Unidad 4
Ondas Mecánicas
1
Ondas Mecánicas
Definición. Una onda es una perturbación de alguna propiedad que se
propaga en el espacio sin transporte de materia e implicando un transporte
de energía. Ejemplo: densidad, presión, campo eléctrico o magnético. El
espacio perturbado puede contener materia (aire, agua, etc.) o no (vacío).
Clasificación
Ondas mecánicas: necesitan un medio elástico (sólido, líquido o gaseoso)
para propagarse.
Ondas electromagnéticas: se propagan por el espacio sin necesidad de un
medio, por lo tanto pueden propagarse en el vacío.
Ondas gravitacionales: son perturbaciones que alteran la geometría misma
del espacio-tiempo
Física Básica II Unidad 4
2
1
Ondas Mecánicas
Tipos de Ondas Mecánicas
Transversales. Los desplazamientos del medio son perpendiculares al
movimiento de la onda.
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3
Ondas Mecánicas
Longitudinales. Los desplazamientos del medio están en la misma línea
del movimiento de la onda.
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4
2
Ondas Mecánicas
Física Básica II Unidad 4
5
Ondas Mecánicas
Elementos de una onda
A: amplitud; [A] = m
T: periodo; [T] = s
λ: longitud de onda; [λ] = m
En general:
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y y ( x, t )
6
3
Ondas Mecánicas
Ondas viajeras
Si
a vt se obtiene una onda viajera
ξ ( x, t ) f ( x vt )
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7
Ondas Mecánicas
ξ ( x, t ) f ( x vt )
Física Básica II Unidad 4
ξ ( x, t ) f ( x vt )
8
4
Ondas Mecánicas
Para una función f (x,t) armónica (onda armónica):
y ( x, t ) A cos[ k ( x vt )]
x x
Reemplazando:
2π
k
y ( x, t ) A cos[ k ( x
2π
vt )]
k
y ( x, t ) A cos[ k ( x vt ) 2π )]
y ( x, t ) A cos[ k ( x vt )]
Entonces:
x x λ periodicidad espacial
λ
2π
k
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9
Ondas Mecánicas
k
Así:
2π
λ
k: número de onda
periodo espacial
y ( x, t ) A cos[ k ( x vt )]
Recordando que:
y (t ) A cos(ωt )
y ( x, t ) A cos( kx ωt φ )
donde:
Dado que:
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ω kv
ω 2πf
vλ f
Velocidad de la onda
10
5
Ondas Mecánicas
kx ωt
La cantidad:
Para un instante especifico:
fase de la onda
kx ωt ctte
dx ω
v
dt k
v se denomina también velocidad de fase.
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Ondas Mecánicas
Velocidad y aceleración transversales de una onda
y ( x, t ) A cos( kx ωt )
v y ( x, t )
y ( x, t )
t
v y ( x, t ) ωA sin( kx ωt )
a y ( x, t )
2 y ( x, t )
t 2
a y ( x, t ) ω 2 A cos( kx ωt )
a y ( x, t ) ω 2 y ( x, t )
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12
6
Ondas Mecánicas
Derivando con respecto a la posición:
y ( x, t ) A cos( kx ωt )
y ( x, t )
kA sin( kx ωt )
x
2 y ( x, t )
k 2 A cos( kx ωt )
2
x
2 y ( x, t )
k 2 y ( x, t )
2
x
Ya que:
2 y ( x, t )
ω 2 y ( x, t )
a y ( x, t )
2
t
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Ondas Mecánicas
2 y ( x, t )
ω2
t 2
v2
2 y ( x, t ) k 2
x 2
Ecuación de Onda:
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2 y ( x, t ) 1 2 y ( x, t )
2
x 2
t 2
v
14
7
Ondas Mecánicas
Rapidez de una onda transversal
F
Fy
Por semejanza de triángulos:
F
v yt
Fy
vt
F
vy
v
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Ondas Mecánicas
Fy
Análisis del impulso transversal:
Impulso:
p y
t
I Fy t p y
Fy t mv y
Fy t mv y
Ya que:
Fy
F
Miembro izquierdo:
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vy es constante
vy
v
vy
Fy t F
v
t
16
8
Ondas Mecánicas
Para el miembro derecho, se introduce la densidad lineal de masa µ (ó λ).
µ
masa total
longitud total
La masa m que se encuentra en movimiento es:
m µ (vt )
mv y µ (vt ) v y
Así:
vy
F
v
F µv 2
t µvtv y
v
Velocidad
F
µ
longitudinal de una
onda transversal
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Ondas Mecánicas
Rapidez de una onda transversal (segundo método)
Se aplica la segunda Ley de Newton a una porción de la cuerda:
y
F
x x
F1 y
Ya que:
F
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y
ma y
F
y
F
y
y
F x x x
F2 y
F1 y F2 y
y
y
F
x x x x x
m µx
ay
2 y
t 2
18
9
Ondas Mecánicas
y
2 y
y
µx 2
F
t
x x x x x
y
y
2
Si: lim x 0
x x x x x µ y
2
x
F t
2
2
2 y 1 2 y
y µ y
Comparando con la ecuación de onda:
x 2 v 2 t 2
x 2 F t 2
F
v
µ
v
Fuerza de restitucio n que vuelve el sistema al equilibrio
Inercia que resiste el retorno al equilibrio
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Ondas Mecánicas
Potencia y energía del movimiento ondulatorio
Al propagarse una onda, cada porción del medio ejerce una fuerza y realiza
trabajo sobre la porción adyacente.
y
x
Fy ( x, t )
F
y
y ( x, t )
x
x
Fy ( x, t ) F
Potencia:
P ( x, t ) Fy ( x, t ) v y ( x, t )
P ( x, t ) F
Física Básica II Unidad 4
y ( x, t )
x
y ( x, t ) y ( x, t )
t
x
20
10
Ondas Mecánicas
y ( x, t ) A cos( kx ωt )
y ( x, t )
kA sin( kx ωt )
x
y ( x, t )
ωA sin( kx ωt )
t
P ( x, t ) FkωA 2 sin 2 ( kx ωt )
Ya que:
ω vk
P ( x, t ) µF ω 2 A 2 sin 2 ( kx ωt )
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Ondas Mecánicas
P ( x, t ) Pmax sin 2 ( kx ωt )
Pmax µF ω 2 A 2
Potencia media:
Pmed P ( x, t )
Pmed Pmax sin 2 ( kx ωt ) Pmax sin 2 ( kx ωt )
En general, para una función periódica f(t) de periodo T que depende del tiempo:
Valor medio:
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f (t )
1
T
t 0 T
t0
f (t ) dt
22
11
Ondas Mecánicas
1 2π
sin 2 ( kx ωt ) dt
0
2π
1
sin 2 α (1 cos 2α )
2
1
sin 2 ( kx ωt )
2
sin 2 ( kx ωt )
Pmed
1
µF ω 2 A 2
2
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23
Ondas Mecánicas
Intensidad de las ondas
Sea P la potencia con la que la fuente
emite ondas esféricas.
Intensidad: potencia media por unidad de área
I1
[I ]
W
m2
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P
4πr12
I2
P
4πr22
I1 r22
I 2 r12
Ley del inverso del cuadrado de la intensidad.
24
12
Ondas Mecánicas
Principio de superposición: Si dos o más ondas viajeras se mueven a
través de un medio, el valor resultante de la función de onda en cualquier
punto es la suma algebraica de los valores de las funciones de onda de las
ondas individuales.
y ( x, t ) y1 ( x, t ) y2 ( x, t )
Ondas lineales: Amplitudes
menores a sus longitudes de
onda
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Ondas Mecánicas
Dos ondas viajeras pueden pasar una a través de la otra sin ser destruidas o
alteradas.
Interferencia constructiva
Física Básica II Unidad 4
Interferencia destructiva
26
13
Ondas Mecánicas
Física Básica II Unidad 4
27
Ondas Mecánicas
Superposición de dos ondas armónicas
Sean:
y1 A sin( kx ωt )
y 2 A sin( kx ωt φ )
y y1 y2 A sin( kx ωt ) A sin( kx ωt φ )
Dado que:
a b a b
sin a sin b 2 cos
sin
2 2
φ
φ
y ( x, t ) 2 A cos sin kx ωt
2
2
Si:
φ 0
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φ
2 A cos 2 A
2
y1 y y2 están en fase
28
14
Ondas Mecánicas
Si:
φ 180º
φ
2 A cos 0
2
Física Básica II Unidad 4
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Ondas Mecánicas
Ondas estacionarias en una cuerda
yincidente ( x, t ) A sin( kx ωt )
y reflejada ( x, t ) A sin( kx ωt )
ytotal ( x, t ) yincidente yreflejada
ytotal ( x, t ) A sin( kx ωt ) A sin( kx ωt )
sin( a b) sin a cos b cos a sin b
ytotal ( x, t ) 2 A sin( kx ) cos(ωt )
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30
15
Ondas Mecánicas
ytotal ( x, t ) Atotal cos(ωt )
Atotal 2 A sin( kx )
Atotal 0 2 A sin( kx )
sin( kx) 0
N: nodo
kx nπ
A: antinodo
nZ
k
x
2π
λ
n
λ
2
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31
Ondas Mecánicas
Modos normales en una cuerda
Se considera una cuerda de longitud L, sujeta rígidamente en ambos
extremos (pianos, violines y guitarras).
Ln
λ
2
2L
λn
n
v
f1
2L
En general:
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nZ
Ya que:
f1
fn n
vλ f
1
2L
F
µ
v
nf1 Cuantización
2L
32
16
Ondas Mecánicas
Un modo normal de un sistema oscilante es un movimiento en el que todas
las partículas del sistema se mueven armónicamente con la misma frecuencia.
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33
Ondas Mecánicas
Ondas sonoras
Sonido: es una onda longitudinal en un medio.
Gama audible (oído humano): 20 a 20000 Hz
Infrasónica < 20 Hz
Ultrasónica > 20000 Hz
y ( x, t ) A cos( kx ωt )
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34
17
Ondas Mecánicas
Ondas sonoras como fluctuaciones de presión
Sea un cilindro que contiene un material:
Inicialmente:
Si se perturba el material:
V Sx
V S ( y2 y1 )
V S [ y ( x x, t ) y ( x, t )]
La variación fraccional:
En el límite:
V S [ y ( x x, t ) y ( x, t )]
V
Sx
dV
S [ y ( x x, t ) y ( x, t )]
lim
x 0
V
Sx
x 0
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35
Ondas Mecánicas
dV y ( x, t )
V
x
El módulo de volumen:
p ( x, t ) B
dV
V
B
p ( x, t )
dV
V
y ( x, t )
p ( x, t ) B
x
y ( x, t ) A cos( kx ωt )
y ( x, t )
kA sin( kx ωt )
x
pmax BkA
p ( x, t ) BkA sin( kx ωt )
Física Básica II Unidad 4
36
18
Ondas Mecánicas
Rapidez del sonido en un fluido
Análisis del impulso longitudinal:
F
p
t
I p Ft
Impulso:
Ft mv
Miembro izquierdo:
Ft p A t
V
V
Av y t
p B
V
V
Avt
El cambio fraccional del volumen de fluido:
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Ondas Mecánicas
p B
Miembro derecho:
Ft B
vy
v
mv mv y
Finalmente:
B
v
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vy
v
v
At
m ρV ρAvt
La cantidad de masa en movimiento es:
La cantidad de movimiento es:
vy
mv y ( ρAvt )v y
A t ( ρAvt )v y
B
ρ
v
Propiedad elástica
Propiedad inercial
38
19
Ondas Mecánicas
Para sólidos:
Rapidez del sonido en gases
Ya que:
v
v
B
ρ
B γ p
Proceso isotérmico:
Ya que:
Y
ρ
M
pV nRT
v
m
n
γRT
M
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39
Ondas Mecánicas
Para una temperatura en la escala centígrada TC:
v
γRT0 TC
γRT
γR
1
(T0 TC )
M
M
M T0
v
Para el aire:
T T0 TC
γRT0
T
γRT0 1 TC
1
1 C
M
T0
M 2 T0
kg
M 28,8 10 3
mol
J
R 8,314
K mol
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T0 273,15[ K ]
γ 1,4
v 331,4 0,61 TC
40
20
Ondas Mecánicas
Intensidad de las ondas de sonido
P dW Fdl F dl
A Adt Adt A dt
I
Intensidad instantánea:
I ( x, t ) p ( x, t )v y ( x, t )
y ( x, t ) A cos( kx ωt )
Ya que:
y ( x, t )
x
p ( x, t ) B
vy
y ( x, t )
ωA sin( kx ωt )
t
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41
Ondas Mecánicas
p ( x, t )v y ( x, t ) [ BkA sin( kx ωt )][ωA sin( kx ωt )]
p ( x, t )v y ( x, t ) BωkA2 sin 2 ( kx ωt )
La intensidad es el valor medio:
Ya que:
I
ω kv
1
ρBω 2 A 2
2
Física Básica II Unidad 4
v2
I
I
B
ρ
2
pmax
2 ρv
1
BωkA 2
2
pmax BkA
I
2
pmax
2 ρB
42
21
Ondas Mecánicas
Nivel de intensidad de sonido
β log I
[ β ] belio B
Para el oído humano:
I min 10 12
I max 10 5
β
I
β k log I
W
m2
W
m2
β 12[ B ]
Si k = 1:
β 5[ B ]
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43
Ondas Mecánicas
Se normalizan los valores de I al valor mínimo I0 = Imin:
I
β log
I min
Para:
Para:
I min 10 12
I max 10 5
Finalmente, si k = 10:
W
m2
W
m2
β 10 log
β 0[ B ]
β 17[ B ]
I
I0
[ β ] dB decibelio
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22
Ondas Mecánicas
Tubos e instrumentos de viento
Tubo abierto:
Ln
n 1,2,3,
λn
2
λn
2L
n
nv
fn
2L
f1
v
2L
f n nf1
Física Básica II Unidad 4
45
Ondas Mecánicas
Tubo semiabierto:
Ln
λn
4
λn
fn
f1
n 1,3,5,
4L
n
nv
4L
v
4L
f n nf1
Física Básica II Unidad 4
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23
Ondas Mecánicas
Efecto Doppler
Cuando una fuente de sonido y un receptor están en movimiento relativo,
la frecuencia del sonido oído por el receptor no es la misma que la
frecuencia de la fuente.
La rapidez del sonido relativa al medio v siempre se considera positiva.
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Ondas Mecánicas
Receptor móvil y fuente inmóvil
fF
vR
R
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fR
v vR
λF
fR
v vR
v / fF
F
v vR
fR
v
fF
v
f R 1 R
v
v
λF
fF
48
24
Ondas Mecánicas
Receptor móvil y fuente móvil
λfrente
v vF
fF
λdetrás
fR
vR
F
R
fR
vF
En general:
Física Básica II Unidad 4
v vR
f R
v vF
f F
v vR
λdetrás
v vF
fF
v vR
(v v F ) / f F
v vR
f R
v vF
f F
49
25