: SISTEMAS DINÁMICOS I Comisión 3 Universidad Tecnológica Nacional Facultad Regional San Rafael ∆ 4 2015 =∆ �� ⟹ �� ∆ ∆ = � � �� = � � ∆ ∆ (6) (7) (8) = � � Esta se llama ecuación de continuidad, representa la conservación de la masa: significa que la masa no puede ser creada ni destruida, sólo se puede transformar, similar a la conservación de la energía. Para un fluido incompresible, es decir de densidad constante, la ecuación de continuidad se reduce a: � =� = (9) esto es, el producto del área por la rapidez normal a la superficie en todos los puntos a lo largo del tubo de corriente es constante. La rapidez es mayor (menor) donde el tubo es más angosto (ancho) y como la masa se conserva, la misma cantidad de fluido que entra por un lado del tubo es la que sale por el otro lado, en el mismo intervalo de tiempo. La cantidad Av, que en el SI tiene dimensiones de m3/s, se llama flujo de volumen, (� = flujo). Ecuación de Bernoulli Cuando fluye el fluido por un tubo de sección transversal no uniforme y de un nivel a otro, por la ecuación hidrostática, la presión cambia a lo largo del tubo (figura 2). La fuerza de la presión en el extremo inferior del tubo de área � es = � . El trabajo realizado por esta fuerza sobre el fluido es = � = � � = � , donde � es el volumen de fluido considerado. De manera equivalente en el nivel superior, si se considera un mismo intervalo de tiempo el volumen � de fluido que cruza la sección superior de área � es el mismo, entonces el trabajo es = − � � = − � . El trabajo neto realizado por las fuerzas en el intervalo de tiempo � es: = + = − ∆ (10) SISTEMAS DINÁMICOS I Comisión 3 Universidad Tecnológica Nacional Facultad Regional San Rafael 5 2015 Figura 3 Parte de este trabajo se usa en cambiar tanto la energía cinética como la energía potencial gravitacional del fluido. Si � es la masa que pasa por el tubo de corriente en el tiempo � , entonces la variación de energía cinética es: ∆ � = ∆ − ∆ (11) Y la variación de energía potencial gravitacional es: ∆ � =∆ � − ∆ � (12) Por el teorema del trabajo y la energía se tiene: =∆ − � +∆ � ⇒ ∆ − ∆ +∆ = � − � +�� ∆ = (13) � − ∆ � (14) Dividiendo por � y como � = � /� , se obtiene la ecuación de Bernoulli para un fluido no viscoso, incompresible, estacionario e irrotacional. − − �� (15) SISTEMAS DINÁMICOS I Comisión 3 Universidad Tecnológica Nacional Facultad Regional San Rafael + � 6 2015 + �� = + � +�� (16) La ecuación de Bernoulli, que es un resultado de la conservación de la energía aplicada a un fluido ideal, generalmente se expresa como: + � + �� = (17) Teorema de Torricelli Este teorema es una aplicación del principio de Bernoulli, el cual va a estudiar el flujo de un líquido contenido en un recipiente, a través de un pequeño orificio que está bajo la acción de la gravedad. El Teorema de Torricelli es una expresión matemática que nos indica la velocidad de salida de un líquido a través de un orificio practicado en la pared de un recipiente abierto a la atmósfera. La forma explícita es: = √ �ℎ (18) Esta expresión puede obtenerse aplicando la ecuación de Bernoulli a dos puntos de la figura 4, uno de ellos colocado en la superficie libre del líquido y el otro en el orificio de salida. Debe considerarse además que el nivel del líquido en el recipiente prácticamente no disminuye. La ecuación deBernoulli, aplicada desde un punto 1 en la superficie libre hasta el centro de lavena contracta, punto 2, establece que: SISTEMAS DINÁMICOS I Comisión 3 Universidad Tecnológica Nacional Facultad Regional San Rafael 7 2015 Figura 4 � + �� + = � + �� + (19) En este caso, las presiones y , son iguales a la presión atmosférica que se toma como referencia. Generalmente, la velocidad en la superficie libre, , es suficientemente pequeña, dada la gran sección del depósito, para poderdespreciarla frente al resto de términos. Si además tomamos el punto 2 como punto de referencia de elevación, entonces − = �. Con todo esto, la ecuación anterior se escribe como: �= Bibliografía � ⇒ = √ �� (20) Bedford, A., Fowler, W. (2000) "Mecánica para Ingeniería. Dinámica". Pretince Hall. Sears, Zemansky, Young, Freedman. (1999). '" Física Universitaria". Vol. I, Pearson. P. A. Tipler y G. Mosca.(2005). “Física para la Ciencia y la Ingeniería”. Vol. I, Reverté.