Curso de Preparación Universitaria: Física Guía de Problemas No 1: Cinemática en una dimensión. Problemas cualitativos de introducción Problema 1: Para los fenómenos observables que se proponen a continuación, adoptar un sistema de referencia (si no está indicado) y elaborar un gráfico cualitativo en función del tiempo de: a) Altura que alcanza el agua en un balde inicialmente vacío, puesto bajo canilla abierta. b) Posición de un automóvil estacionado. c) Posición de un ascensor que parte desde el noveno piso hacia planta baja. d) Posición de una moneda arrojada hacia arriba. e) Posición de la mano de un carpintero, mientras pinta un listón. f) Posición del extremo de un cigarrillo, con respecto al otro extremo, desde que se enciende. g) Altura con respecto al piso del ombligo de un corredor en carrera de 110 m con vallas. h) Distancia (horizontal) al punto de partida, del corredor anterior. Problema 2: Estudie detenidamente los siguientes gráficos de posición en función del tiempo y discuta cuales son físicamente posibles. Describa cualitativamente el tipo de movimiento involucrado. Problema 3: Se ha confeccionado la siguiente tabla con las posiciones de un objeto en función del tiempo: X(cm) 4 5 7 7 6 3 1 -1 -3 t(s) 0 1 2 3 4.5 6 8 10 11 Haga un grafico del movimiento. Estime en forma aproximada la posición del móvil para t = 4 s y t = 7s. Problema 4: La posición de una bicicleta como función del tiempo está dada por la fórmula matemática: x(t) = -(14 m/s)t + 74 m. Confeccione una tabla de valores de x vs. t para valores de t, desde t = 0 s a t = 6 s para cada segundo. Elija un sistema de coordenadas y una escala en ambos ejes y haga un grafico del movimiento. Cual es el desplazamiento de la bicicleta entre t1 = 1 s y t2 = 2 s y entre t1 = 3 s y t2 = 5 s ? Problema 5: La evolución temporal de la coordenada x de un objeto viene dada por la expresión x(t)=-4m +(6m/s) t –(2m/s2) t 2 . a) Haga un gráfico de x como función de t, desde t= 0 s a t = 8 s dibujando puntos cada medio segundo. Trace una curva a través de los puntos. Que tipo de movimiento describe esta ecuación ? b) Donde se encuentra el objeto cuando t=2seg? Es posible encontrarlo en x=3m ? Problema 6: Un año-luz es la distancia que la luz viaja en un año. Sabiendo que el módulo de la velocidad de la luz es de aproximadamente 300.000 km/s y que la distancia entre de la Tierra a la estrella Sirius (la estrella Guía No 1: Cinemática en una dimensión 1 más brillante en los cielos, después del Sol) es de aproximadamente 10 años-luz, determine la distancia de la Tierra a Sirius en metros. Problema 7: El módulo de la velocidad del sonido en el aire a temperatura ambiente es de unos 340 m/s. Suponga que se ve un rayo al aproximarse una tormenta y 6 s después se escucha el trueno. Estime a qué distancia se encuentra la tormenta. ¿Es importante para resolver este problema el valor de la velocidad de la luz dado en el problema anterior? Movimiento rectilíneo uniforme Problema 8: Los siguientes gráficos corresponden a distintos móviles, que realizan movimientos rectilíneos. Hallar las ecuaciones horarias de cada uno de ellos y en que instantes pasaron (o pasaran) por la posición tomada como origen de coordenadas. Problema 9: Dado el siguiente gráfico de la coordenada x en función del tiempo, x(t); halle la componente x de la velocidad media entre ti = 1 s y tf cuando: a) tf = 5 s, b) tf = 4 s, c) tf = 3 s, y d) tf = 2 s. e) Estime cuánto vale la velocidad instantánea en tf = 1 s. Problema 10: Al mostrar un paso de baile una persona se mueve en una dimensión, x. El gráfico representa cómo depende esa coordenada en función del tiempo, x(t). a) Calcule la componente x de la velocidad media en los diferentes intervalos, entre t = 0 s y t = 2 s, t = 2 s y t = 3 s, t = 3 s y t = 4.5 s, t = 4.5 s y t = 6.5 s, t = 6.5 s y t = 7.5 s, y t = 7.5 s y t = 9 s. b) ¿Cuáles son las velocidades instantáneas en t = 1 s, t = 2.5 s, t = 4.5 s y t = 6 s. Problema 11: Juan, cronómetro en mano y ubicado en un tramo rectilíneo de una ruta, estudia el movimiento de los coches que circulan por la misma con velocidad constante. A su derecha, y a 40 metros de él hay un árbol, y más lejos un cartel. En cierto instante ve que un automóvil se le acerca por la izquierda, y dispara el cronómetro Guía No 1: Cinemática en una dimensión 2 cuando lo tiene a 100 metros; el auto pasa frente a él 5 segundos después. Utilizando como origen la posición de Juan, y los tiempos que indica el cronómetro: a) Hallar el vector velocidad del auto, y la indicación de su velocímetro en km/h. Escribir su ecuación horaria. b) Hallar en qué instante pasará el auto frente al árbol. c) Si cuando el cronómetro indica 30 segundos el auto pasa frente al cartel, cuántos metros hay entre éste y el árbol. d) Hacer los gráficos x(t) y v(t), indicando el paso del auto frente al árbol y al cartel. e) Con el mismo origen y sentido positivo, hacer los gráficos para otro auto que se mueve en sentido contrario con la misma rapidez, acotando los tiempos que indicará el cronómetro, hasta que llegue a 100 m a la izquierda de Juan. (Elegir en qué instante se pone en marcha el cronómetro). Problema 12:[*] Un ciclista recorre el primer tramo de un camino recto con una velocidad 25 km/h durante 3 horas y el segundo tramo con una velocidad de 40 km/h durante 2 horas. (Desprecie el tiempo empleado en cambiar de velocidad) a) Calcule la distancia total recorrida. b) Halle la velocidad media correspondiente a la totalidad del recorrido. c) Encuentre las expresiones de la posición y de la velocidad del ciclista en función del tiempo y grafiquelas. Problema 13: La casa de Alberto se encuentra a 900 m en línea recta de la casa de Diana. Caminando con velocidad constante, Alberto tarda 10 minutos en cubrir esa distancia, mientras que Diana la recorre en 15 minutos. Cierto día salen ambos a las 15 h, cada uno desde su casa y dirigiéndose a la casa del otro. a) Determinar a qué hora y a qué distancia de la casa de Diana se encuentran. b) Trazar un gráfico posición--tiempo para ambos caminantes e interpretar gráficamente el encuentro. Problema 14: Resolver el problema anterior para otro día en que Diana sale a las 16:30 h, y Juan a las 16:35 h. Problema 15: Dos motociclistas corren contra reloj en una ruta a través del campo de 40 km de longitud. El primero recorre la ruta con una velocidad constante de 55 km/h. El segundo parte 3.5 min después del primero, pero cruza la línea final al mismo tiempo. ¿Con qué velocidad constante recorrió la ruta el segundo motociclista? Problema 16: Una cuadrilla de empleados del ferrocarril viaja en una zorra por una vía rectilínea. En un instante dado, por la misma vía y a 180 m por detrás, ven venir un tren que viaja con una velocidad constante de 36 km/h. ¿A qué velocidad mínima y constante deberá moverse la zorra para poder llegar a un desvío, que en ese instante está 120 m más adelante, para evitar el choque? Graficar la velocidad y la posición en función del tiempo para ambos móviles. Resolver nuevamente teniendo en cuenta que se requieren 10 segundos para accionar el cambio de vías. Problema 17: Dos corredores corren en sentidos opuestos sobre una pista recta; tienen velocidades constantes de 4.5 m/s y 3.5 m/s, respectivamente, cuando están separados por 100 m. a) Escriba las ecuaciones horarias del movimiento de cada corredor. b) Halle en qué instante se encuentran. c) Determine en qué posición ocurre el encuentro. d) Represente gráficamente la posición versus el tiempo de cada corredor. Problema 18:[*] Un tren parte de Buenos Aires hacia Mar del Plata a una velocidad constante de 80 km/h. Una hora más tarde, un segundo tren parte, desde el mismo lugar y con el mismo destino, a una velocidad constante de 100 km/h. Guía de Problemas No 1: Cinemática en una dimensión 3 a) Escriba las ecuaciones horarias de ambos trenes. b) ¿Cuánto tiempo tardará el segundo tren en alcanzar al primero? c) ¿A qué distancia de Buenos Aires se encuentran? d) Represente gráficamente la posición versus el tiempo de cada tren. Movimiento rectilíneo uniformemente variado Problema 19: Un colectivo que viaja a 25 km/h a lo largo de un camino acelera a 50 km/h en 5 s. ¿Cuál es la aceleración? Problema 20: Si un automóvil que se mueve con una velocidad de 72 km/h a lo largo de un camino recto frena uniformemente hasta detenerse en 6 s, ¿cuál es la aceleración de frenado requerida? Problema 21: Un corredor de Fórmula 1 que parte del reposo alcanza una velocidad de 180 km/h en 6.75 s a lo largo de una pista recta. a) ¿Cuál es la aceleración del corredor? b) Considerando que la aceleración es constante, ¿cuál es el módulo de la velocidad media del corredor? Problema 22: Suponga que una locomotora acelera uniformemente desde el reposo a razón de 5.25 m/s2 a lo largo de unas vías rectas. a) Escriba una expresión de la velocidad de la locomotora en función del tiempo? b) ¿Cuál es la velocidad 7 s después de la partida? c) Escriba una expresión de la posición de la locomotora en función del tiempo d) ¿Cuál es la distancia recorrida por la locomotora en esos 7 s? Problema 23: Un avión parte del reposo con aceleración constante y carretea 1800 m por la pista durante 30 segundos hasta despegar. a) ¿Cuál es la aceleración del avión?. b) ¿Con qué velocidad abandona la pista? c) Trace el gráfico velocidad vs tiempo mientras que el avión carretea. Problema 24: Un velocista parte del reposo y acelera durante 4 segundos con una aceleración constante de 3.5 m/s2 hasta alcanzar su velocidad máxima. a) Halle esa velocidad. b) Calcule cuánto se desplaza durante el primer segundo, y cuánto durante el último. c) El mismo velocista, que viene moviéndose a la velocidad máxima alcanzada, frena con aceleración constante hasta detenerse en 8 segundos. Halle su desplazamiento durante el primer y durante el último segundo de su frenado. Problema 25: Un barco navega con una velocidad de 6.3 m/s en el instante en que sobrepasa una boya. Justo en ese momento comienza a aumentar su velocidad con una aceleración constante igual a 0.20 m/s2. ¿Cuál será la distancia entre la boya y el barco cuando la velocidad de éste sea 8.6 m/s? Problema 26: Los gráficos siguientes representan b) ¿Qué representa el área bajo la gráfica velocidad la velocidad que adquiere una bolita, en función del vs tiempo, en el intervalo (2 s; 5 s)? tiempo, al moverse en un camino rectilíneo (no c) Escribir las ecuaciones horarias correspondientes, necesariamente suponiendo que en t=0 es x=0. horizontal), en diferentes situaciones. Para cada uno de ellos se pide: d) Hallar las posiciones correspondientes a los a) Determinar su aceleración y graficar a(t). instantes t=1 s; 4 s; 5 s; 7 s. Representarlas en un diagrama x(t) y trazar el gráfico correspondiente. Guía de Problemas No 1: Cinemática en una dimensión 4 e) ¿Cuál es la pendiente de la recta tangente al gráfico x(t) en el punto correspondiente a t=1 s, y por qué? f) ¿Qué representa el área bajo el gráfico aceleración--tiempo, en el intervalo (2 s; 5 s)? g) Describa, con sus palabras, como vería moverse a la bolita, en cada caso. Problema 27: Un esquiador, inicialmente en reposo, viaja cuesta abajo por la pendiente de una colina, con aceleración constante. Pasa por un primer puesto de control con una velocidad de 8 m/s, y por el segundo puesto con una velocidad de 20 m/s. Si ambos puestos están distanciados 80 metros, calcular la aceleración que experimenta, la distancia del punto de partida al primer puesto, y el tiempo transcurrido desde que partió hasta que pasó por el segundo puesto. Problema 28: Un bote a motor que se mueve en línea recta disminuye uniformemente su velocidad de 70 km/h a 35 km/h, en una distancia de 50 m. Determinar su aceleración de frenado, y qué distancia recorrerá hasta detenerse si prosigue así. Problema 30: En la figura se muestra un gráfico de posición versus tiempo, x(t), para un móvil en movimiento rectilíneo. a) Calcule la componente x de la velocidades media en los intervalos AB, BC, CD, DE, EF, FG, y BG. b) Establezca en qué intervalos el movimiento es uniforme. c) Estime cuál es la velocidad instantánea en el punto D. Problema 31: El límite de velocidad máxima en las calles de Buenos Aires es de 40 km/h. El conductor de un colectivo que va al doble de esa velocidad ve a un anciano que cruza la calle frente a él 40 metros más adelante de su posición; tarda 0,75 segundos en aplicar los frenos, y éstos le proporcionan una aceleración constante de 8 m/s2. ¿Se detendrá el colectivo antes de atropellar al anciano? Problema 32:[*] Un automóvil parte del reposo moviéndose con una aceleración constante de 1 m/s2 durante un minuto. El conductor en ese instante suelta un poco el acelerador de modo que ahora se mueve con velocidad constante durante otro minuto. Finalmente clava los frenos desacelerándose a razón de 2 m/s2 hasta detenerse. a) Calcule a cuántos metros del lugar de partida se detiene. b) Grafique la posición del automóvil en función del tiempo, desde el punto de partida hasta el instante en que el automóvil se detiene, es decir para los tres tramos del recorrido. c) Grafique la velocidad y la aceleración del automóvil en función del tiempo para esos mismos tramos. Guía de Problemas No 1: Cinemática en una dimensión 5 Problema 33:[*] El gráfico representa la velocidad c) Encuentre el camino recorrido en cada etapa. en función del tiempo que corresponde a un d) Calcule la velocidad media del móvil, entre 0 y movimiento rectilíneo en tres etapas. 10 segundos. a) Encuentre la expresión de la aceleración en función del tiempo en cada etapa y represéntelas en un único gráfico. b) Suponiendo que a t=0 el móvil está en x=0, encuentre la expresión de la posición en función del tiempo, determinando los valores correspondientes a los tiempos indicados, y represente x versus t en un único gráfico para cada intervalo. Problema 34:[*] El gráfico representa la aceleración en función del tiempo de un micro, que parte del reposo y que luego de recorrer un camino rectilíneo se detiene. a) Obtenga la expresión de la velocidad en función del tiempo para cada tramo y represéntelas en un único gráfico. b) Encuentre la expresión de la posición en función del tiempo para cada tramo y represéntelas en un único gráfico. Problema 35: [*] Un automóvil pasa frente a un puesto caminero, moviéndose con velocidad constante de 130 km/h, en una ruta recta. Un policía parte en su motocicleta desde el puesto, 5 segundos más tarde, con aceleración constante de 5 m/s2, hasta llegar a su velocidad máxima que es 40 m/s (144 km/h), y que luego mantendrá constante. a)¿Cuánto tardará el policía en alcanzar al automóvil? b) ¿A qué distancia del puesto caminero lo alcanzará? b) Trazar los gráficos de velocidad y posición en función del tiempo para cada móvil. Problema 36: Un automóvil y un camión parten del reposo al mismo tiempo en un camino recto, pero el auto está a una cierta distancia detrás del camión. Ambos se mueven con aceleración constante, de 4.4 m/s2 el auto y de 3.7 m/s2 el camión, y se cruzan cuando el auto se halla a 157 m del lugar de partida. Halle: a) Cuánto tiempo tardó el auto en alcanzar al camión. b) Qué distancia los separaba inicialmente. c) La velocidad de cada vehículo cuando están a la par. d) Los gráficos de posición y velocidad en función del tiempo, para ambos. [*] Problemas tomados en parciales o finales de cursos de años anteriores. Guía de Problemas No 1: Cinemática en una dimensión 6 Curso de Preparación Universitaria: Física Guía de Problemas No 2: Cinemática en una y dos dimensiones Caída libre y Tiro vertical Problema 1: Una piedra se deja caer desde un globo que desciende con una velocidad uniforme de 15 m/s. a) Calcule la velocidad y la distancia recorrida por la piedra después de 10 s. b) Resuelva el mismo problema para el caso en que el globo se eleva con una velocidad constante de 15 m/s. Problema 2: Se lanza verticalmente una pelota hacia arriba con una velocidad de 12 m/s desde la cima de un edificio, inclinado el lanzador sobre el borde de modo tal que la pelota no choque con el edificio en su viaje de regreso. La pelota llega al piso 6.4 s después de haber sido lanzada. a) Halle la altura máxima que alcanza la pelota. b) Encuentre la altura del edificio. c) Calcule la velocidad de la pelota en el instante en que llega al piso. Problema 3: Se deja caer un objeto al mismo tiempo que otro es lanzado hacia abajo con una velocidad de 2 m/s. ¿Cuánto tiempo pasará para que la distancia entre ellos sea de 18 metros? Problema 4: Un paracaidista que desciende en caída libre (antes de abrir su paracaídas), pasa por los puntos A y B de su trayectoria vertical con velocidades vA = 10 m/s y vB = 60 m/s. Halle la distancia AB que recorrió. Problema 5: Se deja caer una piedra en el pozo de un aljibe. El sonido de la piedra al golpear el agua se escucha 6.5 s después. Si la velocidad del sonido es de 340 m/s, calcule la profundidad del pozo. Problema 6: [*] Desde una altura de 3 metros sobre la superficie de un estanque con agua se arroja una piedra verticalmente hacia abajo con una velocidad inicial de 2 m/s. Una vez que ha llegado al agua la piedra sigue con un movimiento acelerado con a = g/2 (hacia abajo) debido al roce, y llega al fondo del estanque 2 segundos después de haber tocado la superficie del agua. Considere g = 10m/s2. Calcule: a) el tiempo de caída en el aire. b) la velocidad con que la piedra llegó a la superficie del agua. c) la profundidad del estanque. d) la velocidad con que la piedra llegó al fondo del estanque. Problema 7: Tres piedras caen libremente desde un mismo punto pero a intervalos de tiempo de 3 segundos. Determine al cabo de cuánto tiempo la distancia de la segunda piedra a la primera es el doble de la distancia entre la segunda y la tercera. Problema 8: Se lanza una pelota verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 50 m/s. Dos segundos después se lanza otra pelota hacia arriba con la misma velocidad. ¿A qué altura y en qué tiempo se encontrarán? ¿Cuál serán sus velocidades cuando se encuentren? Grafique (en un único gráfico) la posición de cada una de las pelotas función del tiempo. Problema 9: [*] Una batería antiaérea con los cañones ubicados verticalmente detecta un avión enemigo cuando éste se encuentra a 30 km (medidos horizontalmente) y a 20000 m de altura, moviéndose hacia la batería con una velocidad de 1080 km/h (300 m/s) en vuelo horizontal. a) Grafique x(t) e y(t) para el avión y el proyectil de la batería. b) Cuánto tiempo transcurre desde que el avión es detectado hasta que pasa sobre la batería. c) Cuánto tiempo debe esperar la batería, desde que se detecta el avión, para disparar los cañones asegurando el blanco directo, si la velocidad inicial de los proyectiles es de 800 m/s? Guía de Problemas No 2: Cinemática en una y dos dimensiones 1 Tiro oblicuo. Problema 10: Se dispara un proyectil con un rifle desde lo alto de una colina. El proyectil parte con una velocidad de 50 m/s, en una dirección que forma un ángulo de 37o con la horizontal. a) Hallar la posición del proyectil a los 2 s, 5 s y 9 s después de haber partido. Representar la trayectoria en un diagrama x-y. b) Calcular el vector desplazamiento entre t = 2 s y t = 5 s, y entre t= 5 s y t = 9 s. c) Determinar las componentes de los vectores de velocidad en los instantes mencionados. Representar dichos vectores en el diagrama anterior. d) Calcular el vector velocidad media entre t = 2 s y t = 5 s, y entre t = 5 s y t = 9 s. e) Hallar en qué instante se encuentra al mismo nivel que el de partida, qué posición ocupa y cuál es su velocidad en ese instante. f) Sin hacer cuentas, justifique entre qué instantes de los especificados cree usted que el proyectil alcanzará la máxima altura. ¿Qué velocidad tendrá allí? Calcúlelos ahora y verifique su hipótesis. g) Con toda la información anterior, dibujar la trayectoria del proyectil. Escribir la ecuación de la misma. Problema 11: Con referencia al problema anterior, otro proyectil es disparado desde el mismo punto a 50 m/s, pero formando un ángulo de 53o con la horizontal. Desarrollar las mismas preguntas, haciendo los diagramas en la misma escala. Comparar ambos diagramas. Si ambos proyectiles hubieran partido simultáneamente, ¿se encontrarían nuevamente? ¿Dónde? Problema 12: [*] Desde una de las torres de una fortaleza de altura desconocida, una catapulta lanza continuamente grandes piedras con una velocidad de salida de 20 m/s y con una inclinación hacia arriba de 37o con la horizontal. Si cada piedra tarda 5 s en caer. a) ¿Cuál es la altura de la torre? b) ¿A qué distancia horizontal del lanzamiento caen al piso? c) ¿Cuál es la altura máxima que alcanzan las piedras? d) ¿Con qué velocidad caen las piedras al piso? Problema 13: Natalia arroja horizontalmente una pelota desde la ventana de su dormitorio que da a la calle en los altos de un edificio, y Federico lo recibe a 1.8 m de altura sobre el piso, 1.2 segundos después. Sabiendo que Federico se encuentra a 6 m del frente del departamento de Natalia, hallar: a)¿Desde qué altura del piso partió la pelota? b)¿Con qué velocidad llegó a las manos de Federico? c)¿Cuál es la ecuación de la trayectoria de la pelota? Problema 14: [*] Guillermo Cañas se encuentra a 8 m de la red, e inicia el juego lanzando la pelota con una velocidad inicial horizontal, desde una altura de 2.15 m. Es tan hábil que logra que la pelota pase justo por el borde superior de la red que tiene 0.90 m de altura. a) Haga un esquema de la situación y halle el tiempo que dura el vuelo de la pelota desde que es lanzada por el tenista hasta que pasa justo por encima de la red. b) Halle la velocidad inicial de la pelota. c) ¿A qué distancia de la red la pelota toca el suelo? Guía de Problemas No 2: Cinemática en una y dos dimensiones 2 Problema 15: El campeón mundial de slalom, el italiano Alberto Tomba, se desliza por la pendiente de un montaña inclinada 30o llegando al borde A con cierta velocidad. Luego de 1 segundo de vuelo libre, retoma la pista en B, 4.33 m más adelante del punto A. Halle la velocidad que el esquiador tiene en el punto A y el desnivel existente entre A y B. ¿Qué velocidad tendrá Tomba en B? Problema 16: Un ejecutivo aburrido, en ausencia de sus secretarias, se entretiene arrojando horizontalmente bollos de papel hacia el cesto que tiene frente a él al otro lado del escritorio, como se indica en el dibujo. a) Teniendo en cuenta las dimensiones del cesto, hallar entre qué valores debe encontrarse el de la velocidad de partida de un bollo para que ingrese en el cesto. b) Si el extremo E del escritorio está a 75 cm del piso, y a 1 m por delante del lugar de lanzamiento, determinar si un bollo que parte a 4 m/s le cae encima, cae al suelo o entra en el cesto. Justificar. Problema 17: Un malabarista muestra su destreza, manteniendo continuamente en el aire cuatro platos. Los recibe con su mano izquierda, a 80 cm del piso, y los lanza con su mano derecha, desde la misma altura y a 1,2 m de donde los recibió. Los platos alcanzan una altura máxima de 4 m sobre el nivel del piso. Hallar: a) Con qué velocidad los arroja. (Sus componentes) b) Con qué velocidad pasan por el punto más alto. c) Si tarda 0,2 segundos en pasarlos de una mano a la otra, estimar cada cuánto tiempo recibe un plato. Problema 18: El muñeco Gallardo ejecuta un tiro libre, lanzando la pelota con un ángulo de 30o con la horizontal y a una velocidad de 20 m/s. El piojo López corre para alcanzar la pelota a velocidad constante partiendo al mismo tiempo que ella desde 20 m más adelante de la posición del tiro libre. Calcule con qué velocidad deberá correr López para alcanzar la pelota justo cuando ésta llegue al suelo. Guía de Problemas No 2: Cinemática en una y dos dimensiones 3 Problema 19: Un jugador de rugby intenta un penal frente a los palos desde una distancia de 36 m. Si patea con una velocidad de 22 m/s y una inclinación de 45o ¿Logrará el jugador convertir el penal? (En rugby, para que un penal sea válido, la pelota debe pasar por encima del travesaño horizontal que es sostenido por los postes verticales y que está a una altura de 3.1 m del piso). Cinemática vectorial Algunas definiciones Escalar: decimos que una magnitud es escalar cuando queda completamente definida por un número y su correspondiente unidad (la temperatura, la humedad, el volumen son escalares) Vector: es una cantidad que queda que se determina completamente por su magnitud (módulo o intensidad), dirección y sentido (velocidad, fuerza, son ejemplo de vectores). También se puede determinar por sus componentes en un sistema de coordenadas. Posición: es el lugar que ocupa un cuerpo con respecto a algún sistema de referencia (por ej., “la dirección de mi casa es Alem 1286, San Martín” indica la posición de mi casa en el sistema de referencia que dan las calles del partido de San Martín). Vector posición: es aquél que identifica la ubicación de un cuerpo en el espacio respecto de un sistema de referencia (de coordenadas) Trayectoria: es el conjunto de puntos que ocupa sucesivamente un cuerpo al moverse. Distancia recorrida: es la longitud total del camino recorrido medido sobre la trayectoria (magnitud escalar). Intervalo o lapso: es el tiempo transcurrido entre dos instantes (magnitud escalar). Desplazamiento: es el vector que resulta de la diferencia entre dos vectores posición. Velocidad media: es el vector que resulta de dividir el vector desplazamiento por el intervalo de tiempo correspondiente. Velocidad escalar promedio: es la magnitud escalar que resulta de dividir la distancia recorrida por un móvil sobre su trayectoria por el tiempo que tarda en recorrerla. Problema 20: Un móvil se desplaza entre dos puntos por un camino cualquiera. ¿Podemos decir que el módulo de la velocidad media -que es un escalar- es lo mismo que su velocidad escalar promedio? Problema 21: El indicador de kilometraje de un automóvil marca 12305 km cuando pasa por un mojón establecido. Después de 3 horas vuelve a pasar por el mismo mojón indicando en dicho caso 12620 km. a) ¿Cuál es la velocidad escalar promedio en ese lapso? b) ¿Cuál es el vector velocidad media en el mismo lapso? Problema 22: Un corredor trota de un extremo a otro en una pista recta de 300 m (de un punto A a otro punto B) en 2.50 min; luego se vuelve y trota 100 m regresando a un punto C (intermedio entre los puntos A y B) en otro 1.00 min. Calcule la velocidad escalar promedio y el vector velocidad media del corredor al ir a) de A a B b) de A a C? c) Si luego el corredor va del punto C al punto de partida A en 0.50 min. ¿Cuál es la velocidad escalar promedio y el vector velocidad media para el total del viaje? Guía de Problemas No 2: Cinemática en una y dos dimensiones 4 Problema 23: En un paseo por el campo, una pareja camina 1.80 km hacia el Este a lo largo de un camino recto en 20.0 min., luego 2.40 km directamente al Norte en 35.0 min. Responda lo siguiente utilizando unidades de km/h. a) ¿Cuál es el vector velocidad media en cada segmento de su paseo? b) ¿Cuál es la velocidad escalar promedio para la distancia total caminada? c) Si caminan a lo largo de una trayectoria en línea recta de regreso a su punto de partida en 25.0 min. ¿Cuál será el vector velocidad media y la velocidad escalar promedio para el total del viaje? Problema 24: La población A de la provincia de Buenos Aires está situada 160 km al Este y 120 km al Norte, con respecto a la ciudad M. La población B se sitúa 90 km al Sur, también con respecto a M. a) Adoptar un sistema de referencia y determinar el vector posición de las tres localidades. b) Una avioneta sale de A a las 7:00 h, y llega a B a las 9:00 h. Determinar su vector desplazamiento. c) Hallar el vector velocidad media de la avioneta, en su viaje de A hasta B, y calcular su módulo. d) A las 9:30 h la avioneta despega de B y aterriza en M a las 11:00 h. Carga mercancías y combustible, y parte a las 15:00 h, para llegar a A a las 16:40 h. Hallar el vector velocidad media de la avioneta en cada uno de los intervalos indicados, y también para todo el viaje. (Desde las 7:00 h hasta las 16:40 h). Problema 25: [*] Responda las preguntas siguientes, explique justificando adecuadamente la respuesta, dé ejemplos. 1) Cuando la velocidad es constante, ¿difiere la velocidad media en cualquier intervalo de tiempo de la velocidad instantánea en cualquier instante? 2)¿Puede tener un cuerpo velocidad cero y, a pesar de eso, estar acelerándose? 3)¿Puede tener un cuerpo el módulo de la velocidad constante y, a pesar de eso, tener una velocidad variable? 4)¿Puede tener un cuerpo una velocidad constante y, a pesar de eso, tener un módulo de la velocidad variable? 5)¿Puede un objeto tener velocidad dirigida hacia el este mientras sufre una aceleración dirigida hacia el oeste? 6)¿Puede cambiar la dirección de la velocidad de un cuerpo cuando su aceleración es constante? 7) ¿Puede ir aumentando el módulo de la velocidad de un cuerpo a medida que su aceleración disminuye? 8) ¿Cuál de las siguientes situaciones es imposible? a) Un cuerpo tiene una velocidad hacia el este y una aceleración hacia el este. b) Un cuerpo tiene una velocidad hacia el este y una aceleración hacia el oeste. c) Un cuerpo tiene una velocidad cero y una aceleración diferente de cero. d) Un cuerpo tiene una aceleración constante y una velocidad variable. e) Un cuerpo tiene una velocidad constante y una aceleración variable. [*] Problemas tomados en parciales o finales de cursos de años anteriores. Guía de Problemas No 2: Cinemática en una y dos dimensiones 5 Curso de Preparación Universitaria: Física Guía de Problemas No 3: Dinámica: Leyes de Newton Problema 1: Tres fuerzas actúan sobre un objeto que se mueve en una línea recta con velocidad constante. Si dos de las fuerzas son F 1 = 4.5 Ni − 1.5 Nj y F 2 = −3.5 Ni − 1.Nj ¿Cuáles son las componentes de la tercera fuerza? Problema 2: Un poste de teléfono se mantiene vertical mediante dos cables que se fijan al poste a una altura de 10 m y al piso a una distancia de 7 m de la base del poste, en direcciones opuestas. Si la tensión de cada cable es de 500 N, ¿cuáles son las fuerzas vertical y horizontal que ejerce cada uno sobre el poste? ¿Qué otra fuerza mantiene al poste en equilibrio? Problema 3: En el diagrama puntual mostrado en la figura, los módulos de las fuerzas actuantes son F1 = 22 N, F2 = 18 N y F3 = 16 N. a) Determine las componentes de cada una de las fuerzas. b) Determine las componentes (Σ Fx, Σ Fy ) de la fuerza resultante. c) Exprese la fuerza resultante en función de los vectores unitarios i y j d) Halle el módulo, dirección y sentido de la fuerza resultante. Problema 4: Halle el módulo y la dirección de la fuerza resultante de los sistemas de fuerzas representados en los diagramas puntuales de la figura Problema 5: Al saltar de un avión, un saltador aéreo acrobático cuyo peso es de 720 N, alcanza una velocidad esencialmente constante. En esta situación hay dos fuerzas significativas que se ejercen sobre el saltador. a) ¿Cuáles son esas fuerzas? b) ¿Cuáles son la dirección y el módulo de cada una de ellas? Guía de Problemas No 3: Dinámica: Leyes de Newton 1 Problema 6: Determine la tensión en las cuerdas AC y BC de las figuras si M tiene una masa de 40 kg. Problema 7: Un trabajador empuja un cajón y experimenta una fuerza neta de 100 N. Si el cajón se mueve con una aceleración de 0.75 m/s2, ¿cuál es su peso? Problema 8: Un automóvil detenido de 1800 kg es remolcado por otro automóvil mediante una cuerda horizontal. Si los automóviles se aceleran con una aceleración de 1.55 m/s2, encuentre la tensión en la cuerda. Problema 9: Si estuviéramos en otro planeta, tal como Marte, definiríamos el peso de un objeto como la fuerza gravitatoria que el planeta ejerce sobre dicho objeto. En Marte, la aceleración de un objeto en caída libre es de 3.8 m/s2. ¿Cuál es el peso en Marte de una persona de 68 kg? Problema 10: Una fuerza horizontal de 12 N actúa sobre un objeto que descansa sobre una superficie plana sin fricción en la Luna, en donde el objeto tiene un peso de 98 N. Sabiendo que la aceleración de la gravedad en la Luna es 1.6 m/s2 a) ¿cuál es la aceleración del objeto? b) ¿Cuál sería la aceleración del mismo objeto en una situación similar en la Tierra? Problema 11: Un automóvil de 1600 kg que viaja a 90 km/h en un camino plano y recto, se lleva con aceleración constante al reposo. ¿Cuál es la magnitud y el sentido de la fuerza de frenado si éste se hace en: a) un tiempo de 5 s o b) una distancia de 50 m? Problema 12: Un obrero empuja un carrito cargado, de modo que la fuerza resultante sobre el mismo es de 300 N. Como consecuencia, el carrito adquiere una aceleración de 2.5 m/s2. Hallar la masa del carrito con carga. Si ahora se quita carga de modo que la masa se reduce a la tercera parte, y se duplica la fuerza resultante que actúa sobre el carro, hallar la nueva aceleración del carrito. Problema 13: [*] Para los sistemas de la figura, dibuje todas las fuerzas aplicadas sobre cada parte de cada sistema, indicando cuales fuerzas forman pares interacción (acción-reacción). Considere a la Tierra como parte de cada sistema. Guía de Problemas No 3: Dinámica: Leyes de Newton 2 Problema 14: Un bloque de 5 kg, en reposo sobre una superficie sin rozamiento, recibe la acción de las fuerzas que se ilustran en la figura cuyos módulos son F1 = 5.5 N y F2 = 3.5 N, a) ¿Qué aceleración adquiere el bloque? b) ¿Cuál es el valor de la fuerza que la superficie le ejerce al bloque? mismo valor que el obtenido en a). Problema 15: [*] Se tienen dos cuerpos en Explique por qué sucede esto. contacto sobre una mesa sin fricción. A uno de ellos se le aplica una fuerza F como indica la figura. a) Si el módulo de la fuerza vale F = 3 N, m1 = 2 kg y m2 = 1 kg, encuentre la aceleración de los bloques y la fuerza de contacto entre ellos. b) Demuestre que si se aplica la misma fuerza F al bloque 2 en lugar de al bloque 1, la fuerza de contacto no tiene el a) F = 80 N ; b) F = 50 N; c) F = 30 N; d) F = 0 Problema 16: El sistema de los dos bloques de la figura, cuyas masas son mA = 3 kg y mB = 2 kg respectivamente, se está moviendo hacia arriba. Determinar el valor de la aceleración y la magnitud de la fuerza que soporta la soga 2 cuando se tira de la soga 1 con una fuerza F como se indica en la figura. Considerar los siguientes casos para el módulo de la fuerza (tenga en cuenta la gravedad): Problema 17: [*] Dos bloques cuyas masas son mA = 15 kg y mB = 5 kg están sometidos a dos fuerzas cuyos módulos son FA = 220 N y FB = 100 N como se indica en la figura. a) Haga el diagrama de cuerpo libre de cada bloque. b) Plantee las ecuaciones que surgen de aplicar la 2da ley de Newton para cada bloque. c) Encuentre la aceleración del sistema. d) Halle la tensión en la soga. Guía de Problemas No 3: Dinámica: Leyes de Newton 3 b) Problema 18: Una máquina de Atwood, como Suponga que lo envían al planeta Norc a muestra la figura, puede usarse para medir g (la medir el módulo de la aceleración de la aceleración de la gravedad). Si los bloques tienen gravedad g en su superficie. Usando una masas casi iguales, la aceleración del sistema es máquina de Atwood con m2 = 4.85 kg y m1 = pequeña y g puede determinarse sin necesidad de 4.65 kg, suelta los bloques desde el reposo y medir intervalos de tiempo pequeños. Suponga encuentra que se mueven una distancia de que las masas de la cuerda y de la polea, así como 0.50 m en 2.5 s. ¿Cuánto vale g en el planeta la fricción en la polea se pueden despreciar y que Norc? por lo tanto el único efecto de la polea es cambiar de la dirección de la cuerda. a) Demuestre que g puede determinarse a partir de la expresión g = a(m1 + m 2 ) . En (m 2 − m1 ) esta expresión a es el módulo de la aceleración de los bloques y se ha supuesto que la masa m2 del bloque 2 es ayor que la masa m1 del bloque 1. Problema 19: Demuestre que la tensión de la cuerda en una máquina de Atwood es: T = 2m1 m 2 g y que (m 2 + m1 ) para el caso en que m2 > m1, entonces m1 g < T < m2 g. Problema 20: Una máquina de Atwood, como muestra la figura del problema 18, tiene suspendidas masas m1 y m2 de 0.15 kg y 0.20 kg, respectivamente. ¿Cuál es la aceleración de los bloques? ¿Cuál es la tensión de la cuerda durante el movimiento? Problema 21: Analice las fuerzas que actúan en una máquina de Atwood con masas m1 y m2 (similar al de la figura del problema 18) en términos de la 3ra ley de Newton, es decir indicando cuales fuerzas forman pares de interacción (acción--reacción). Considere a la Tierra como parte del sistema y tome al mismo en equilibrio estático. Problema 22: [*] Dos bloques cuyas masas son mA = 50 kg y mB desconocida son arrastrados por una fuerza F cuyo módulo es de 450 N, tal como se indica en la figura. No hay rozamiento. a) Encuentre el valor de la masa del bloque mB que le permita al sistema ascender con una velocidad constante. Guía de Problemas No 3: Dinámica: Leyes de Newton 4 b) Halle el valor de la tensión en la cuerda que une ambos bloques.(Recuerde hacer el diagrama de cuerpo libre de cada bloque y plantear las ecuaciones que surgen de aplicar la 2da ley de Newton para cada bloque.) c) Analice las fuerzas que actúan sobre cada bloque en términos de la 3ra ley de Newton, es decir indicando cuales fuerzas forman pares interacción (acción-reacción). Considere a la Tierra como parte del sistema y tome al mismo en equilibrio estático. Problema 23: En el sistema de la figura, que d) Si se deja de aplicar la fuerza F , ¿cuál es presenta rozamiento despreciable en las poleas y la tensión que soporta la cuerda, la en el plano, las masas de los cuerpos son m1 = 40 aceleración y el sentido del movimiento kg y m2 = 60 kg y la fuerza F es desconocida. un instante después? Haga los diagramas de cuerpo libre de cada cuerpo y determine: a) La intensidad de la fuerza F necesaria para que el sistema se mueva con velocidad constante. b) La tensión en la cuerda en este caso. c) La intensidad de F necesaria para que los cuerpos se aceleren a razón de 2 m/s2, y la tensión de la cuerda en este caso. Problema 24: [*] En el esquema de la figura, los bloques A de 60 kg y B de 40 kg se mueven en el sentido indicado, vinculados por una cuerda de masa despreciable. Puede despreciarse también el rozamiento sobre el plano y la polea, y la masa de ésta última. a) En las condiciones dadas, hallar la intensidad y sentido de la aceleración de los bloques, y la tensión que soporta la cuerda. b) Cuando el bloque B pasa por el punto C se corta la cuerda. Calcular la nueva aceleración de cada uno. Guía de Problemas No 3: Dinámica: Leyes de Newton 5 c) Describir el movimiento de cada bloque, desde el instante inicial hasta que llegan al piso. Esbozar los gráficos posición vs. tiempo. Problema 25: Una persona, cuya masa es 70 kg, se encuentra parado en un ascensor. ¿Qué fuerza ejerce el piso sobre la persona cuando el ascensor está: a) en reposo, b) moviéndose con una aceleración hacia arriba de 0.525 m/s2, c) moviéndose con una aceleración hacia debajo de 0.525 m/s2, d) subiendo con velocidad uniforme, e) bajando con velocidad uniforme, f) se rompen los cables del ascensor y cae libremente? Problema 26: El andamio de un pintor cuelga de d) El ayudante del pintor se asoma por la una polea como se indica en la figura. Considere a ventana y coloca un tarro de pintura de 50 la polea sin masa ni rozamiento, la cuerda sin kg sobre el andamio. ¿Pasa algo? peso y que el andamio no puede volcarse. El pintor se encuentra sobre la plataforma, sosteniéndose a sí mismo. El andamio pesa 40 kg y el pintor 80 kg. a) Dibuje por separado al pintor y al andamio indicando claramente todas las fuerzas aplicadas, en módulo, dirección y sentido en cada caso. b) Hallar la tensión en las cuerdas en los puntos A, B y C. c) ¿Cuál es la fuerza que se ejerce sobre los pies del pintor? Problema 27: Cuando el sistema que muestra la figura es soltado desde el reposo, la aceleración observada para B es 3 m/s2 hacia abajo. Despreciando el rozamiento y la masa de la polea determine: a) La tensión en la cuerda. b) La masa del bloque B. c) Suponga ahora que el sistema de la figura es soltado cuando h = 1.4 m. Determine la masa del bloque B sabiendo que cuando llega al piso lo hace con una velocidad de 3 m/s. d) ¿Qué dificultad encuentra si intenta resolver (c) considerando que la velocidad final es 6 m/s ? Guía de Problemas No 3: Dinámica: Leyes de Newton 6 e) Si al sistema se lo suelta desde el reposo y se sabe que la masa de B es 30 kg, determine cuanta distancia se recorre hasta alcanzar la velocidad de 2.5 m/s. Problema 28: En el sistema de la figura pueden f) Graficar la aceleración del bloque 1 en despreciarse las masas de la cuerda y la polea, así función como el rozamiento en la misma. Se lo deja libre, intervalo. del tiempo, en el mismo partiendo del reposo, con el bloque 1 a nivel del piso, el 2 a 4 m de altura. El bloque 2, cuya masa es de 6 kg, tarda 2 s en llegar al piso. Con esa información: a) Hallar la masa del bloque 1. b) Hallar con qué velocidad llegó al piso el bloque 2. c) Hallar la altura máxima sobre el piso que alcanzará la base del bloque 1. d) Hallar la fuerza que soporta el techo. e) Graficar la intensidad de la fuerza que soporta la cuerda, en función del tiempo, hasta que el bloque 2 comienza a subir. Preguntas [*] I. Algunas veces se hace referencia a la primera ley de Newton como la ley de inercia. Una medida de la inercia de un objeto se obtiene por su: a) tamaño, b) velocidad, c) forma, d) masa. II. En ausencia de una fuerza neta, un objeto estará siempre: a) en reposo, b) en movimiento con velocidad constante, c) acelerado, d) ninguno de éstos. III. Analizar la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones, referidas a la 1ra Ley de Newton: a) Un cuerpo no puede desplazarse sin que una fuerza actúe sobre él. b) Toda variación de la velocidad de un cuerpo exige la existencia de una fuerza aplicada sobre el mismo. c) Si el módulo de la velocidad permanece constante, no se ejerce ninguna fuerza sobre el cuerpo. d) Si no existe una fuerza aplicada sobre un cuerpo en movimiento, éste se detiene. Guía de Problemas No 3: Dinámica: Leyes de Newton 7 IV. La segunda ley de Newton relaciona la aceleración de un objeto sobre el que actúa una fuerza neta que es: a) inversamente proporcional a su masa, b) cero, c) directamente proporcional a su masa, d) independiente de su masa. V. La unidad de fuerza Newton es equivalente a: a) kg-m/s, b) kg-m/s2, c) kg-m2/s, d) ninguno de éstos. VI. Comente las siguientes aseveraciones sobre la masa y el peso: a) la masa y el peso se refieren a la misma cantidad física, sólo que están expresadas en unidades diferentes. b) la masa es una propiedad de un solo objeto, mientras que el peso resulta de la interacción de dos objetos. c) el peso de un objeto es directamente proporcional a su masa. d) la masa de un cuerpo varía con los cambios en su peso local. VII. ¿Depende del peso la aceleración de un cuerpo en caída libre? VIII. Sobre una masa libre actúa una fuerza horizontal. ¿Puede provocarle una aceleración si esa fuerza es menor que el peso de esa masa? IX. Un cuerpo de masa m se encuentra en reposo, apoyado sobre una mesa horizontal que presenta rozamiento despreciable. Analizar, sin hacer cuentas, las siguientes preguntas: a) ¿Qué intensidad mínima tendrá la fuerza horizontal necesaria para ponerlo en movimiento? b) ¿Qué aceleración tendrá si se le aplica una fuerza vertical, hacia arriba y de módulo igual al valor de su peso? c) ¿Qué aceleración tendrá si se le aplica una fuerza horizontal y de módulo igual al valor de su peso? X. El par de fuerzas de la tercera ley de Newton: a) consiste en fuerzas que siempre son opuestas, pero algunas veces no son iguales, b) siempre se cancelan una a la otra cuando se aplica la segunda ley a un cuerpo, c) siempre actúan sobre el mismo cuerpo, d) consisten en fuerzas que son idénticas tanto en magnitud como en dirección, pero actúan sobre diferentes objetos. XI. Un fuerza del par de fuerzas acción--reacción: a) nunca produce una aceleración, b) siempre es mayor que la otra, c) puede o no producir un cambio en la velocidad, d) ninguno de éstos. XII. Discuta si las siguientes parejas de fuerzas son ejemplos de pares de interacción (acción y reacción): a) la Tierra atrae a un ladrillo; el ladrillo atrae a la Tierra. b) un caballo tira de una carreta, acelerándola; la carreta tira en sentido contrario del caballo. c) un caballo tira de una carreta, sin moverla; la carreta tira del caballo en sentido contrario. d) un caballo tira de una carreta, sin moverla; la Tierra ejerce una fuerza igual y opuesta sobre la carreta. e) un avión de hélices tira aire hacia el mismo; el aire empuja al avión hacia adelante. [*] Problemas tomados en parciales o finales de cursos de años anteriores. Guía de Problemas No 3: Dinámica: Leyes de Newton 8 Curso de Preparación Universitaria: Física Guía de Problemas No4: : Dinámica: Rozamiento, fuerzas elásticas Problema 1: Un cajón de 50 kg está en reposo sobre una superficie plana. Si el coeficiente de rozamiento estático entre el cajón y la superficie es de 0.79, ¿qué fuerza horizontal se requiere para mover el cajón? Problema 2: Al mover un escritorio de 35 kg de un lado al otro de un aula, un profesor encuentra que se necesita una fuerza horizontal de 275 N para poner el escritorio en movimiento y una fuerza de 195 N para conservarlo en movimiento con velocidad constante. Halle los coeficientes de rozamiento estático y dinámico entre el escritorio y el piso del aula. Problema 3: Los coeficientes de rozamiento estático y dinámico entre un piso y un cajón de 25 kg es 0.68 y 0.34, respectivamente. Si se aplican horizontalmente fuerzas de: a) 150 N y b) 180 N, ¿cuál es la fuerza neta sobre el cajón aplicada en cada caso? Problema 4: Hallar la mínima distancia de frenado de un automóvil que marcha a 108 km/h, si los coeficientes de rozamiento entre los neumáticos y el pavimento son: µe = 0.6 y µd = 0.3. ¿Qué sucederá si el conductor bloquea las ruedas? Problema 5: Un cajón que contiene partes de maquinarias descansa sin seguro sobre la parte trasera de un camión que viaja a lo largo de un camino recto a una velocidad de 80 km/h. El conductor aplica una fuerza de frenado constante y puede detenerse en 22 m. ¿Cuál es el coeficiente mínimo de rozamiento entre el cajón y el piso del camión, si el cajón no se deslizó hacia adelante. Problema 6: Un hombre arrastra por el suelo una canasta de 70 kg tirando de ella con una cuerda que está inclinada 15o con la horizontal. a) Si el coeficiente de rozamiento estático es de 0.50, ¿cuál debe ser la tensión necesaria en la cuerda para empezar a mover a la canasta? b) Si el µd = 0.35. ¿cuál es la aceleración inicial de la canasta? Problema 7: Un trozo de hielo resbala hacia abajo en una pendiente de 45o en el doble de tiempo del que tarda en resbalar por una pendiente de 45o sin rozamiento. ¿Cuál es el coeficiente de rozamiento entre el hielo y el piso de la pendiente? Problema 8: En el laboratorio se realizan los experimentos siguientes: a) Se arma el sistema de la figura donde el bloque A de 2 kg está y permanece en reposo sobre la mesa horizontal. Se va echando arena en el balde B, de modo que en cierto instante se rompe el equilibrio y el sistema se acelera. Sabiendo que en B se ha totalizado una masa de 1.2 kg y que tarda 0.8 segundos en llegar al piso, hallar los coeficientes de rozamiento estático y dinámico entre el bloque A y la mesa, despreciando la masa de la cuerda y los rozamientos en la polea. b) Se quitan el balde y la cuerda, se deja el bloque A en reposo sobre la mesa y se inclina lentamente. Hallar el máximo valor del ángulo que podrá formar con la horizontal sin que A comience a moverse. Si habiendo fijado ese ángulo se rompe el equilibrio, hallar con qué aceleración descenderá el bloque. c) Se vuelve a la configuración del inciso a) con el balde vacío. ¿Cuál debe ser la masa total de B para que al darle una velocidad cualquiera hacia la derecha al bloque A, el sistema prosiga moviéndose con velocidad constante. Guía de Problemas No4: : Dinámica: Rozamiento, fuerzas elásticas 1 Problema 9: Dos bloques con masas m1 = 2 kg y m2 = bloques y b) la aceleración común de las dos masas. c) 4 kg, unidos por una varilla sin masa, paralela a un ¿Cambiarán las respuestas a) y b) si m1 tirase de m2. plano inclinado, por el cual resbalan ambos, descienden por el plano, tal como se muestra en la figura, tirando m2 de m1. El ángulo de inclinación es θ = 30o. El coeficiente de rozamiento dinámico entre m1 y el plano es µ1 = 0.226 y entre m2 y el plano es µ2 = 0.113. Calcule a) la tensión de la varilla que une los Problema 10: Un cuerpo de 4 kg se coloca encima de otro cuerpo de 5 kg. Para hacer que el cuerpo superior resbale sobre el inferior, que se mantiene fijo, se debe aplicar una fuerza horizontal de 12 N sobre el cuerpo superior. El conjunto de los dos cuerpos se coloca ahora en una mesa horizontal sin rozamiento. a) Determine la fuerza horizontal máxima que puede aplicarse en el cuerpo inferior para que los dos cuerpos se muevan unidos y b) la aceleración resultante de estos cuerpos. Problema 11: En la figura, A es un bloque de 4.4 kg y B es otro de 2.2 kg. a) Determine el peso mínimo del bloque C que dese ser colocado sobre A para impedirle que resbale si µe entre A y la mesa es de 0.20. b) El bloque C se separa repentinamente del A, ¿cuál es la aceleración del bloque A si µd entre A y la mesa es de 0.15. Problema 12: El sistema de la figura asciende por un plano inclinado por la acción de una fuerza cuyo módulo es F = 400 N con una aceleración desconocida. Las masas son m1 = 20 kg y m2 = 15 kg. Sólo hay rozamiento entre el bloque 2 y el plano, siendo el coeficiente de rozamiento dinámico µd = 0.20. a) Haga un diagrama de cuerpo libre para cada bloque indicando claramente las fuerzas que actúan. b) Calcule la aceleración del sistema. c) Calcule la fuerza de contacto entre ambos bloques. Guía de Problemas No4: : Dinámica: Rozamiento, fuerzas elásticas 2 Problema 13: Para las dos situaciones planteadas en la figura, donde la intensidad de la fuerza F es la misma en ambos casos, determinar cuál de los sistemas adquiere mayor aceleración (¿o es la misma?) si inicialmente se mueven en el sentido indicado. Datos: m1 = 10 kg, m2 = 6 kg, µd = 0.25, F = 40 N, α = 37o. Problema 14: ¿Cuánto habrá que alargar un resorte para originar una aceleración inicial de 4.9 m/s2 si la constante del resorte es de 200 N/m y el cuerpo unido al resorte tiene una masa de 4 kg? Problema 15: Un resorte de masa despreciable, cuya longitud es de 40 cm cuando está descargado, tiene un extremo unido al techo a 2.4 m del piso, y en el otro extremo está colgado un cuerpo que pesa de 120 N. a) Hallar la constante elástica del resorte si al quedar en equilibrio su longitud es de 60 cm. b) Si se eleva al cuerpo 5 cm desde su posición de equilibrio, ¿cuál es su aceleración al soltarlo? c) ¿Cuánto habría que desplazar el cuerpo hacia abajo, respecto de la posición de equilibrio, para que al soltarlo partiera con una aceleración hacia arriba de módulo igual a g? Problema 16: Los carritos A (de 4 kg) y B (de 3 kg) de la figura, permanecen en reposo sobre un riel horizontal, por el cual pueden moverse con rozamiento despreciable. Ambos están vinculados por un resorte de masa despreciable cuya constante elástica es de 300 N/m y su longitud en esas condiciones es de 0.3 m. En un instante dado, se aplica una fuerza F horizontal de 50 N sobre el carrito A. a) Hallar la aceleración inicial de cada carrito. b) Hallar la aceleración de cada carrito cuando la longitud del resorte es de 0.2 m. Problema 17: Se utiliza un resorte, cuya constante elástica es 500 N/m y su longitud sin carga es 0.3 m, para mantener en equilibrio una caja de 30 Kg sobre el plano inclinado de la figura. a) Suponiendo despreciable el rozamiento, calcular qué longitud tendrá el resorte. Si los coeficientes de rozamiento fueran µe = 0.4 y µd = 0.15, b) Hallar la máxima longitud que podrá darse al resorte sin romper el equilibrio. c) Hallar la mínima longitud del resorte que conserve el equilibrio. Guía de Problemas No4: : Dinámica: Rozamiento, fuerzas elásticas 3 Problema 18: El sistema de la figura está en equilibrio. Las masas de los bloques son m1 = 10 kg y m2 = 12 kg. Hay rozamiento entre el bloque 1 y el plano horizontal pero no lo hay entre el bloque 2 y el plano inclinado. El coeficiente de rozamiento estático es igual al dinámico y tiene un valor µe = µd = 0.20. El bloque 2 está sometido a una fuerza F cuyo módulo es de 100 N. a) Si el resorte está estirado 10 cm, determine la constante elástica del mismo y halle el valor de la tensión en la soga que une ambos bloques. b) Si se corta el resorte, encuentre el valor de la aceleración del sistema y halle cuánto vale, en este caso, la tensión en la soga. Problema 19: En el sistema mostrado en la figura, un ii) mA = 4 kg ; mB = 1 kg extremo del resorte está unido al cuerpo A y el otro iii) mA = mB extremo al piso. Se pueden despreciar las masas del resorte, de la cuerda y de la polea, así como el rozamiento en la misma. a) Determinar la intensidad de la fuerza que el resorte ejerce sobre A y la que soporta el techo, para distintos valores de las masas, en equilibrio. b) Hallar también con qué aceleración comenzará a moverse el cuerpo A en cada caso, un instante después de cortar bruscamente la cuerda en el punto C. i) mA = 4 kg ; mB = 6 kg Movimiento circular uniforme. Fuerzas gravitatorias Problema 20: Un disco fonográfico de 20 cm de radio gira a 33.33 rpm. a) Hallar su velocidad angular, la velocidad tangencial y la aceleración centrípeta en un punto del borde. b) Repetir los cálculos para otro punto situado a 10 cm del centro. Problema 21: Las ruedas de un automóvil tienen 60 cm de diámetro. Calcular con qué velocidad angular giran, cuando el automóvil marcha a 72 km/h en un camino rectilíneo, sin que resbalen. Problema 22: Un automóvil, cuyo velocímetro indica en todo instante 72 km/h, recorre el perímetro de una pista circular en un minuto. Determinar el radio de la misma. Si el automóvil tiene aceleración en algún instante, determinar su módulo, dirección y sentido. Problema 23: Un móvil recorre una circunferencia de 50 cm de radio con una frecuencia f de 10 Hz. Determinar: a) el período. b) la velocidad angular. c) su velocidad tangencial. d) su aceleración. Guía de Problemas No4: : Dinámica: Rozamiento, fuerzas elásticas 4 Problema 24: ¿Cuál es la aceleración y la fuerza centrípeta que experimenta un chico que pesa 500 N y que viaja en el borde de una calesita de 2 m de radio y que da una vuelta cada 8 segundos? Problema 25: Un satélite artificial, cuya masa es 100 kg, gira alrededor de la Tierra, dando una vuelta completa cada 90 minutos. Suponiendo que su órbita es circular, que el radio medio de la Tierra es 6360 km, y que la altura media del satélite sobre la superficie terrestre es de 280 km, determinar su velocidad tangencial, su aceleración y la fuerza gravitatoria a la que lo somete la Tierra. Problema 26: Hallar cuánto pesa un meteorito de 2 kg en el campo gravitatorio de la superficie del planeta Marte. Hallar cuánto pesa Marte en el campo gravitatorio del meteorito, en la misma posición anterior. Datos: constante universal de gravitación G = 6.67 x 10-11 N m2/kg2; masa de Marte = 6.6 x 1023 kg; radio marciano = 3380 km. Problema 27: Sabiendo que la masa de la Luna es de 7.38 x 1022 kg y el radio lunar es de 1700 km, determinar la celeración de la gravedad en la superficie de nuestro satélite. La escalerilla del módulo lunar fue diseñada para resistir una carga máxima de 400 N, ¿podrá utilizarla confiadamente un astronauta que pesó 1200 N (con su equipo) aquí en la Tierra? Problema 28: Suponiendo que el campo gravitatorio a nivel del mar tiene una intensidad de 9.8 m/s2, cuál será su intensidad en el Aconcagua a 6960 km de altura. Expresarla en porcentaje con respecto a g. Radio terrestre = 6360 km. ¿A qué altura sobre el nivel del mar deberá estar una persona de 75 kg para “reducir” su peso 10 %? Problema 29: Hallar a qué altura sobre la superficie terrestre la aceleración de la gravedad se reduce a la mitad de la que existe a nivel del mar. ¿A qué altura se hace cero? Radio terrestre = 6360 km. Problema 30: La distancia media Tierra--Sol es de 150.000.000 km. ¿Cuál es la masa aproximada del Sol, si la Tierra recorre su órbita, que puede suponerse una circunferencia, en 365 días aproximadamente? Problema 31: Se quiere poner en órbita un satélite de comunicaciones que parezca “fijo” sobre un punto del Ecuador terrestre. ¿A qué altura constante sobre la superficie de nuestro planeta deberá situarse? Radio terrestre = 6360 km. Problema 32: En un laboratorio se tiene suspendida en equilibrio una esfera de 10 kg y 12 cm de diámetro, por medio de un dispositivo a resorte muy sensible. Se lleva debajo de la misma otra esfera, de 2000 kg y 70 cm de diámetro, de modo tal que el equilibrio se establece con ambas esferas a 1 cm de distancia. Hallar la intensidad de la fuerza gravitatoria entre ambas. Si la constante elástica del resorte fuera 50 N/m, ¿qué desplazamiento sufriría la esfera de 10 kg? Guía de Problemas No4: : Dinámica: Rozamiento, fuerzas elásticas 5 Preguntas Responda si las afirmaciones siguientes son Verdaderas o Falsas justificando la respuesta. a) El sentido de la fuerza de rozamiento es opuesto al sentido del movimiento. b) El sentido de la fuerza de rozamiento dinámica se opone al sentido de la aceleración. c) La fuerza de rozamiento estática aparece aplicada sólo a cuerpos en reposo. d) La fuerza de rozamiento estática es igual a µe por la fuerza que comprime las superficies rozantes (µe N). e) El µe es siempre menor que 1 y por lo general, mayor que el µd. f) El µe de un cuerpo apoyado en un plano inclinado es igual a la tangente del ángulo de inclinación. g) La fuerza de rozamiento dinámica tiene un valor constante. h) El µe y el µd son adimensionales (no tienen unidades). i) La fuerza de rozamiento no tiene par de interacción. j) En un movimiento circular uniforme, la aceleración es nula. k) En un movimiento circular, si un cuerpo tiene el módulo de la velocidad constante, su aceleración es nula. l) Para iguales radios la aceleración centrípeta del movimiento circular uniforme de mayor velocidad tangencial es mayor. m) Para iguales frecuencias la aceleración centrípeta del movimiento circular uniforme de mayor velocidad tangencial es mayor. n) Cuando un péndulo que está oscilando alcanza una posición extrema, su aceleración centrípeta es nula. o) Cuando un péndulo que está oscilando alcanza la posición más baja, su aceleración centrípeta es nula. p) El par de interacción de la fuerza centrípeta es la fuerza centrífuga. q) Un cuerpo atado a un piolín que se hace girar en un plano vertical, puede estar animado de un movimiento circular uniforme. r) Un cuerpo atado a un piolín que se hace girar en un plano horizontal, puede estar animado de un movimiento circular uniforme. s) Al cortarse el piolín en el caso anterior el cuerpo sale despedido en la dirección del radio. t) En el punto más bajo de un movimiento pendular, la tensión es igual al peso. u) La fuerza peso y la fuerza gravitatoria son la misma. v) En el vacío no hay gravedad. w) Si Ud. pesa 600 N ello indica que Ud. atrae a la Tierra con una fuerza de 600 N. x) La gravedad en la Luna es 1/6 de la gravedad en la Tierra porque la Luna se halla lo suficientemente lejos de la Tierra. • En general, la fuerza de fricción estática entre cualquier par de superficies secas y no lubricadas: a) es mayor para superficies pulidas, b) depende de la velocidad de deslizamiento, c) es proporcional a la carga (fuerza normal), d) depende del área de contacto, e) tiene un valor constante. • El coeficiente de fricción dinámico, µd : a) es por lo general mayor que µe, b) es por lo general mayor que 1, c) iguala la fuerza aplicada que excede la fuerza estática máxima, d) carece de unidades. • Si se ata una gomita a una goma de borrar y se hace deslizar a ésta sobre una superficie medianamente rugosa , se desplaza a los saltos y no en forma suave y continua. ¿A qué se debe? • Cuando los alpinistas bajan de las montañas saben que tienen que ir dejándose caer lentamente (bajar a rapel). Para regular eso, aprietan más la soga con la mano o a la inversa, la sueltan un poco, ¿Por qué hace eso? • Se coloca una moneda sobre la plataforma de un tocadiscos. Se arranca el motor pero antes de alcanzarse la velocidad final de rotación, la moneda sale disparada. Explicar por qué sucede esto. Guía de Problemas No4: : Dinámica: Rozamiento, fuerzas elásticas 6 Curso de Preparación Universitaria: Física Guía de Problemas No5: Trabajo y Energía Cinética Problema 1: Sobre un cuerpo que se desplaza 20 m está aplicada una fuerza constante, cuya intensidad es de 500 N, que forma un ángulo θ$ con la dirección del desplazamiento. Calcular el trabajo realizado por esa fuerza para los siguientes valores del ángulo θ$. a) θ=0o, b) θ=45o, c) θ=60o, d) θ=90o, e) θ=120o, f) θ=180o. Problema 2: Tres remolcadores llevan un barco hacia su suma de los trabajos calculados en c); comparar con el dársena, tirando cada uno con una fuerza constante de 3 x resultado del inciso b). 5 10 N en un recorrido de 500 m, como se indica en la figura. Si la fuerza de rozamiento que ejerce el agua sobre el barco es de 105 N, determinar: a) La resultante de las fuerzas que actúan sobre el barco. b) El trabajo que realiza la fuerza resultante. c) El trabajo que realiza cada una de las fuerzas que actúan. d) La Problema 3[*]: Comparar las energías cinéticas de dos cuerpos, A y B, idénticos entre sí salvo en lo mencionado en cada caso: a) A se mueve en el mismo sentido que B con el doble de velocidad. b) A se mueve hacia la derecha, mientras que B lo hace hacia la izquierda, con velocidades de igual intensidad. c) A sube verticalmente, mientras que B cae, en un instante en que sus velocidades son de igual módulo. d) A describe una circunferencia, y B sigue una trayectoria rectilínea, con velocidades de igual intensidad. e) A cae verticalmente, mientras B se desliza sobre un plano inclinado, en un instante en que sus velocidades son de igual intensidad. f) Se mueven con velocidades iguales, pero la masa de A es el doble de la masa de B. Problema 4: Un balde de 15 kg de masa es levantado a una altura de 4 m mediante una fuerza vertical de 180 N. Determinar: a) el trabajo realizado por la fuerza aplicada. b) el trabajo que realiza la fuerza peso. c) la velocidad final del balde, si inicialmente estaba en reposo. Problema 5: Determinar el trabajo que realiza la fuerza que ejerce un señor sobre su portafolios, de 4 kg, en los siguientes casos que son algunas de las etapas de su viaje: a) Lo sostiene durante media hora mientras espera el colectivo. b) Corre con él 4 m, con velocidad constante horizontal, para alcanzarlo. c) Lo levanta 1.2 m al entrar al mismo. d) Lo deja en el portavalijas durante un trayecto de 6 km con aceleraciones y tramos curvos. e) Lo baja en la terminal, caminando por una rampa de 20 m de longitud, que forma un ángulo de 10º con la horizontal. f) Lo levanta verticalmente 0.5 m con aceleración constante de 1 m/s2, para atajar al perro que viene a \sl saludarlo al llegar a casa. Problema 6: Claudia pesa 600 N y viaja en una ascensor desde el 4to piso hasta planta baja. Hallar el trabajo que realiza la fuerza que hace el piso del ascensor (la normal) sobre ella, en los siguientes tramos de 4 m de longitud cada uno: a) arranque con aceleración constante de 0.5 m/s2. b) descenso con velocidad constante de 2 m/s. c) frenado con aceleración constante de 0.5 m/s2. Guía de Problemas No5: Trabajo y Energía Cinética 1 Problema 7[*]: En el gráfico de la figura se representa la velocidad de un móvil de 20 kg, en función del tiempo. Encontrar el trabajo que realiza la fuerza resultante de las que actúan sobre el mismo, para las distintas etapas de su movimiento y para el viaje total. Problema 8: Un bloque de 50 kg asciende por el plano bloque al terminar de recorrer los 2 m, si al comienzo inclinado de la figura y recorre 2 m sobre el mismo, bajo tenía una velocidad de 0.6 m/s. g) Hallar las energías la acción de una fuerza horizontal F1 aplicada de 600 N. cinéticas inicial y final del bloque. Actúa además una fuerza de rozamiento de 10 N entre el bloque y el plano. Calcular: a) El trabajo que realiza F1 $. b) El trabajo que realiza la fuerza de rozamiento. c) El trabajo que realiza la fuerza peso. d) El trabajo que realiza la fuerza de vínculo, normal al plano. e) Determinar la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre el bloque y calcular su trabajo por dos métodos distintos. f) Calcular, usando cinemática, la velocidad del Problema 9: En el gráfico de la figura representa la componente Fx de una fuerza que actúa sobre un cuerpo que se mueve sobre una recta paralela al eje x, en función de su posición. Calcular el trabajo que realiza dicha fuerza en las siguientes etapas: a) desde la posición x1 = 0 hasta x2 = 4 m. b) entre x2 = 4 m y x3 = 10 m. c) entre x1 = 0 y x3 =10 m. Problema 10: Valiéndose de consideraciones de trabajo y energía cinética, demostrar que si un conductor aplica los frenos a fondo, la distancia en que se detiene un automóvil de masa m que marcha por una carretera horizontal a velocidad v es d=v2/2µdg, donde µd es el coeficiente de rozamiento dinámico entre las gomas y el piso. ¿En qué factor se incrementa la distancia de frenado si el automóvil duplica su velocidad? Problema 11: Se empuja un carro de masa m = 20 kg sobre una superficie sin rozamiento por medio de una fuerza de 30 N durante 10 segundos. Suponiendo que inicialmente estaba en reposo: a) Calcular la potencia media desarrollada en los 10 segundos. b) Calcular la potencia instantánea a los 0, 5 y 10 segundos. Problema 12: Un automóvil de 1500 kg que parte del reposo por una pista horizontal puede alcanzar en 10 s una velocidad de 108 km/h. Si no se tuviera en cuenta el rozamiento con el aire y considerando que la aceleración es constante, graficar en función del tiempo: a) La velocidad del automóvil. b) La intensidad de la fuerza de rozamiento entre sus neumáticos y el piso. c) La potencia instantánea correspondiente. d) Hallar la potencia máxima desarrollada. Guía de Problemas No5: Trabajo y Energía Cinética 2 Problema 13: Una grúa iza verticalmente una caja de caudales de 400 kg que parte del reposo con aceleración constante durante 2 s hasta alcanzar una velocidad de 2 m/s; prosigue con ella durante 5 s para frenar luego y detenerse en otros 2 s. a) Graficar la velocidad de la caja en función del tiempo. b) Graficar la fuerza que ejerce el cable en función del tiempo. c) Graficar la potencia que desarrolla la fuerza que ejerce el cable en función del tiempo. d) A partir de este último gráfico, determinar el trabajo que realiza dicha fuerza y expresarlo en kWh. Comparar con el trabajo del peso. e) Determinar la potencia media desarrollada por el cable. f) Hallar la potencia máxima en todo el proceso. Energías potencial y mecánica. Fuerzas disipativas. Problema 14: Un velero de 1200 kg que es echado al agua, se desliza por una rampa inclinada 10o con la horizontal, con velocidad constante. a) Graficar la energía potencial y la energía cinética del velero en función de su posición sobre el plano. b) Hallar la expresión de la variación de energía mecánica que experimenta. c) Determinar la componente paralela al plano inclinado de la fuerza resultante que actúa sobre el velero. Problema 15[*]: La figura representa la ladera de una montaña por la que se desliza con rozamiento despreciable un esquiador de 80 kg. Se sabe que pasa por el punto A con una velocidad de 5 m/s y por el punto C con una velocidad de 10 m/s. Calcular la energía potencial gravitatoria, la energía cinética y la energía mecánica total en los puntos B, C, D, E, y G. Hallar la distancia qué necesitará para detenerse en la planicie horizontal si a partir de G actúa una fuerza de rozamiento cuya intensidad es de 500 N. Problema 16: Una caja de 30 kg es arrastrada en línea recta, apoyada sobre un plano horizontal, aplicándole una fuerza horizontal constante de 60 N. Determinar el coeficiente de rozamiento entre la caja y el plano, para que se desplace manteniendo constante su energía mecánica. La misma caja desciende por un plano inclinado de 37º donde el coeficiente de rozamiento es µd = 0.25. Determinar qué fuerza paralela al plano la hará moverse con energía mecánica constante. Problema 17[*]: Un bloque de 6 kg que está en reposo, se deja caer desde una altura de 5 m por una rampa curva que finaliza en un tramo recto horizontal, como muestra la figura, para el que puede despreciarse el rozamiento en todo el viaje. En la cabecera hay un resorte, inicialmente no deformado, cuya constante elástica es 15000 N/m. a) Determinar el desplazamiento máximo del extremo del resorte. b) Calcular la intensidad máxima de la fuerza que el resorte ejerce sobre la pared. c) Describir el movimiento del bloque. Guía de Problemas No5: Trabajo y Energía Cinética 3 Problema 18: Una caja de 30 kg se desliza sobre una superficie horizontal con rozamiento, cuyo coeficiente dinámico es 0.40, hasta chocar con un resorte horizontal de masa despreciable, cuya constante elástica es 7200 N/m y que se comprime 0.5 m desde su posición inicial no deformada. Calcular la velocidad con que la caja choca con el resorte, y la que tenía a 10 m antes del choque. Problema 19: Se dejan caer dos cuerpos, partiendo del reposo, desde una altura h: uno libremente y el otro por un plano inclinado con rozamiento despreciable. Hacer un esquema del problema y a partir de consideraciones energéticas demostrar que ambos cuerpos llegan al suelo con la misma velocidad. Problema 20: Un pan de jabón mojado se desliza con rozamiento despreciable dentro de una bañera vacía, siguiendo la trayectoria mostrada en la figura, de modo que pasa por el punto A con una velocidad de 2 m/s. a) Determinar con qué velocidad pasará por el punto más bajo de su trayectoria. b) Hallar a qué altura máxima llegará al otro lado. Problema 21: Un cuerpo de masa 10 kg desciende desde el punto A, partiendo del reposo por un plano inclinado de 7 m de altura y 14 m de longitud. En los primeros 10 m (tramo AB) el rozamiento es despreciable, en tanto que en los últimos 4 m (tramo BC) actúa una fuerza de rozamiento que hace que el cuerpo se mueva con velocidad constante. A partir de consideraciones energéticas, hallar: a) el coeficiente de rozamiento dinámico en el tramo BC. b) la velocidad con que el cuerpo llega a la base (punto C). c) cómo se modifican los resultados anteriores si la masa del objeto fuera la mitad. Problema 22: Un cajón de 200 kg, lanzado hacia arriba por un plano inclinado 37º con una velocidad inicial de 9 m/s, tiene aplicada una fuerza horizontal constante de 800 N. El coeficiente de rozamiento dinámico entre el cajón y el plano es µd = 0.25. a) A partir de un planteo energético, hallar qué distancia recorre sobre el plano hasta detenerse. b) Calcular la variación de energía mecánica que sufre en el ascenso. c) Hallar la potencia instantánea correspondiente a cada una de las fuerzas actuantes, en el punto de partida. d) Determinar la potencia media desarrollada por cada una de las fuerzas durante el ascenso. Guía de Problemas No5: Trabajo y Energía Cinética 4 Problema 23: Una pesa de 0.3 kg está suspendida del que la pesa dé una vuelta completa a su alrededor, sin que techo por un hilo de 1 m de longitud. Se la aparta de la el hilo se afloje en ningún momento. posición de equilibrio hasta que el hilo forme un ángulo de 37º con la vertical y se lo deja libre. Despreciando los rozamientos y la masa del hilo, determinar con qué velocidad pasará por el punto más bajo de la trayectoria, y la fuerza que soportará el hilo en ese instante. Hallar a qué distancia mínima del techo llegará al otro lado. Si se coloca un clavo horizontal, normal al plano de oscilación, a 50 cm del techo: determinar a qué altura llegará al otro lado; hallar en qué posición deberá ubicarse el clavo, para Problema 24: Un resorte de masa despreciable, inicialmente sin deformación, está fijado del techo. Se le cuelga una pesa y se la deja descender lentamente apoyado en una mano hasta que alcanza el equilibrio, observándose que el resorte se estira una cantidad d. Se parte ahora de las mismas condiciones iniciales, pero soltando la pesa con velocidad inicial nula. a) ¿Cuál es la máxima elongación que adquiere el resorte? b) ¿Cuánto es lo máximo que se comprime? c) Graficar la energía potencial en función de la posición del cuerpo. Problema 25: El coche de un ascensor, de 400 kg, está en reposo en el primer piso, a 3 m de altura sobre el extremo libre de un resorte paragolpes cuya constante elástica es 19200 N/m. En esas condiciones se rompe el cable que lo sostiene y automáticamente actúa un freno de fricción contra las guías que le aplica una fuerza vertical en sentido opuesto a su desplazamiento, cuyo módulo constante es 1600 N. Hallar: a) La velocidad del coche al llegar al extremo del resorte. b) La distancia máxima que lo comprimirá. c) La altura máxima que alcanzará luego del primer rebote. Problema 26: En el esquema de la figura se puede despreciar la masa de la cuerda y de la polea, así como todos los rozamientos. El carrito 1 tiene una masa de 80 kg y la del bloque 2 es 20 kg. a) Por consideraciones energéticas hallar con qué velocidad llegará al piso el bloque 2 si ambos parten del reposo. b) Si ahora hay rozamiento entre el carrito 1 y el plano y el coeficiente dinámico es µd = 0.16, hallar nuevamente con qué velocidad llega al piso el bloque 2 si también parten del reposo. Preguntas • Responda si las afirmaciones siguientes son Verdaderas o Falsas justificando la respuesta. a) Para elevar un objeto se hace trabajo de signo opuesto al que se hace cuando se lo baja. Guía de Problemas No5: Trabajo y Energía Cinética 5 b) Siempre que aumenta la energía cinética de un cuerpo, disminuye su energía potencial. c) El trabajo de las fuerzas no conservativas es siempre negativo. d) Cuando se comprime un resorte a partir de su estado neutro su energía elástica aumenta, y cuando se lo estira disminuye. e) A veces el trabajo de la fuerza de rozamiento es positivo. f) En la oscilación de un péndulo, la tensión del hilo no trabaja. g) Cuanto mayor sea la pendiente de un plano inclinado sin rozamiento, mayor será la velocidad final que adquiera un cuerpo al que se lo suelta y desciende diez metros de altura. h) En el movimiento circular la fuerza centrípeta no trabaja. i) La energía cinética de un péndulo ideal se conserva mientras el péndulo oscila. j) Las fuerzas perpendiculares a las superficies de apoyo (normal) son fuerzas conservativas. k) Es posible que el trabajo realizado por una sola de las fuerzas aplicadas sobre un cuerpo sea mayor que la variación de su energía cinética. • Dos cajas idénticas se mueven distancias iguales, rectas y horizontales. La caja A experimenta una fuerza neta constante F en un ángulo θ con la horizontal y la caja B experimenta una fuerza neta constante de 2F aplicada en un águlo de 2θ con la horizontal. Entonces: a) se hace más trabajo sobre A que sobre B, b) se hace más trabajo sobre B que sobre A, c) se hace la misma cantidad de trabajo sobre cada caja, d) no se puede determinar sobre cuál caja se hace más trabajo a partir de los datos dados. • El trabajo realizado por una fuerza variable de la forma F = kx es igual a: kx2, b) kx, c) el área bajo la curva F versus x, d) ninguno de éstos. • Si se comprime un resorte 2.0 cm de su posición de equilibrio y luego 4.0 cm adicionales, ¿cuánto trabajo más se realiza en la segunda compresión que en la primera?: a) la misma cantidad, b) el doble, c) cuatro veces más, d) ocho veces más. • El trabajo es: a) siempre negativo, b) una medida de transferencia de energía, c) siempre igual al cambio de energía cinética, d) todo lo precedente. • ¿Cuál de los siguientes objetos tiene la mayor energía cinética: a) un objeto de masa 4m y velocidad v; b) un objeto de masa 3m y velocidad 2v; c) un objeto de masa 2m y velocidad 3v; d) un objeto de masa m y velocidad 4v? • Si una fuerza no conservativa actúa sobre un objeto a) su energía cinética siempre es mayor que su energía potencial, b) se conserva la energía mecánica, c) siempre se conserva su energía cinética, d) se conserva la energía total. Guía de Problemas No5: Trabajo y Energía Cinética 6 • Dos cuerpos de masas desiguales tienen la misma energía cinética y se mueven en la misma dirección y sentido. Si se aplica la misma fuerza de frenado a ambos, ¿cómo serán en comparación las distancias que recorren hasta detenerse? • Dada la siguiente situación inicial, analizar las siguientes afirmaciones: a) Si en el plano inclinado no hay rozamiento el tiempo de subida es igual al de bajada. b) Si en el plano inclinado no hay rozamiento la velocidad en A, vA, a la ida es la misma que a la vuelta. c) Si hay rozamiento en el plano inclinado el tiempo de subida es igual al de bajada. d) Si hay rozamiento en el plano inclinado la velocidad en A, vA, a la ida es la misma que a la vuelta. e) Si hay rozamiento, dependiendo de los valores del coeficiente de rozamiento, el cuerpo puede no bajar. • Un cuerpo desliza cuesta abajo con velocidad constante en una pendiente. Represente gráficamente la energía cinética, potencial y mecánica en función del tiempo. Guía de Problemas No5: Trabajo y Energía Cinética 7 Respuestas a la Guía de Problemas No1: Cinemática Movimientos en general 1) 2) 5) 7) Si, cuando la posición final coincide con la inicial en una trayectoria cerrada, en general vale: ∆r ≤ ∆s donde ∆s es la longitud medida en la trayectoria. = 1 m/s 3) = 2 hs 51 min 4) = 112,5 Km/h , Si 16 = 9,4608 x 10 m ≅ 95 billones de Km 6) = 2040 m ≅ 2 Km No, se comete un error de 2 mm que es despreciable comparado con 2 Km No, en general vale: Vm ≤ Vep que se deduce de la desigualdad dada en 1) dividiendo por ∆t en ambos miembros. 8) a. = 105 Km/h b. = 0 9) a. = 2 m/s , = 2 m/s i b. = 1,9 m/s , = 0,95 m/s i c. = 2,5 m/s , =0 10) a. = 5,4 Km/h i , 4,11 Km/h j b. = 4,58 Km/h c. = 0 , = 5,4 Km/h 11) a. rM = 0 , rA = 160 Km i +120 Km j , rB = −90 Km j b. ∆r = −160 Km i −210 Km j c. Vm = −80 Km/h i −105Km/h j , Vm = 132 Km/h d. B → M) = 60 Km/h j , M → A) = 96 Km/h i + 72 Km/h j , A → A) = 0 12) Todas verdaderas salvo la g) 13) De elaboración personal. 15) a. De elaboración personal b. = 153,5 m c. = − 49,5 m , = − 4,95 m / s 17) a. = 0,9 m/s b. = 1,3 m/s c. = 1,8 m/s d. = 2 m/s e. = 2,8 m/s (dibujar la recta tangente a la curva en el punto que corresponde a t = 1s y medir la pendiente de la recta) las respuestas son valores aproximados. = −2,75 m / s , = 0 , = 1 m/s 18) a. = 1 m/s , = 0 , = 1,3 m/s , b. = 1 m/s , = 0 , No se puede calcular , = −2,75 m / s Movimiento rectilineo uniforme Gráfico: de elaboración personal. ∆x = −14 m entre 1s y 2s , ∆x = −28 m entre 3s y 5s Vm = −14 m / s entre 1s y 2s , Vm = −14 m / s entre 3s y 5s (la velocidad media es constante para todo intervalo de tiempo) x ( t ) = ( 3m / s) t + 6m t = −2 s 16) Gráfico 1 Gráfico 2 x ( t ) = ( 4m / s) t − 8m t = 2s Gráfico 3 x ( t ) = (−2m / s) t + 20m t = 10 s 19) a. = 20 m/s i , = 72 Km/h , x ( t ) = ( 20m / s) t − 100m b. = 7 s c. = 460 m d. x (m) v (m/s) Cartel 500 14) 20 40 −100 Arbol 5 7 t (s) t (s) 30 1 (eligiendo t = 0 cuando el auto se encuentra e. x ( t ) = (−20m / s) t + 500m a 500 m a la derecha de Juan) 20) a. = 155 Km b. Velocidad media: Vm = ∆r / ∆t = 31 Km/h i Velocidad escalar promedio:Vep = ∆s / ∆t = 31 Km/h Observar que el promedio de velocidades es distinto: VP = (V1+V2)/2= 32,5 Km/h x ( t ) = ( 25Km / h) t si 0 < t < 3h c. x (t ) = (40 Km / h)( t − 3h) + 75Km si 3h < t < 5h v (t) = 25 Km/h si 0 < t < 3h v (t) = 40 Km/h si 3h < t < 5h d. Gráficos: x (Km) v (Km/h) 155 40 75 25 t (h) 21) de t (h) 3 5 3 5 a. = 15:06 h , = 360 m b. Gráfico: (eligiendo como origen del sistema de referencia la posición inicial Alberto y tiempo t = 0 a las 15:00 hs) x (m) El punto donde se cortan las dos rectas se interpreta como el que determina la posición y el tiempo de encuentro de Alberto y Diana. 900 Alberto 540 Diana 6 22) 10 t (min) 15 a. = 16:39 hs , =540m b. Gráfico: (eligiendo como origen de tiempos las 16:00 hs) x (m) 900 Alberto Diana 360 t (min) 5 23) 24) 9 15 Velocidad constante: 59,8 Km/h = 4 m/s , = 6 m/s (si requieren 10 s para accionar el cambio de vías) 2 Gráficos: x (m) v (m/s) Tren 200 Zorra 100 10 4 Zorra t (s) 10 −100 t (s) 20 30 Tren −200 25) a. b. x1 (t ) = (4 ,5m / s) t = 12,50 s , x2 (t ) = ( −3,5m / s) t + 100m c. = 56,25 m , d. Gráfico: x (m) 100 Corredor 1 56,25 Corredor 2 t (s) 10 20 12,50 26) a. x1 (t ) = (80Km / h) t b. =5h, x2 (t ) = (100Km / h) ( t − 1h) c. = 400 Km , d. Gráfico: x (Km) 400 T1 T2 1 t (h) 5 3 Respuestas a la Guía de Problemas No2: Cinemática Movimiento uniformemente variado 1) 2) 3) m/s2 4) 5) 6) m Aceleración: = 1,39 m/s2 Aceleración de frenado: = −3,33 m/s2 a. Aceleración: = 7,41 m/s2 b. Módulo de la velocidad media: = 25 a. d. a. c. a. b. v (t) = 5,25 m/s2 t b. v (7 s) = 36,75 m/s c. x (t) = 2,625 m/s2 t2 x (7 s) = 129 m Aceleración = 4 m/s2 b. Velocidad = 432 Km/h De elaboración personal (recta por el origen). Velocidad máxima: 14 m/s Desplazamiento durante el primer segundo: ∆ x = x (1 s) - x (0 s) = 1,75 m Desplazamiento durante el último segundo: ∆ x = x (4 s) - x (3 s) = 12,2 Aceleración de frenado: −1,75 m/s2 Desplazamiento durante el primer segundo: ≅ 13 m Desplazamiento durante el último segundo: ≅ 0,87 m Sugerencia: escribir la ecuación de x (t) para cada etapa. Distancia entre la boya y el barco: = 86 m a. a1 = 0 , a2 = 2 m/s2 , a3 = 2 m/s2 , a4 = −4 m/s2 Gráficos: rectas horizontales de ordenada igual a la aceleración. b. El desplazamiento correspondiente a dicho intervalo de tiempo. ∆ x1 = 12 m , ∆ x2 = 27 m , ∆ x3 = 3 m , ∆ x4 = −6 m c. 1: v (t) = 4 m/s x (t) = 4m/s t 2 2: v (t) = 2 m/s + 2m/s t x (t) = 2m/s t + 1 m/s2 t2 3: v (t) = −6m/s + 2 m/s2 t x (t) = −6m/s t + 1 m/s2 t2 2 4: v (t) = 12 m/s −4m/s t x (t) = 12 m/s t −2 m/s2 t2 d. t x1 (t) x2 (t) x3 (t) x4 (t) 1s 4m 3m −5 m 10m 4s 16m 24m −8 m 16m 5s 20m 35m −5 m 10m 7s 28m 63m 7m −14 m c. 7) 8) 9) 10) 11) Gráficos x (t) de elaboración personal (son parábolas salvo el primer caso) 4: 8 m/s e. 1: 4 m/s 2: 4 m/s 3: −4m/s f. La variación de velocidad correspondiente a dicho intervalo de tiempo. ∆ v1 = 0 , ∆ v2 = 6 m/s , ∆ v3 = 6 m/s , ∆ v4 = −12 m/s g. De elaboración personal. Aceleración: 2,1 m/s2 Distancia: 15,2 m Intervalo de tiempo: 9,5 s Aceleración de frenado: −2,83 m/s2 Recorre 16,7 m más allá de la posición anterior. a. Componente x de la velocidad media: 0 (AB), 3 m/s (BC), 1 m/s (CD), −2 m/s (DE), ( −5 / 3) m/s (EF), 0 (FG), 0,1 m/s (BG) b. Tramos BC y EF c. Velocidad nula. 4 12) 13) No se detendrá antes de los 40 m. Recorre = 47 m en 3,5 s hasta detenerse. a. Se detiene a 6300 m ≅ 6 Km del lugar de partida. b. x (m) 6,3 5,4 1,8 t (s) 60 120 150 c. v (m/s) 60 t (s) 60 120 150 a (m/s2) 1 t (s) 120 150 60 −2 14) a. Aceleración en cada etapa: a (m/s2) a1 = 5 m/s2 a2 = −1,3 m/s2 5 2 5 10 t (s) −1,3 b. 1: x (t) = 2,5 m/s2 t2 2: x (t) =10 m + 10 m/s (t −2s) - 0,7 m/s2 (t −2s)2 3: x (t) = 34 m + 6 m/s (t −5s) x (m) 64 34 10 t (s) 2 5 10 5 a3 = 0 m/s2 1: x (2s) = 10 m 2: ∆ x = x (5s) − x (2s) = 24 m 3: ∆ x = x (10s) −x (5s) = 30 m Velocidad media: 6,4 m/s 1: v (t) = 4 m/s2 t 2: v (t) = 20 m/s 3: v (t) = 20 m/s −5 m/s2 (t −9s) Gráfico: De elaboración personal. 1: x (t) = 2 m/s2 t 2: x (t) = 50 m + 20 m/s (t −5s) 3: x (t) =130 m + 20 m/s (t −9s) −2,5 m/s2 (t −9s)2 Gráfico: De elaboración personal. Lo alcanzará en 90 s A una distancia de 3240 m ≅ 3 Km del puesto caminero. c. 15) d. a. b. 16) a. b. c. x (m) Automóvil 3240 Motocicleta 160 t (s) 5 13 (dibujo fuera de escala) 90 v (m/s) 40 36 Motocicleta Automóvil t (s) 5 17) a. b. c. 13 = 8,4 s = 26,5 m Velocidad del auto: = 37 m/s , x (m) 157 26,5 t (s) 8,4 v (m/s) 37 31 t (s) 8,4 6 Velocidad del camión: = 31 m/s Caída libre y Tiro vertical 18) 19) a. b. a. b. Velocidad: 115 m/s , Distancia: 650 m Velocidad: 85 m/s , Distancia: 350 m Altura máxima (medida desde el piso): 135 m Altura del edificio: 128 m c. Llega al piso con una velocidad de: −52 m/s 20) La distancia entre ellos será de 18 m a los 9 s 21) Distancia AB: 175 m 22) Profundidad del pozo: 178,5 m (Sugerencia: plantear las dos ecuaciones de la profundidad del pozo en función de los tiempos correspondientes y usar que su suma es igual a 6,5 s luego resolver el sistema de tres ecuaciones reduciendo a una ecuación cuadrática) 23) a. Tiempo de caída en el aire: 0,6 s b. Llegó a la superficie del agua con una velocidad de: 8 m/s c. Profundidad del estanque: 26 m d. Llegó al fondo del estanque con una velocidad de: 18 m/s 24) Al cabo de 7,5 s 25) Se encontrarán a 120 m de altura en 6 s. La primera piedra lanzada tendrá una velocidad: −10 m/s y la segunda: 10 m/s x (m) 120 t (s) 2 26) a. 5 6 7 x (Km) Avión Proyectil 30 t (s) y (Km) 100 Proyectil 32 20 Avión t (s) 80 b. Transcurre 100 s c. La bateria debe esperar 69 s y (Km) Proyectil 32 Avión 20 t (s) 69 100 149 7 Movimiento en dos dimensiones. Tiro oblicuo 27) a. b. c. d. e. f. g. r (2s) = 80 m i + 40 m j r (5s) = 200 m i + 25 m j r (9s) = 360 m i −135 m j ∆ r = 120 m i −15 m j , ∆ r = 160 m i −160 m j Vx = 40 m/s para todo t Vy (2s)= 10 m/s , Vy (5s)= - 20 m/s , Vy (9s)= −60 m/s Vm = 40 m/s i −40 m/s j Vm = 40 m/s i −5 m/s j , En el instante t = 6 s , r (6s) = 240 m i , V (6s)= 40 m/s i −30 m/s j En el instante t = 3 s , V (6s)= 40 m/s i Ecuación de la trayectoria: Y = ( −0,003 m-1 ) X2 + 0,75 X 8 28) De elaboración personal. Tienen el mismo alcance de 240 m pero no se encuentran nuevamente si parten simultáneamente, alcanzan el mismo nivel de partida (y = 0) a los 6 s y a los 8 s respectivamente. En general se prueba que dos proyectiles que parten del origen tienen el mismo alcance siempre que los ángulos sean complementarios: θ 1 + θ 2 = 900 29) a. Altura de la torre: 65 m b. Caen al piso a 80 m c. Altura máxima medida desde el piso: 72,2 m d. Caen al piso con una velocidad de: 41,2 m/s , (V = 16 m/s i −38 m/s j ) 30) a. A una altura de: 9 m 360 b. Con una velocidad de: 13 m/s , (V = 5 m/s i −12 m/s j ) c. Ecuación de la trayectoria: Y = ( −0,2 m-1 ) X2V(5s) +9m 31) a. Tiempo de vuelo hasta la red: 0,5 s Esquema: b. Velocidad inicial de 16 m/s c. A d = 2,4 m más allá de la red. 32) Velocidad en el punto A: 4,8 m/s , (V = 4,3 m/s i −2,2 m/s j ) Desnivel entre A y B: 7,5 m. Velocidad en B: 13 m/s 33) a. La velocidad tiene que estar comprendida entre 5 m/s y 6 m/s b. Cae al suelo. Justificación: No entra en el cesto pues la velocidad con que es lanzado el bollo de papel es menor que 5 m/s y X = 1,2 m > 1m: ancho del escritorio para Y = 0,75 m a los 0,3 s 34) a. Componentes de la velocidad: V0x = 0,75 m/s , V0y = 8 m/s b. Velocidad en el punto más alto: 0,75 m/s c. Cada 0,45 s = (1,6s + 0,2 s)/4 segundos, si el intervalo de tiempo entre pasaje de platos se considera constante y 1,6 s es el tiempo de vuelo de cada plato. 35) Alcanza la pelota si corre a: 7,32 m/s 36) Si, convierte el penal. Altura alcanzada por la pelota: 9,26 m 9 Respuestas a la Guía de Problemas No3: Dinámica Leyes de Newton 1) 2) Componentes de la tercer fuerza: Fx = −1N , Fy = 2,5 N Las componentes de la fuerza sobre el poste: T x ≅ 287 N , T y ≅ 410N 3) a. F1x = 12,62 N , F2x = −16,31 N , F3x = 6,76 N , F1y = 18,02 N F2y = −7 ,61 N F3y = −14 ,50 N b. ∑ F = 3,08 N , x ∑ F = −4 ,09 N y d. Módulo: R ≅ 5 N , 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) c. R ≅ 3 N i −4 N j Dirección: θ ≅ 530 Módulos: R1 = 22 N , R2 = 9,4 N , R3 = 37 N θ 2 = 730 , θ 3 = 380 Direcciones: θ 1 = 250 , De elaboración personal (la fuerza peso es equilibrada por la fuerza de resistencia del aire) (b) T1 = T2 = 400 N (a) T1 = T2 ≅ 261N (c) T1 = 200 N , T2 = 346 N (d) T1 = 400 N , T2 = 566 N Peso: ≅ 1333 N Tensión: 2790 N Peso en Marte: 258,4 N ≅ 26 Kgf a. Aceleración: ≅ 0,2 m/s2 b. La misma aceleración anterior, pues la fuerza y la masa son las mismas. a. Módulo de la fuerza de rozamiento: fr = 8000 N Dirección: contraria a la de movimiento. b. fr = 10000 N. Dirección: contraria a la de movimiento. Masa del carrito con carga: 120 Kg Nueva aceleración del carrito: 15 m/s2 13) N N1* N* PC N1 N2* N2 PM* PM PC* Centro de la Tierra En lo siguiente las fuerzas indicadas con * son los pares de reacción a las correspondientes no indicadas con * N2* N2 PM N F F* N1 PC N1* N* PC* PM* Centro de la Tierra 10 14) 15) 16) 17) a. b. a. b. a. b. c. d. a. FA Aceleración del bloque: 1,5 m/s2 La fuerza que el piso ejerce al bloque es la fuerza normal: ≅ 51 N Aceleración de los bloques: 1 m/s2 Fuerza de contacto: 1 N Si la fuerza se aplica al bloque 2, la fuerza de contacto cambia y vale: 2 N a = 6 m/s2 , T = 32 N (+:hacia arriba) a=0, T = 20 N a = −4 m/s2 , T = 12 N 2 a = g = −10 m/s , T=0 Diagramas de cuerpo libre para el bloque A y el bloque B: NA NB T FB -T PB PA Segunda Ley de Newton para cada bloque (+: derecha y arriba): BloqueA Componente en X: T −FA cos 300 = mA a Componente en Y: NA + FA sen 300 − mA g = 0 Bloque B Componente en X: FB − T = mB a Componente en Y: NB − mB g = 0 c. Aceleración del sistema: ≅ −4 ,6 m/s2 (el signo negativo indica que hay para cada bloque una fuerza neta hacia la izquierda) d. Tensión de la soga: ≅ 122,8 N a. De elaboración personal (aplicar la segunda ley de Newton para los bloques 1 y 2 y calcular la aceleración del sistema eliminando la tensión) b. Aceleración de la gravedad en Norc: 7,6 m/s2 De elaboración personal (reemplazar el valor de a, calculado en el problema anterior, en la ecuación de Newton para uno de los bloques y despejar T) Aceleración de los bloques: 1,43m/s2 Tensión de la cuerda: 1,71 N F T1 * b. 18) 19) 20) 21) F* T1 T1 Cuerda T2 T2 T2 * P1 P2* P1* Centro de la Tierra 11 P2 T1 = T2 = T Condición de cuerda de masa despreciable 22) a. b. c. Masa del bloque B: 40 Kg Tensión de la cuerda: 200 N NA* F NA NB T NB* -T PA* PB PA PB* -T* T* 23) 24) 25) 26) Cuerda Centro de la Tierra a. Intensidad de la fuerza (v = const.): 200 N b. Tensión en la cuerda: 600N c. Intensidad de la fuerza (a = 2m/s2): 400 N , Tensión en la cuerda: 720 N d. Si se deja de aplicar la fuerza F la tensión que soporta la cuerda es: 480 N y la aceleración del sistema es de −2 m/s2 (con sentido contrario a la fuerza F) a. Aceleración: −2 ,2 m/s2 (con sentido contrario al de movimiento, es decir el sistema se está frenando) y la tensión en la cuerda: 288 N b. aA = −7 ,1 m/s2 , aB = 5 m/s2 c. De elaboración personal. a. N = 700 N (en todos los casos la fuerza que ejerce el piso sobre la persona es la fuerza de contacto, fuerza normal N) b. N = 736,75 N c. N = 663,25 N d. N = 700 N e. N = 700 N f. N = 0 a. T T N* P N 27) 28) PA b. Tensión en las cuerdas: TA = TB = 600 N , TC = 1200 N c. Fuerza sobre los pies del pintor: fuerza normal N = 200 N d. Aumenta el peso del andamio de 400 N a 900 N y como es mayor que el peso del pintor, entonces resulta que no hay fuerza de contacto entre el andamio y el pintor, éste se despega del andamio y se mueve hacia arriba tirado por el cable. a. Tensión en la cuerda: 180 N b. Masa del bloque B: 25,7 Kg c. Masa del bloque B en otro caso: 28,2 Kg d. No es posible pues la aceleración del sistema en ese caso es mayor que g e. Se recorre una distancia de 0,94 m a. m1 = 4 Kg b. v = 4 m/s c. h = 4m d. Fuerza que soporta el techo: 96 N e. De elaboración personal f. De elaboración personal Los resultados de los problemas deben servir para el control del alumno de sus propios resultados. En ningún caso reemplazan al planteo del problema, que debe ser de elaboración propia del alumno. 12 Respuestas a la Guía de Problemas No4: Dinámica Rozamiento, fuerzas elásticas 1) Fuerza horizontal: 395 N µ e = 0,78 , µ d = 0,56 2) Coeficientes de rozamiento: 3) a. Fuerza neta: Cero , b. Fuerza neta: 95 N 4) Mínima distancia de frenado: 75 m , si bloquea las ruedas: 150 m 5) µ e mínimo = 1,1 6) a. Tensión en la cuerda: 318 N , b. Aceleración inicial: 1,3 m/s2 7) Coeficiente de rozamiento: µ d = 0,75 Sugerencia: usar que la aceleración del trozo de hielo con rozamiento se reduce a 4 veces al valor sin rozamiento (obtener primero este resultado sin necesidad de calcular la aceleración) 8) a. µ e = 0,6 , µ d = 0,2 b. α max = 310 , aceleración: 3,43 m/s2 c. Masa: 0,4 Kg 9) a. Tensión de las varillas: 1,3 N , b. Aceleración: 3,7 m/s2 , c. No es posible que m1 tire de m2 si el sistema de bloques desciende. Resolver en caso contrario. 10) a. Fuerza horizontal máxima: 27 N , b. Aceleración: 3 m/s2 11) a. Peso mínimo del bloque C: 66 N , b. Aceleración del bloque A: 2,33 m/s2 12) a. Diagramas de cuerpo libre: N1 F N2 fc frd -fc P2 Bloque 2 Bloque 1 P1 2 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) b. Aceleración del sistema: 4,74 m/s (hacia arriba, el sistema se acelera) c. Fuerza de contacto: 185 N El caso A tiene mayor aceleración. ∆x = 9,8 cm a. k = 600 N/m b. a = 2,5 m/s2 c. ∆ x = 0,4 m a. aA = 12,5 m/s2 , aB = 0 b. aA = 5 m/s2 , aB = 10 m/s2 Longitudes: a. = 66 cm b. = 85,2 cm c. = 46,8 cm a. k = 200 N/m , T = 40 N b. a = 0,91 m/s2 , T = 29,1 N 2 a. FR = 20 N , FT = 120 N , a0 = 15 m/s a0 = 2,5 m/s2 ,(resorte comprimido) b. FR = −30 N , FT = 20 N , c. FR = 0 N , FT = 2 mA g , a0 = g = 10 m/s2 Movimiento circular uniforme. Fuerzas Gravitatórias 20) 21) 22) 23) a. ω = 3,5 1/s , VT = 0,7 m/s , aC = 2,4 m/s2 b. ω = 3,5 1/s , VT = 0,35 m/s , aC = 1,22 m/s2 Velocidad angular: ω = 66,7 1/s R = 191 m , aC = 2,09 m/s2 a. Período: 0,1 s b. Velocidad angular: 62,831/s c. Velocidad tangencial: 31,41 m/s d. Aceleración centrípeta: 1973 m/s2 1 29) Aceleración centrípeta: 1,23 m/s2 , Fuerza centrípeta: 61,68 N (radial hacia el centro) Velocidad tangencial: 7,73 Km/s , Aceleración centrípeta: 9 m/s2 Fuerza gravitatoria: 900 N Ambos cuerpos pesan aproximadamente: 7,71 N Gravedad en la Luna: 1,70 m/s2 Si, peso del astronauta con su equipo en la Luna: 204 N < 400N Intensidad de la gravedad: 9,78 m/s2 , aproximadamente 99,8 % g(h=0) Reduce su peso a un 10% a 344Km de altura. Altura: H = ( 2 − 1) RT ≅ 2634 Km , la gravedad no se anula a ninguna altura. 30) 31) Masa del Sol: ≅ 2 × 1030 Kg Altura aproximada: 35890 Km , usando g = 9,8 m/s2 24) 25) 26) 27) 28) 32) Módulo de la fuerza gravitatoria: 7 ,56 × 10−6 N Desplazamiento: 1,5 × 10−7 m = 0,15µ m (donde 1 micrómetro = 1 µ m = 10−6 m ) Respuestas a la Guía de Problemas No5 Trabajo y Energía Cinética 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) Trabajo realizado por la fuerza: a. L = 10000 J b. L = 7071 J c. L = 5000 J d. L = 0 e. L = −5000 J f. L = −10000 J a. Fuerza resultante: R = 6,8 × 105 N i c. Trabajo de cada fuerza: b. Trabajo de R: 3,4 × 108 J LR1 = 1,2 × 108 J ; LR2 = 1,5 × 108 J ; LR3 = 1,2 × 108 J ; Lfr = −5 × 107 J d. Igual resultado que en b. (debido al principio de superposición) a. La energía cinética de A es cuatro veces la de B. b, c, d, e. Tienen igual energía cinética. f. A tiene el doble de energía cinética que B. a. Trabajo de la fuerza F: 720 N b. Trabajo de la fuerza peso: −600 J c. Módulo de su velocidad final: 4 m/s a, b, d. El trabajo es nulo. c. Trabajo: 48 J e. Trabajo: −139 J f. Trabajo: 22 J a. Trabajo en el arranque: −2280 J b. Trabajo en el movimiento uniforme: −2400 J c. Trabajo en el frenado: −2520 J L (0s,3s) = 360 J , L (3s,8s) = 0 , L (8s,11s) = −360 J , L (11s,13s) = 160 J Trabajo total: 160 J a. Trabajo realizado por F1: 960 J b. Trabajo realizado por la fuerza de rozamiento: −200 J c. Trabajo realizado por la fuerza peso: −600 J d. Trabajo realizado por la fuerza normal: 0 e. Fuerza resultante: 80 N paralela al plano hacia arriba. Trabajo: 160 J f. Velocidad: 2,6 m/s g. Energía cinética inicial: 9 J. Energía cinética final: 169 J L (0m,4m) = 180 J , L (4m,10m) = 90 J , L (0m,10m) = 270 J De elaboración personal. La distancia se cuadruplica. a. Potencia media durante 10 s: 225 watt b. Potencia instantánea a los 0 s: 0, a los 5 s: 225 watt, a los 10 s: 450 watt 2 12) a. b. v (m/s) F (N) 30 4500 t(s) t(s) 10 P (Kw) c. 10 d. Potencia máxima: 135 Kw 135 v (m/s) 13) a. t(s) F (N) 10 b. 4400 4000 3600 2 t(s) t(s) 2 c. 7 2 9 P (Kw) 7 d. Trabajo total: 56000 J = 0,0155 Kwh , Trabajo del peso: −56000 J e. Potencia media: 6222 watt f. Potencia máxima: 8800 watt 8,8 8 7,2 t(s) 2 7 9 Energías potencial y mecánica. Fuerzas disipativas 14) a. b. ∆ Em = −(2084 N)⋅x c. La componente de la fuerza resultante es nula E EC EP x 15) PUNTO A B C D E G 16) 9 EC (Joule) 1000 5600 4000 8800 5600 7200 EP (Joule) 10200 5600 7200 2400 5600 4000 Em (Joule) 11200 11200 11200 11200 11200 11200 Coeficiente de rozamiento: 0,2 Habrá que empujarla con una fuerza de 60 N de intensidad hacia abajo. 3 17) 18) a. Se desplaza 20 cm b. Transmite una fuerza de 3000 N Velocidad en el instante de choque con el resorte: 8 m/s Velocidad a 10 m de la posición de choque: 12 m/s 19) Exprese las energías mecánicas de cada caso y obtenga v f = 20) a. Pasará por B moviéndose a 4m/s b. Llegará hasta la línea punteada como máximo. a. Coeficiente de rozamiento dinámico: 0,577 b. Módulo de la velocidad en C: 10 m/s c. No se modificarían. Justifique. a. Recorre 7,5 m hasta detenerse. b. Variación de la energía mecánica: 900 J c. Potencia instantánea en el punto de partida: de la fuerza F: 5760 watt , de la fuerza peso: −10800 watt , de la fuerza de rozamiento: −4680 watt , de la fuerza normal: 0 Velocidad máxima: 2 m/s. Fuerza sobre el cable: 4,2 N. Mínima distancia al techo: 80 cm. Llegará hasta la misma altura que la de partida. El clavo deberá colocarse a 92 cm del techo. 21) x22) 23) 24) 2g h a. Máxima elongación: ∆x = 2d abajo de la posición del resorte sin deformación. b. No se comprime. c. EP (h) -2d Energía potencial = EPgravitatoria +EPelástica = mgh + kh2/2 ecuación de una parábola como función de h (eligiendo como energía potencial gravitatoria nula la posición del resorte sin deformación) La condición de equilibrio de fuerzas es k d = m g. Con este sistema de referencia la energía mecánica es nula en todo momento, entonces: Em = mgh + kh2/2+mv2/2 = 0 h -d 0 -(1/2)kd2 25) 26) a. Llegará moviéndose a 6m/s. b. El resorte se acortará 1 m como máximo. c. Llegará hasta 71,4 cm de altura máxima desde la posición del resorte sin deformación. Velocidad del bloque 2 al llegar al piso: a. sin rozamiento: 2 m/s b. con rozamiento: 1,2 m/s 4