Unidad 4 Ondas Mecánicas 1 Ondas Mecánicas Definición. Una onda es una perturbación de alguna propiedad que se propaga en el espacio sin transporte de materia e implicando un transporte de energía. Ejemplo: densidad, presión, campo eléctrico o magnético. El espacio perturbado puede contener materia (aire, agua, etc.) o no (vacío). Clasificación Ondas mecánicas: necesitan un medio elástico (sólido, líquido o gaseoso) para propagarse. Ondas electromagnéticas: se propagan por el espacio sin necesidad de un medio, por lo tanto pueden propagarse en el vacío. Ondas gravitacionales: son perturbaciones que alteran la geometría misma del espacio-tiempo Física Básica II Unidad 4 2 1 Ondas Mecánicas Tipos de Ondas Mecánicas Transversales. Los desplazamientos del medio son perpendiculares al movimiento de la onda. Física Básica II Unidad 4 3 Ondas Mecánicas Longitudinales. Los desplazamientos del medio están en la misma línea del movimiento de la onda. Física Básica II Unidad 4 4 2 Ondas Mecánicas Física Básica II Unidad 4 5 Ondas Mecánicas Elementos de una onda A: amplitud; [A] = m T: periodo; [T] = s λ: longitud de onda; [λ] = m En general: Física Básica II Unidad 4 y  y ( x, t ) 6 3 Ondas Mecánicas Ondas viajeras Si a  vt se obtiene una onda viajera ξ ( x, t )  f ( x  vt ) Física Básica II Unidad 4 7 Ondas Mecánicas ξ ( x, t )  f ( x  vt ) Física Básica II Unidad 4 ξ ( x, t )  f ( x  vt ) 8 4 Ondas Mecánicas Para una función f (x,t) armónica (onda armónica): y ( x, t )  A cos[ k ( x  vt )] x x Reemplazando: 2π k y ( x, t )  A cos[ k ( x  2π  vt )] k y ( x, t )  A cos[ k ( x  vt )  2π )] y ( x, t )  A cos[ k ( x  vt )] Entonces: x  x  λ periodicidad espacial λ 2π k Física Básica II Unidad 4 9 Ondas Mecánicas k Así: 2π λ k: número de onda periodo espacial y ( x, t )  A cos[ k ( x  vt )] Recordando que: y (t )  A cos(ωt ) y ( x, t )  A cos( kx  ωt  φ ) donde: Dado que: Física Básica II Unidad 4 ω  kv ω  2πf vλ f Velocidad de la onda 10 5 Ondas Mecánicas kx  ωt La cantidad: Para un instante especifico: fase de la onda kx  ωt  ctte dx ω  v dt k v se denomina también velocidad de fase. Física Básica II Unidad 4 11 Ondas Mecánicas Velocidad y aceleración transversales de una onda y ( x, t )  A cos( kx  ωt ) v y ( x, t )  y ( x, t ) t v y ( x, t )  ωA sin( kx  ωt ) a y ( x, t )   2 y ( x, t ) t 2 a y ( x, t )  ω 2 A cos( kx  ωt ) a y ( x, t )  ω 2 y ( x, t ) Física Básica II Unidad 4 12 6 Ondas Mecánicas Derivando con respecto a la posición: y ( x, t )  A cos( kx  ωt ) y ( x, t )   kA sin( kx  ωt ) x  2 y ( x, t )   k 2 A cos( kx  ωt ) 2 x  2 y ( x, t )   k 2 y ( x, t ) 2 x Ya que:  2 y ( x, t )  ω 2 y ( x, t ) a y ( x, t )  2 t Física Básica II Unidad 4 13 Ondas Mecánicas  2 y ( x, t ) ω2 t 2  v2   2 y ( x, t ) k 2 x 2 Ecuación de Onda: Física Básica II Unidad 4  2 y ( x, t ) 1  2 y ( x, t )  2 x 2 t 2 v 14 7 Ondas Mecánicas Rapidez de una onda transversal F Fy Por semejanza de triángulos: F  v yt Fy vt F  vy v Física Básica II Unidad 4 15 Ondas Mecánicas Fy  Análisis del impulso transversal: Impulso: p y t I  Fy t  p y Fy t  mv y Fy t  mv y Ya que: Fy F Miembro izquierdo: Física Básica II Unidad 4  vy es constante vy v  vy Fy t  F   v  t  16 8 Ondas Mecánicas Para el miembro derecho, se introduce la densidad lineal de masa µ (ó λ). µ masa total longitud total La masa m que se encuentra en movimiento es: m  µ (vt ) mv y  µ (vt )  v y Así:  vy F   v F  µv 2  t  µvtv y  v Velocidad F µ longitudinal de una onda transversal Física Básica II Unidad 4 17 Ondas Mecánicas Rapidez de una onda transversal (segundo método) Se aplica la segunda Ley de Newton a una porción de la cuerda:  y     F  x  x F1 y  Ya que: F Física Básica II Unidad 4 y   ma y F y F y  y    F  x  x  x F2 y  F1 y  F2 y  y   y    F       x  x  x  x  x  m  µx ay  2 y t 2 18 9 Ondas Mecánicas  y   2 y   y        µx 2  F    t   x  x  x  x  x   y   y      2 Si: lim x 0  x  x  x  x  x µ   y    2 x F  t  2 2 2 y 1 2 y  y µ  y Comparando con la ecuación de onda:   x 2 v 2 t 2 x 2 F t 2 F v µ v Fuerza de restitucio n que vuelve el sistema al equilibrio Inercia que resiste el retorno al equilibrio Física Básica II Unidad 4 19 Ondas Mecánicas Potencia y energía del movimiento ondulatorio Al propagarse una onda, cada porción del medio ejerce una fuerza y realiza trabajo sobre la porción adyacente. y x Fy ( x, t ) F  y y ( x, t )  x x Fy ( x, t )   F Potencia: P ( x, t )  Fy ( x, t )  v y ( x, t ) P ( x, t )   F Física Básica II Unidad 4 y ( x, t ) x y ( x, t ) y ( x, t )  t x 20 10 Ondas Mecánicas y ( x, t )  A cos( kx  ωt ) y ( x, t )   kA sin( kx  ωt ) x y ( x, t )  ωA sin( kx  ωt ) t P ( x, t )  FkωA 2 sin 2 ( kx  ωt ) Ya que: ω  vk P ( x, t )  µF ω 2 A 2 sin 2 ( kx  ωt ) Física Básica II Unidad 4 21 Ondas Mecánicas P ( x, t )  Pmax sin 2 ( kx  ωt ) Pmax  µF ω 2 A 2 Potencia media: Pmed  P ( x, t ) Pmed  Pmax sin 2 ( kx  ωt )  Pmax sin 2 ( kx  ωt ) En general, para una función periódica f(t) de periodo T que depende del tiempo: Valor medio: Física Básica II Unidad 4 f (t )  1 T  t 0 T t0 f (t ) dt 22 11 Ondas Mecánicas 1 2π sin 2 ( kx  ωt ) dt  0 2π 1 sin 2 α  (1  cos 2α ) 2 1 sin 2 ( kx  ωt )  2 sin 2 ( kx  ωt )  Pmed  1 µF ω 2 A 2 2 Física Básica II Unidad 4 23 Ondas Mecánicas Intensidad de las ondas Sea P la potencia con la que la fuente emite ondas esféricas. Intensidad: potencia media por unidad de área I1  [I ]  W m2 Física Básica II Unidad 4 P 4πr12 I2  P 4πr22 I1 r22  I 2 r12 Ley del inverso del cuadrado de la intensidad. 24 12 Ondas Mecánicas Principio de superposición: Si dos o más ondas viajeras se mueven a través de un medio, el valor resultante de la función de onda en cualquier punto es la suma algebraica de los valores de las funciones de onda de las ondas individuales. y ( x, t )  y1 ( x, t )  y2 ( x, t )   Ondas lineales: Amplitudes menores a sus longitudes de onda Física Básica II Unidad 4 25 Ondas Mecánicas Dos ondas viajeras pueden pasar una a través de la otra sin ser destruidas o alteradas. Interferencia constructiva Física Básica II Unidad 4 Interferencia destructiva 26 13 Ondas Mecánicas Física Básica II Unidad 4 27 Ondas Mecánicas Superposición de dos ondas armónicas Sean: y1  A sin( kx  ωt ) y 2  A sin( kx  ωt  φ ) y  y1  y2  A sin( kx  ωt )  A sin( kx  ωt  φ ) Dado que:  a b  a b sin a  sin b  2 cos  sin    2   2  φ φ   y ( x, t )  2 A cos  sin  kx  ωt   2 2  Si: φ 0 Física Básica II Unidad 4 φ  2 A cos   2 A 2 y1 y y2 están en fase 28 14 Ondas Mecánicas Si: φ  180º φ  2 A cos   0 2 Física Básica II Unidad 4 29 Ondas Mecánicas Ondas estacionarias en una cuerda yincidente ( x, t )  A sin( kx  ωt ) y reflejada ( x, t )  A sin( kx  ωt ) ytotal ( x, t )  yincidente  yreflejada ytotal ( x, t )  A sin( kx  ωt )  A sin( kx  ωt ) sin( a  b)  sin a cos b  cos a sin b ytotal ( x, t )  2 A sin( kx ) cos(ωt ) Física Básica II Unidad 4 30 15 Ondas Mecánicas ytotal ( x, t )  Atotal cos(ωt ) Atotal  2 A sin( kx ) Atotal  0  2 A sin( kx ) sin( kx)  0 N: nodo kx  nπ A: antinodo nZ k x 2π λ n λ 2 Física Básica II Unidad 4 31 Ondas Mecánicas Modos normales en una cuerda Se considera una cuerda de longitud L, sujeta rígidamente en ambos extremos (pianos, violines y guitarras). Ln λ 2 2L λn  n v f1  2L En general: Física Básica II Unidad 4 nZ Ya que: f1  fn  n vλ f 1 2L F µ v  nf1 Cuantización 2L 32 16 Ondas Mecánicas Un modo normal de un sistema oscilante es un movimiento en el que todas las partículas del sistema se mueven armónicamente con la misma frecuencia. Física Básica II Unidad 4 33 Ondas Mecánicas Ondas sonoras Sonido: es una onda longitudinal en un medio. Gama audible (oído humano): 20 a 20000 Hz Infrasónica < 20 Hz Ultrasónica > 20000 Hz y ( x, t )  A cos( kx  ωt ) Física Básica II Unidad 4 34 17 Ondas Mecánicas Ondas sonoras como fluctuaciones de presión Sea un cilindro que contiene un material: Inicialmente: Si se perturba el material: V  Sx V  S ( y2  y1 ) V  S [ y ( x  x, t )  y ( x, t )] La variación fraccional: En el límite: V S [ y ( x  x, t )  y ( x, t )]  V Sx dV S [ y ( x  x, t )  y ( x, t )]  lim x  0 V Sx x  0 Física Básica II Unidad 4 35 Ondas Mecánicas dV y ( x, t )  V x El módulo de volumen: p ( x, t )   B dV V B p ( x, t ) dV V y ( x, t ) p ( x, t )   B x y ( x, t )  A cos( kx  ωt ) y ( x, t )   kA sin( kx  ωt ) x pmax  BkA p ( x, t )  BkA sin( kx  ωt ) Física Básica II Unidad 4 36 18 Ondas Mecánicas Rapidez del sonido en un fluido Análisis del impulso longitudinal: F p t I  p  Ft Impulso: Ft  mv Miembro izquierdo: Ft  p  A  t V V Av y t p   B V  V Avt El cambio fraccional del volumen de fluido: Física Básica II Unidad 4 37 Ondas Mecánicas p  B Miembro derecho: Ft  B vy v mv  mv y Finalmente: B v Física Básica II Unidad 4 vy v v  At m  ρV  ρAvt La cantidad de masa en movimiento es: La cantidad de movimiento es: vy mv y  ( ρAvt )v y  A  t  ( ρAvt )v y B ρ v Propiedad elástica Propiedad inercial 38 19 Ondas Mecánicas Para sólidos: Rapidez del sonido en gases Ya que: v v B ρ B γ p Proceso isotérmico: Ya que: Y ρ M  pV  nRT v m n γRT M Física Básica II Unidad 4 39 Ondas Mecánicas Para una temperatura en la escala centígrada TC: v γRT0  TC γRT γR 1   (T0  TC )  M M M  T0 v Para el aire: T  T0  TC γRT0 T γRT0  1 TC 1  1 C  M T0 M  2 T0  kg  M  28,8  10 3    mol   J  R  8,314    K  mol  Física Básica II Unidad 4 T0  273,15[ K ]       γ  1,4 v  331,4  0,61  TC 40 20 Ondas Mecánicas Intensidad de las ondas de sonido P dW Fdl F  dl       A Adt Adt A  dt  I Intensidad instantánea: I ( x, t )  p ( x, t )v y ( x, t ) y ( x, t )  A cos( kx  ωt ) Ya que: y ( x, t ) x p ( x, t )   B vy  y ( x, t )  ωA sin( kx  ωt ) t Física Básica II Unidad 4 41 Ondas Mecánicas p ( x, t )v y ( x, t )  [ BkA sin( kx  ωt )][ωA sin( kx  ωt )] p ( x, t )v y ( x, t )  BωkA2 sin 2 ( kx  ωt ) La intensidad es el valor medio: Ya que: I ω  kv 1 ρBω 2 A 2 2 Física Básica II Unidad 4 v2  I I B ρ 2 pmax 2 ρv 1 BωkA 2 2 pmax  BkA I 2 pmax 2 ρB 42 21 Ondas Mecánicas Nivel de intensidad de sonido β  log I [ β ]  belio  B Para el oído humano: I min  10 12 I max  10 5 β I β  k log I W m2 W m2 β  12[ B ] Si k = 1: β  5[ B ] Física Básica II Unidad 4 43 Ondas Mecánicas Se normalizan los valores de I al valor mínimo I0 = Imin:  I β  log  I min    Para: Para: I min  10 12 I max  10 5 Finalmente, si k = 10: W m2 W m2 β  10 log  β  0[ B ]  β  17[ B ] I I0 [ β ]  dB  decibelio Física Básica II Unidad 4 44 22 Ondas Mecánicas Tubos e instrumentos de viento Tubo abierto: Ln n  1,2,3,  λn 2 λn  2L n nv fn  2L f1  v 2L f n  nf1 Física Básica II Unidad 4 45 Ondas Mecánicas Tubo semiabierto: Ln λn 4 λn  fn  f1  n  1,3,5,  4L n nv 4L v 4L f n  nf1 Física Básica II Unidad 4 46 23 Ondas Mecánicas Efecto Doppler Cuando una fuente de sonido y un receptor están en movimiento relativo, la frecuencia del sonido oído por el receptor no es la misma que la frecuencia de la fuente. La rapidez del sonido relativa al medio v siempre se considera positiva. Física Básica II Unidad 4 47 Ondas Mecánicas Receptor móvil y fuente inmóvil fF  vR R Física Básica II Unidad 4 fR  v  vR λF fR  v  vR v / fF F  v  vR fR    v   fF   v f R  1  R v  v λF   fF  48 24 Ondas Mecánicas Receptor móvil y fuente móvil λfrente  v  vF fF λdetrás  fR  vR F R fR  vF En general: Física Básica II Unidad 4  v  vR f R    v  vF   f F  v  vR λdetrás v  vF fF v  vR (v  v F ) / f F  v  vR f R    v  vF   f F  49 25