888 ◆ SISTEMAS TRIFÁSICOS EN APLICACIONES DE POTENCIA 21–1 I NTRODUCCIÓN A MÁQUINAS TRIFÁSICAS Los generadores trifásicos producen al mismo tiempo tres voltajes sinusoidales que están separados por ciertos ángulos de fase constante. Esta generación multifásica se logra haciendo girar varios devanados a través de un campo magnético. Asimismo, los motores trifásicos operan con entradas sinusoidales trifásicas. Después de completar esta sección, usted debe ser capaz de: ◆ Describir las máquinas trifásicas básicas ◆ Analizar un generador trifásico básico ◆ Describir la construcción de un generador trifásico ◆ Describir un motor de inducción trifásico básico El generador La figura 21-1(a) muestra un generador con tres devanados separados colocados a intervalos de 120° alrededor del rotor. Esta configuración genera tres voltajes sinusoidales separados entre sí por ángulos de fase de 120°, como se muestra en la parte (b). b 120° N 120° a c Va Vb 120° 120° Vc S 120° (a) (b) 䊱 FIGURA 21–1 Generador trifásico básico. En la figura 21-2 se muestra un generador trifásico de dos polos. La mayoría de los generadores prácticos son de esta forma. En lugar de utilizar un imán permanente en una posición fija, se utiliza un electroimán rotatorio. Éste se crea haciendo pasar una corriente directa (IF) a través de un devanado alrededor del rotor, como se muestra. Este devanado se llama devanado de campo. FIGURA 21–2 Generador trifásico de dos polos. Estator Rotor A Salidas trifásicas B B C A Devanado de campo 䊳 N C S B C De os va n a d o s trif á sic Común IF A + VF – G ENERADORES EN APLIC ACIONES DE POTENCIA ◆ 889 La corriente directa se aplica por medio de un ensamble de escobillas y un anillo rozante. La parte externa estacionaria del generador se llama estator. Tres devanados distintos están colocados a 120° uno de otro alrededor del estator; en estos devanados se inducen voltajes trifásicos a medida que el campo magnético gira, como indica la figura 21-1(b) El motor El tipo más común de motor de ca es el motor trifásico de inducción. Básicamente, consiste en un estator con devanados de estator y un ensamblado de rotor construido conforme a un marco cilíndrico de barras metálicas integradas en una configuración tipo jaula de ardilla. La figura 21-3 muestra la vista esquemática de un extremo de este arreglo. Cuando se aplican voltajes trifásicos a los devanados del estator, se establece un campo magnético rotatorio. Conforme el campo magnético gira, son inducidas corrientes dentro de los conductores del rotor de jaula de ardilla. La interacción de las corrientes inducidas y del campo magnético genera fuerzas que provocan que el rotor también gire. Devanados de estator Entradas trifásicas A B C 䊴 Estator B C A FIGURA 21–3 Motor de inducción trifásico básico. Barras conductoras A C B Ensamble de rotor Común REPASO DE LA SECCIÓN 21-1 Las respuestas se encuentran al final del capítulo. 1. 2. 21–2 G ENERADORES Describa el principio básico utilizado en generadores de ca. ¿Cuántos devanados de armadura se requieren en un generador trifásico? EN APLICACIONES DE POTENCIA Existen ciertas ventajas en el uso de generadores trifásicos para suministrar potencia a una carga sobre la utilización de una máquina monofásica. Después de completar esta sección, usted debe ser capaz de: ◆ Analizar las ventajas de los generadores trifásicos en aplicaciones de potencia ◆ Explicar la ventaja del cobre ◆ Comparar sistemas monofásicos y trifásicos en función de la ventaja del cobre ◆ Explicar la ventaja de la potencia constante ◆ Explicar la ventaja de un campo magnético rotatorio constante 890 ◆ SISTEMAS TRIFÁSICOS EN APLICACIONES DE POTENCIA Rotación 䊱 RL FIGURA 21–4 El diámetro del alambre de cobre requerido para transportar corriente desde un generador hasta una carga se reduce cuando se utiliza un generador trifásico en lugar de uno monofásico. La figura 21-4 es una representación simplificada de un generador monofásico conectado a una carga resistiva. El símbolo de bobina representa el devanado del generador. Por ejemplo, en el devanado se induce un voltaje sinusoidal monofásico y se aplica a una carga de 60 Æ, como indica la figura 21-5. La corriente resultante es Representación simplificada de un generador monofásico conectado a una carga resistiva. I RL = 䊳 120∠ 0° V = 2∠ 0° A 60∠ 0° Æ FIGURA 21–5 IRL = 2 A Ejemplo monofásico. RL = 60 ⍀ PL = 240 W Rotación – 120 V + IRL = 2 A La corriente total que debe ser suministrada por el generador a la carga es de 2 ∠ 0° A. Esto significa que cada uno de los dos conductores que transportan corriente hasta y desde la carga debe ser capaz de manejar 2 A; por tanto, el total de la sección transversal de cobre debe manejar 4 A. (La sección transversal de cobre mide la cantidad total de alambre requerido con base en su tamaño físico en relación con su diámetro.) La potencia total suministrada a la carga es PL(tot) = I 2RLRL = 240 W La figura 21-6 muestra una representación simplificada de un generador trifásico conectado a tres cargas resistivas de 180 Æ. Se requeriría un sistema monofásico equivalente para alimentar tres resistores de 180 Æ en paralelo, con lo que se crearía una resistencia de carga efectiva de 60 Æ. Las bobinas representan los devanados del generador separados por 120°. 䊳 FIGURA 21–6 RL2 Representación simplificada de un generador trifásico con cada fase conectada a una carga de 180 Æ. 180 ⍀ 120° RL1 120° Neutro 120° 180 ⍀ RL3 180 ⍀ El voltaje entre las terminales de RL1 es de 120 ∠ 0° V, en RL2 es de 120 ∠ 120° V, y en RL3 es de 120 ∠ ⫺120° V, como indica la figura 21-7(a). La corriente suministrada por cada devanado a su respectiva carga es como sigue: 120∠ 0° V = 667∠ 0° mA 180∠ 0° Æ 120∠ 120° V = = 667∠ 120° mA 180∠ 0° Æ I RL1 = I RL2 I RL3 = 120∠ -120° V = 667∠ -120° mA 180∠0° Æ G ENERADORES EN APLIC ACIONES DE POTENCIA ◆ 891 RL2 IRL2 = 667∠120° mA 120∠120° V IRL2 = 667 mA 120∠120° V RL1 120∠–120° V 120∠0° V +120° IRL1 = 667∠0° mA 120∠0° V IRL1 = 667 mA Ineutra = 0 A Neutro –120° RL3 IRL3 = 667∠–120° mA 120∠–120° V (a) 䊱 IRL3 = 667 mA (b) FIGURA 21–7 Ejemplo trifásico. La potencia total suministrada a la carga es PL(tot) = I 2RL1RL1 + I 2RL2RL2 + I 2RL3RL3 = 240 W Ésta es la misma potencia total suministrada a la carga por el sistema monofásico analizado previamente. Advierta que se requieren cuatro conductores, incluido el neutro, para transportar las corrientes hasta y desde las cargas. La corriente en cada uno de los tres conductores es de 667 mA, como indica la figura 21-7(a). La corriente en el conductor neutro es la suma fasorial de las tres corrientes de carga y es igual a cero, según demuestra la siguiente ecuación, con referencia al diagrama fasorial de la figura 21-7(b). I RL1 + I RL2 + I RL3 = 667∠ 0° mA + 667∠120° mA + 667∠ -120° mA = 667 mA - 333.5 mA + j578 mA - 333.5 mA - j578 mA = 667 mA - 667 mA = 0 A Esta condición, donde todas las corrientes a través de las cargas son iguales y la corriente a través del neutro es de cero, se conoce como condición de carga balanceada. Toda la sección transversal de cobre debe manejar 667 mA ⫹ 667 mA ⫹ 667 mA ⫹ 0 mA ⫽ 2A. Este resultado demuestra que se requiere considerablemente menos cobre para suministrar la misma potencia con un sistema trifásico que el requerido con un sistema monofásico. La cantidad de cobre es una consideración importante en sistemas de distribución de potencia. EJEMPLO 21–1 Solución Compare las secciones transversales totales de cobre en función de su capacidad de conducción de corriente para sistemas monofásicos y trifásicos de 120 V con resistencias de carga efectivas de 12 Æ. Sistema monofásico: La corriente total a través de la carga es 120 V IRL = = 10 A 12 Æ El conductor hacia la carga debe transportar 10 A, y el conductor desde la carga también debe transportar 10 A. La sección transversal total de cobre, por tanto, debe ser suficiente para manejar 2 ⫻ 10 A ⫽ 20 A. 892 ◆ SISTEMAS TRIFÁSICOS EN APLICACIONES DE POTENCIA Sistema trifásico: Para una resistencia de carga efectiva de 12 Æ, el generador trifásico alimenta tres resistores de carga de 36 Æ cada uno. La corriente en cada resistor de carga es 120 V IRL = = 3.33 A 36 Æ Cada uno de los tres conductores que alimentan la carga balanceada debe conducir 3.33 A, y la corriente en el neutro es de cero. Por tanto, la sección transversal total de cobre debe ser suficiente para manejar 3 ⫻ 3.33 A 艑 10 A. Esto es significativamente menor que lo requerido para el sistema monofásico con una carga equivalente. Problema relacionado* Compare las secciones transversales totales de cobre en función de su capacidad de conducción de corriente para sistemas monofásicos y trifásicos de 240 V con resistencias de carga efectivas de 100 Æ. *Las respuestas se encuentran al final del capítulo. Una segunda ventaja de los sistemas trifásicos sobre el sistema monofásico es que los trifásicos producen una cantidad constante de potencia en la carga. Como indica la figura 21-8, la potencia entregada a la carga fluctúa como el cuadrado del voltaje sinusoidal dividido entre la resistencia. La potencia cambia desde un máximo de V 2RL(máx)/RL hasta un mínimo de cero en una frecuencia igual a dos veces la del voltaje. 䊳 FIGURA 21–8 Potencia suministrada a una carga monofásica (curva sen2). V 2RL(máx) RL PL 0 La forma de onda de potencia a través de uno de los resistores de carga en un sistema trifásico está desfasada en 120° con respecto a las formas de onda de potencia a través de las demás cargas, como se muestra en la figura 21-9. Un examen de las formas de onda de potencia muestra que al sumar tres valores instantáneos, la suma siempre es constante e igual a V 2RL(máx)/RL. Una potencia de carga constante significa una conversión uniforme de energía mecánica en energía eléctrica, la cual es una consideración importante en muchas aplicaciones de potencia. 䊳 FIGURA 21–9 Potencia monofásica (PL = V2RL(máx)/RL). PL 0 P1 P2 120° 120° P3 En muchas aplicaciones, se utilizan generadores de ca para alimentar motores de ca y efectuar la conversión de energía eléctrica en energía mecánica en la forma de rotación del eje de motor. La energía original para la operación del generador puede venir de cualquiera de diversas fuentes, tales como plantas hidroeléctricas o de vapor. La figura 21-10 ilustra el concepto básico. Cuando se conecta un generador trifásico a los devanados del motor, dentro del motor se produce un campo magnético que tiene una densidad de flujo constante y gira a la frecuencia de la T IPOS DE GENERADORES TRIFÁSICOS Energía eléctrica trifásica 䊴 Rotación de la flecha Energía mecánica de entrada Rotación de la flecha Generador de ca Motor de ca ◆ 893 FIGURA 21–10 Ejemplo simple de conversión de energía mecánica a eléctrica a mecánica. Energía mecánica de salida onda seno trifásica. El rotor del motor es impulsado a una velocidad de rotación constante por el campo magnético rotatorio, y se produce una rotación constante de la flecha, lo cual es una ventaja de los sistemas trifásicos. Un sistema monofásico resulta inadecuado en muchas aplicaciones porque produce un campo magnético cuya densidad de flujo fluctúa e invierte su dirección de rotación durante cada ciclo sin proporcionar la ventaja de rotación constante. REPASO DE LA SECCIÓN 21-2 21–3 T IPOS 1. 2. 3. Enumere tres ventajas de los sistemas trifásicos sobre los monofásicos. ¿Qué ventaja es más importante en conversiones de energía mecánica a eléctrica? ¿Qué ventaja es más importante en conversiones de energía eléctrica a mecánica? DE GENERADORES TRIFÁSICOS En las secciones previas, la conexión Y se utilizó como ilustración. En esta sección, se examina la conexión Y más a fondo y se introduce un segundo tipo: la conexión ⌬. Después de completar esta sección, usted debe ser capaz de: ◆ Analizar conexiones de generador trifásico ◆ Analizar el generador conectado en Y ◆ Analizar el generador conectado en ⌬ El generador conectado en Y Un sistema conectado en Y puede ser un sistema de tres hilos o, cuando se utiliza el neutro, de cuatro hilos, según muestra la figura 21-11, conectado a una carga generalizada, la cual se indica mediante el bloque sombreado. Recuerde que cuando las cargas están perfectamente balancea䊴 IL V L Vθ Generador conectado en Y. IL Vθ VL Iθ Iθ Neutro Iθ VL Vθ IL FIGURA 21–11 Carga 894 ◆ SISTEMAS TRIFÁSICOS EN APLICACIONES DE POTENCIA das, la corriente neutra es de cero; por tanto, el conducto neutro es innecesario. Sin embargo, para casos en que las cargas no son iguales (están desbalanceadas), un hilo neutro resulta esencial para proporcionar una trayectoria para el retorno de la corriente porque el valor de la corriente neutra no es cero. Los voltajes entre los devanados del generador se llaman voltajes de fase (Vu), y las corrientes a través de los devanados se llaman corrientes de fase (Iu). Asimismo, las corrientes en las líneas que conectan los devanados del generador a la carga se llaman corrientes de línea (IL), y los voltajes entre las líneas se llaman voltajes de línea (VL). Advierta que la magnitud de cada corriente de línea es igual a la corriente de fase correspondiente en el circuito conectado en Y. Ecuación 21–1 IL = Iu En la figura 21-12, las terminaciones de línea de los devanados se designan mediante a, b y c, y el punto neutro se designa con n. Estas letras se agregan como subíndices a la fase y a las corrientes de línea para indicar la fase con la cual está asociada cada una. Los voltajes de fase también se designan en la misma forma. Advierta que los voltajes fasoriales siempre son positivos en el extremo de la terminal del devanado y negativos en el punto neutro. Los voltajes de línea son desde la terminal de un devanado hasta la otra terminal, tal como indican los subíndices de doble letra. Por ejemplo, VL(ba) es el voltaje de línea desde b hasta a. VL(cb) c Vθ c Vθ b b VL(ac) Carga n VL(ba) Vθ a a 䊱 FIGURA 21–12 Voltajes de fase y voltajes de línea en un sistema conectado en Y. La figura 21-13(a) muestra un diagrama fasorial de los voltajes de fase. Mediante rotación de los fasores, como se muestra en la parte (b), a Vua se le asigna un ángulo de referencia de cero, y las expresiones polares para los voltajes fasoriales son las siguientes: Vua = Vua ∠ 0° Vub = Vub ∠ 120° Vuc = Vuc ∠ - 120° 䊳 FIGURA 21–13 Diagrama de voltaje fasorial. Vθ c Vθ b 120° 120° Vθ b 120° 120° –120° Vθ c Vθ a (a) (b) Vθ a T IPOS DE GENERADORES TRIFÁSICOS ◆ 895 Hay tres voltajes de línea: uno entre a y b, uno entre a y c, y otro entre b y c. Es posible demostrar que la magnitud de cada voltaje de línea es igual a 13 veces la magnitud del voltaje de fase y que hay un ángulo de fase de 30° entre cada voltaje de línea y el voltaje de fase más cercano. Ecuación 21–2 VL = 13Vu Como las magnitudes de todos los voltajes de fase son iguales, VL(ba) = 13Vu ∠ 150° VL(ac) = 13Vu ∠ 30° VL(cb) = 13Vu ∠ -90° El diagrama fasorial del voltaje de línea se muestra en la figura 21-14 superpuesto sobre el diagrama fasorial de los voltajes de fase. Observe que hay un ángulo de fase de 30° entre cada voltaje de línea y el voltaje de fase más cercano, y una separación de 120° entre los voltajes de línea. VL(ba) 120° Vθ b Vθ c VL(ac) 120° 30° Vθ a –120° –90° VL(cb) 䊱 FIGURA 21–14 Diagrama de fase de los voltajes de fase y los voltajes de línea en un sistema trifásico, conectado en Y. EJEMPLO 21–2 En la figura 21-15 se muestra la posición instantánea de un generador de ca conectado en Y. Si la magnitud de cada voltaje de fase es de 120 V rms, determine la magnitud de cada voltaje de línea y trace el diagrama fasorial. 䊳 FIGURA 21–15 b Vθ b 0° Vθ a c Vθ c – 45° a Solución La magnitud de cada voltaje de línea es VL = 13Vu = 13(120 V) = 208 V El diagrama fasorial para la posición instantánea dada del generador se muestra en la figura 21-16. 896 ◆ SISTEMAS TRIFÁSICOS EN APLICACIONES DE POTENCIA 䊳 FIGURA 21–16 VL(ba) = 208 V Vθ b = 120 V 120° 75° 105° –15° Vθ c = 120 V 0° – 45° –135° VL(ac) = 208 V Vθ a = 120 V VL(cb) = 208 V Problema relacionado Determine la magnitud del voltaje de línea si la posición del generador indicada en la figura 21-16 gira otros 45° en el sentido de las manecillas del reloj. El generador conectado en ⌬ En el generador conectado en Y, dos magnitudes de voltaje están disponibles en las terminales del sistema de cuatro hilos: el voltaje de fase y el voltaje de línea. Asimismo, en el generador conectado en Y, la corriente de línea es igual a la corriente de fase. Tenga en cuenta estas características conforme examinemos el generador conectado en ⌬. Los devanados de un generador trifásico pueden ser reacomodados para formar un generador conectado en ⌬, como se muestra en la figura 21-17. Al examinar este diagrama, puede advertirse que las magnitudes de los voltajes de línea y de fase son iguales, pero las corrientes de línea no son iguales a las corrientes de fase. 䊳 FIGURA 21–17 IL2 b Generador conectado en ⌬. Vθ c Vθ b Iθ c Iθ b Iθ a Vθ a Ecuación 21–3 IL1 IL3 VL(cb) VL(ba) a Carga VL(ac) c Como este sistema es de tres hilos, sólo está disponible una sola magnitud de voltaje, expresada como VL = Vu La magnitud de todos los voltajes de fase es igual; por tanto, los voltajes de línea se expresan en forma polar como sigue: VL(ac) = Vu ∠0° VL(ba) = Vu ∠120° VL(cb) = Vu ∠ - 120° T IPOS DE GENERADORES TRIFÁSICOS ◆ 897 El diagrama fasorial de las corrientes de fase se muestra en la figura 21-18, y las expresiones polares de cada corriente son las siguientes: I ua = Iua ∠ 0° I ub = Iub ∠ 120° I uc = Iuc ∠ - 120° 䊴 Iθ b 120° Iθ a 120° FIGURA 21–18 Diagrama de corriente de fase para el sistema conectado en ⌬. –120° Iθ c Se puede demostrar que la magnitud de cada corriente de línea es igual a 13 veces la magnitud de la corriente de fase y que hay un ángulo de fase de 30° entre cada corriente de línea y la corriente de fase más cercana. IL = 13Iu Ecuación 21–4 Como las corrientes de fase son iguales en magnitud, I L1 = 13Iu ∠ -30° I L2 = 13Iu ∠ 90° I L3 = 13Iu ∠ -150° El diagrama fasorial de corriente se muestra en la figura 21-19. IL2 Iθ b 䊴 FIGURA 21–19 Diagrama fasorial de corrientes de fase y corrientes de línea. 30° 90° Iθ a 30° IL3 EJEMPLO 21–3 30° Iθ c –150° IL1 El generador trifásico conectado en ⌬ y representado en la figura 21-20 alimenta una carga balanceada de modo que la magnitud de la corriente de fase sea de 10 A. Cuando Iua ⫽ 10 ∠ 30° A, determine lo siguiente: (a) Las expresiones polares para las demás corrientes de fase (b) Las expresiones polares para cada una de las corrientes de línea (c) El diagrama fasorial de corriente completo 898 ◆ SISTEMAS TRIFÁSICOS EN APLICACIONES DE POTENCIA 䊳 FIGURA 21–20 b IL2 Iθ c Iθ b Iθ a a IL1 c IL3 10∠30° A Solución Carga balanceada (a) Las corrientes de fase están separadas por 120°, por consiguiente, I ub = 10∠(30° + 120°) = 10∠ 150° A I uc = 10∠(30° - 120°) = 10∠ⴚ90° A (b) Las corrientes de línea están separadas de la corriente de fase más cercana por 30°; por consiguiente, I L1 = 13Iua ∠ (30° - 30°) = 17.3∠ 0° A I L2 = 13Iub ∠ (150° - 30°) = 17.3∠ 120° A I L3 = 13Iuc ∠ (-90° - 30°) = 17.3∠ⴚ120° A (c) El diagrama fasorial se muestra en la figura 21-21. 䊳 FIGURA 21–21 IL2 = 17.3 A Iθ b = 10 A 120° 150° –90° –120° IL3 = 17.3 A Problema relacionado REPASO DE LA SECCIÓN 21-3 Iθ a = 10 A 30° IL1 = 17.3 A Iθ c = 10 A Repita las partes (a) y (b) del ejemplo si Iua ⫽ 8∠60° A. 1. 2. 3. 4. En un cierto generador conectado en Y de tres conductores, los voltajes de fase son de 1 kV. Determine la magnitud de los voltajes de línea. En el generador conectado en Y mencionado en la pregunta 1, todas las corrientes de fase son de 5 A. ¿Cuáles son las magnitudes de la corriente de línea? En un generador conectado en ⌬, los voltajes de fase son de 240 V. ¿Cuáles son los voltajes de línea? En un generador conectado en delta, una corriente de fase es de 2 A. Determine la magnitud de la corriente de línea. A NÁLISIS 21–4 A NÁLISIS DE FUENTE Y C ARG A TRIFÁSIC AS DE FUENTE Y CARGA TRIFÁSICAS En esta sección, se examinan cuatro tipos básicos de configuraciones de fuente y carga. De igual forma que para las conexiones de un generador, una carga puede ser o una configuración Y o una configuración ⌬. Después de completar esta sección, usted debe ser capaz de: ◆ Analizar generadores trifásicos con cargas trifásicas ◆ Analizar la configuración Y-Y de fuente y carga ◆ Analizar la configuración Y-⌬ de fuente y carga ◆ Analizar la configuración ⌬-Y de fuente y carga ◆ Analizar la configuración ⌬-⌬ de fuente y carga En la figura 21-22(a) se muestra una carga conectada en Y, y en la parte (b) aparece una carga conectada en ⌬. Los bloques Za, Zb y Zc representan las impedancias de carga, las cuales pueden ser resistivas, reactivas, o de ambos tipos. Las cuatro configuraciones de fuente y carga son: 1. Fuente conectada en Y que alimenta una carga conectada en Y (sistema Y-Y) 2. Fuente conectada en Y que alimenta una carga conectada en ⌬ (sistema Y-⌬) 3. Fuente conectada en ⌬ que alimenta una carga conectada en Y (⌬-Y) 4. Fuente conectada en ⌬ que alimenta una carga conectada en ⌬ (sistema ⌬-⌬) Z Zc Zb Z c b Za Za (a) Carga conectada en Y 䊱 (b) Carga conectada en ⌬ FIGURA 21–22 Cargas trifásicas. El sistema Y-Y La figura 21-23 muestra una fuente conectada en Y que alimenta una carga conectada en Y. La carga puede ser una carga balanceada, tal como un motor trifásico donde Za ⫽ Zb ⫽ Zc, o tres cargas monofásicas independientes donde, por ejemplo, Za es un circuito de iluminación, Zb es un calentador, y Zc es un compresor de aire acondicionado. Una característica importante de una fuente conectada en Y es que están disponibles dos valores diferentes de voltaje trifásico: el voltaje de fase y el voltaje de línea. Por ejemplo, en el sistema de distribución de potencia estándar, se puede considerar un transformador trifásico como una fuente de voltaje trifásico que suministra 120 V y 208 V. Para utilizar un voltaje de fase de 120 V, las cargas se conectan en la configuración Y. Se utiliza una carga conectada en ⌬ para los voltajes de línea de 208 V. ◆ 899 900 䊳 ◆ SISTEMAS TRIFÁSICOS EN APLICACIONES DE POTENCIA FIGURA 21–23 IL3 Fuente conectada en Y que alimenta una carga conectada en Y. Iθ Vθ IL2 c IZ I θb b I Zc Z Zc b V Vθ b c Vθ a V Zc Zb Iθ a IZa IL1 Za VZa Observe en el sistema Y-Y de la figura 21-23 que la corriente de fase, la corriente de línea, y la corriente de carga son iguales en cada fase. Asimismo, cada voltaje de carga es igual al voltaje de fase correspondiente. Estas relaciones se expresan como sigue y son válidas para carga balanceada o desbalanceada. Ecuación 21–5 Iu = IL = IZ Ecuación 21–6 Vu = VZ donde VZ e IZ son el voltaje y la corriente de carga, respectivamente. Para una carga balanceada, todas las corrientes de fase son iguales y la corriente neutra es de cero. Para una carga desbalanceada, cada corriente de fase es diferente y la corriente neutra es, por consiguiente, distinta de cero. EJEMPLO 21–4 En el sistema Y-Y de la figura 21-24, determine lo siguiente: (a) Cada corriente de carga (b) Cada corriente de línea (d) Corriente neutra (e) Cada voltaje de carga Vθ 12 c 0∠ –1 20 Vθ b V 0° 20 °V 1 IL3 2 ∠1 IL2 (c) Cada corriente de fase 22 .4∠ 26 .6° Z ⍀ b Zc 22.4∠26.6° ⍀ Neutro Vθ a 120∠0° V 22.4∠26.6° ⍀ Za IL1 䊱 Solución FIGURA 21–24 Este sistema tiene una carga balanceada, Za ⫽ Zb ⫽ Zc ⫽ 22.4 ∠ 2 6.6° Æ. (a) Las corrientes de carga son Vua 120∠ 0° V = = 5.36∠ⴚ26.6° A Za 22.4∠ 26.6° Æ Vub 120∠ 120° V = = = 5.36∠ 93.4° A Zb 22.4∠ 26.6° Æ Vuc 120∠ -120° V = = = 5.36∠ ⴚ147° A Zc 22.4∠ 26.6° Æ I Za = I Zb I Zc A NÁLISIS DE FUENTE Y C ARG A TRIFÁSIC AS ◆ 901 (b) Las corrientes de línea son I L1 = 5.36∠ ⴚ26.6° A I L2 = 5.36∠ 93.4° A I L3 = 5.36∠ ⴚ147° A (c) Las corrientes de fase son I ua = 5.36∠ ⴚ26.6° A I ub = 5.36∠93.4° A I uc = 5.36∠ ⴚ147° A (d) I neutra = I Za + I Zb + I Zc = 5.36∠ - 26.6° A + 5.36∠ 93.4° A + 5.36∠ - 147° A = (4.80 A - j2.40 A) + (-0.33 A + j5.35 A) + (- 4.47 A - j2.95 A) = 0 A Si las impedancias de carga no fueran iguales (carga desbalanceada), la corriente neutra tendría un valor distinto de cero. (e) Los voltajes de carga son iguales a los voltajes de fase de fuente correspondientes, VZa = 120∠ 0° V VZb = 120∠ 120° V VZc = 120∠ⴚ120° V Problema relacionado Determine la corriente neutra si Za y Zb son las mismas de la figura 21-24, pero Zc ⫽ 50 ∠ 26.6° Æ. El sistema Y-⌬ La figura 21-25 muestra una fuente conectada en Y que alimenta una carga conectada en ⌬. Una importante característica de esta configuración es que cada fase de la carga tiene el voltaje de línea completo a través de ella. Ecuación 21–7 VZ = VL Las corrientes de línea son iguales a las corrientes de fase correspondientes, y cada corriente de línea se divide en dos corrientes de carga, como se indica. Para una carga balanceada (Za ⫽ Zb ⫽ Zc), la expresión para la corriente en cada carga es IL = 13IZ IL3 IL2 Ecuación 21–8 IZc VL3 Zc IL1 FIGURA 21–25 Fuente conectada en Y que alimenta una carga conectada en ⌬. Za VL1 Vθ a 䊱 IZa IZb VL2 b Vθ b c Z Vθ 902 ◆ SISTEMAS TRIFÁSICOS EN APLICACIONES DE POTENCIA EJEMPLO 21–5 䊳 Determine los voltajes de carga y las corrientes de carga en la figura 21-26, y muestre su relación en un diagrama fasorial. FIGURA 21–26 VL3 100∠30° ⍀ Zc Vθ a = 2∠0° kV Solución VL2 Vθ b = 2∠120° kV 100∠30° ⍀ VL1 Z b Za Vθ c = 2∠–120° kV 100∠30° ⍀ Con VL = 13Vu (ecuación 21-2) y el hecho de que hay 30° entre cada voltaje de línea y el voltaje de fase más cercano, los voltajes de carga son VZa = VL1 = 213∠ 150° kV = 3.46∠ 150° kV VZb = VL2 = 213∠ 30° kV = 3.46∠ 30° kV VZc = VL3 = 213∠ - 90° kV = 3.46∠ⴚ90° kV Las corrientes de carga son VZa 3.46∠ 150° kV = = 34.6∠ 120° A Za 100∠ 30° Æ VZb 3.46∠ 30° kV = = = 34.6∠ 0° A Zb 100∠ 30° Æ VZc 3.46∠ - 90° kV = = = 34.6∠ⴚ 120° A Zc 100∠ 30° Æ I Za = I Zb I Zc El diagrama fasorial se muestra en la figura 21-27. 䊳 FIGURA 21–27 VZa = 3.46 kV IZa = 34.6 A 120° VZb = 3.46 kV 30° – 30° IZb = 34.6 A 0° –120° IZc = 34.6 A VZc = 3.46 kV Problema relacionado Determine las corrientes de carga en la figura 21-26 si los voltajes de fase tienen magnitud de 240 V. El sistema ⌬-Y La figura 21-28 muestra una fuente conectada en ⌬ que alimenta una carga balanceada conectada en Y. Al examinar la figura se puede advertir que los voltajes de línea son iguales a los voltajes de fase correspondientes de la fuente. Además, cada voltaje de fase es igual a la diferencia de los voltajes de carga correspondientes, como puede observarse a partir de las polaridades. A NÁLISIS DE FUENTE Y C ARG A TRIFÁSIC AS ◆ 903 IL2 Iθ c IL3 Vθ c Z Iθ b Vθ a Vθ b Iθ a 䊱 Zb c IZb IZc Za IL1 IZa FIGURA 21–28 Fuente conectada en ⌬ que alimenta una carga conectada en Y. Cada corriente de carga es igual a la corriente de línea correspondiente. La suma de las corrientes de carga es cero porque la carga está balanceada; así, no se requiere un retorno neutro. La relación entre los voltajes de carga y los voltajes de fase correspondientes (y los voltajes de línea) es Vu = 13VZ Ecuación 21–9 Las corrientes de línea y las corrientes de carga correspondientes son iguales, y para una carga balanceada, la suma de las corrientes de carga es cero. Ecuación 21–10 IL = IZ Como puede observarse en la figura 21-28, cada corriente de línea es la diferencia de las dos corrientes de fase. I L1 = I ua - I ub I L2 = I uc - I ua I L3 = I ub - I uc EJEMPLO 21–6 䊳 Determine las corrientes y los voltajes en la carga balanceada y la magnitud de los voltajes de línea en la figura 21-29. FIGURA 21–29 IL2 = 1.5∠120° A IL3 = 1.5∠–120° A Vθ c 50 Vθ a ⍀ Vθ b IL1 = 1.5∠0° A Solución Z – Zb c j2 0 ⍀ Za – j2 0 ⍀ ⍀ 50 5 0 ⍀ – j2 0 ⍀ Las corrientes de carga son iguales a las corrientes de línea especificadas. I Za = I L1 = 1.5∠ 0° A I Zb = I L2 = 1.5∠ 120° A I Zc = I L3 = 1.5∠ⴚ120° A Los voltajes de carga son VZa = I ZaZ a = (1.5 ∠0° A)(50 Æ - j 20 Æ) = (1.5 ∠ 0° A)(53.9∠ -21.8° Æ) = 80.9∠ⴚ21.8° V 904 ◆ SISTEMAS TRIFÁSICOS EN APLICACIONES DE POTENCIA VZb = = VZc = = I ZbZ b (1.5 ∠120° A)(53.9∠ - 21.8° Æ) = 80.9∠ 98.2° V I ZcZ c (1.5 ∠ - 120° A)(53.9∠ - 21.8° Æ) = 80.9∠ⴚ142° V La magnitud de los voltajes de línea es VL = Vu = 13VZ = 13(80.9 V) = 140 V Problema relacionado Si las magnitudes de las corrientes de línea son de 1 A, ¿cuáles son las corrientes de carga? El sistema ⌬-⌬ La figura 21-30 muestra una fuente conectada en ⌬ que alimenta una carga conectada en ⌬. Observe que el voltaje de carga, el voltaje de línea, y el voltaje de fase de la fuente son iguales para una fase dada. Vua = VL1 = VZa Vub = VL2 = VZb Vuc = VL3 = VZc FIGURA 21–30 Vθ c Vθ b Z b VL2 Zc Fuente conectada en ⌬ que alimenta una carga conectada en ⌬. VL3 Za Vθ a VL1 Desde luego, cuando la carga está balanceada, todos los voltajes son iguales, y se puede escribir una expresión general Ecuación 21–11 Vu = VL = VZ Para una carga balanceada y voltajes de fase de fuente iguales, se puede demostrar que Ecuación 21–12 EJEMPLO 21–7 Determine la magnitud de las corrientes de carga y de las corrientes de línea en la figura 21-31. V b Z 12 0° ∠– 24 0 ϒV Vθ a 200∠65° ⍀ ⍀ 0 12 240∠0° V Za 5° Zc 0∠ 24 Vθ b Vθ c ∠6 5° 0 20 ⍀ FIGURA 21–31 ∠6 䊳 IL = 13IZ 20 0 䊳 P OTENCIA TRIFÁSIC A ◆ 905 VZa = VZb = VZc = 240 V Solución La magnitud de las corrientes de carga es IZa = IZb = IZc = VZa 240 V = = 1.20 A Za 200 Æ La magnitud de las corrientes de línea es IL = 13IZ = 13(1.20 A) = 2.08 A Problema relacionado REPASO DE LA SECCIÓN 21-4 Determine la magnitud de las corrientes de carga y de línea mostradas en la figura 21-31 si la magnitud de los voltajes de carga es de 120 V y las impedancias son de 600 Æ. 1. 2. 3. 4. 5. 21–5 P OTENCIA Enumere los cuatro tipos de configuraciones trifásicas de fuente y carga. En cierto sistema Y-Y, cada una de las corrientes de fase de fuente tiene magnitud de 3.5 A. ¿Cuál es la magnitud de cada corriente de carga para una condición de carga balanceada? En un sistema Y-⌬ dado, VL ⫽ 220 V. Determine VZ. Determine los voltajes de línea en un sistema ⌬-Y balanceado cuando la magnitud de los voltajes de fase de fuente es de 60 V. Determine la magnitud de las corrientes de carga en un sistema ⌬-⌬ balanceado que tiene una magnitud de corriente de línea de 3.2 A. TRIFÁSICA En esta sección, se estudia la potencia en sistemas trifásicos y se introducen métodos de medición de potencia. Después de completar esta sección, usted debe ser capaz de: ◆ Examinar mediciones de potencia en sistemas trifásicos ◆ Describir el método de tres wattímetros ◆ Describir el método de dos wattímetros Cada fase de una carga trifásica balanceada tiene una cantidad igual de potencia. Por consiguiente, la potencia real total existente en la carga es tres veces la potencia presente en cada fase de la carga. PL(tot) = 3VZIZ cos u donde VZ e IZ son el voltaje y la corriente asociados con cada fase de la carga, y cos u es el factor de potencia. Recuerde que en un sistema conectado en Y balanceado, el voltaje de línea y la corriente de línea eran VL = 13VZ y IL = IZ y en un sistema conectado en ⌬ balanceado, el voltaje de línea y la corriente de línea eran VL = VZ y IL = 13IZ Ecuación 21–13 906 ◆ SISTEMAS TRIFÁSICOS EN APLICACIONES DE POTENCIA Cuando cualesquiera de estas relaciones se sustituyen en la ecuación 21-13, la potencia real total tanto para sistemas conectados en Y como para sistemas conectados en ⌬ es Ecuación 21–14 PL(tot) = 13VLILcos u EJEMPLO 21–8 En cierta carga balanceada conectada en ⌬, los voltajes de línea son de 250 V y las impedancias de 50 ∠ 30° Æ. Determine la potencia total suministrada a la carga. Solución En un sistema conectado en ⌬, VZ ⫽ VL e IL ⫽ ÷ 3IZ. Las magnitudes de la corriente de carga son IZ = VZ 250 V = = 5A Z 50 Æ y IL = 13IZ = 13(5 A) = 8.66 A El factor de potencia es cos u = cos 30° = 0.866 La potencia total suministrada a la carga es PL(tot) = 13VLILcos u = 13(250 V)(8.66 A)(0.866) = 3.25 kW Problema relacionado Determine la potencia total suministrada a la carga si VL ⫽ 120 V y Z ⫽ 100 ∠ 30° Æ. Medición de potencia En los sistemas trifásicos, la potencia se mide con wattímetros. El wattímetro utiliza un movimiento del tipo electrodinamómetro básico compuesto por dos bobinas. Una bobina se usa para medir la corriente, y la otra para medir el voltaje. La figura 21-32 ilustra el diagrama esquemático de un wattímetro básico y las conexiones para medir potencia en una carga. El resistor dispuesto en serie con la bobina de voltaje limita la corriente a través de la bobina a una pequeña cantidad que es proporcional al voltaje presente entre las terminales de la bobina. 1 Bobina de corriente 1 2 2 3 Bobina de voltaje Vs 4 (a) Diagrama de wattímetro 䊱 3 RL 4 (b) Wattímetro conectado para medir potencia suministrada a una carga FIGURA 21–32 Método de tres wattímetros En una carga trifásica balanceada o desbalanceada de tipo Y o de tipo ⌬ se puede medir fácilmente la potencia utilizando tres wattímetros conectados como indica la figura 21-33. Este procedimiento se denomina ocasionalmente método de tres wattímetros. P OTENCIA a 1 TRIFÁSIC A ◆ 907 2 W1 3 Línea 1 4 W2 3 b Z 1 Línea 3 4 2 W3 Línea 1 Za Neutro 2 3 1 W1 3 (a) Carga conectada en Y 䊱 2 3 4 n 2 4 Zb W2 1 Zc Zc c W3 b 4 Za 2 4 (b) Carga conectada en ⌬ FIGURA 21–33 Método de tres wattímetros para medir potencia. La potencia total se determina sumando las tres lecturas de wattímetro. Ecuación 21–15 Ptot = P1 + P2 + P3 Si la carga está balanceada, la potencia total es simplemente tres veces la lectura mostrada por cualquier wattímetro. En muchas cargas trifásicas, sobre todo en la configuración ⌬, es difícil conectar un wattímetro de modo que la bobina de voltaje quede a través de la carga o que la bobina de corriente quede en serie con la carga debido a la falta de acceso a los puntos que están dentro de la carga. Método de dos wattímetros Otro método de medición de potencia trifásica utiliza sólo dos wattímetros. Las conexiones utilizadas para aplicar este método se muestran en la figura 21-34. Observe que la bobina de voltaje de cada wattímetro está conectada a través del voltaje de línea y que la bobina de corriente tiene una corriente de línea a través de ella. Se puede demostrar que la suma algebraica de las dos lecturas de wattímetro es igual a la potencia total presente en la carga conectada en Y o en ⌬. Ecuación 21–16 Ptot = P1 ; P2 䊴 IL Método de dos wattímetros. 1 W1 2 3 VL 4 Carga ⌬oY Entrada trifásica IL 1 W2 4 2 3 FIGURA 21–34 VL 908 ◆ SISTEMAS TRIFÁSICOS EN APLICACIONES DE POTENCIA REPASO DE LA SECCIÓN 21-5 1. VL ⫽ 30 V, IL ⫽ 1.2 A, y el factor de potencia es de 0.257. ¿Cuál es la potencia total en una carga balanceada conectada en Y? ¿En una carga balanceada conectada en ⌬? Tres wattímetros conectados para medir la potencia en cierta carga balanceada indican un total de 2678 W. ¿Cuánta potencia mide cada medidor? 2. RESUMEN ◆ Un generador trifásico simple se compone de tres espiras conductoras separadas por 120°. ◆ Tres ventajas de los sistemas trifásicos sobre los monofásicos son una sección transversal de cobre más ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ TÉRMINOS CLAVE pequeña para la misma potencia suministrada a la carga, una potencia constante suministrada a la carga, y un campo magnético rotatorio constante. En un generador conectado en Y, IL = Iu y VL = 13Vu. En un generador conectado en Y, hay una diferencia de 30° entre cada voltaje de línea y el voltaje de fase más cercano. En un generador conectado en ⌬, VL = Vu y IL = 13Iu. En un generador conectado en ⌬, hay una diferencia de 30° entre cada corriente de línea y la corriente de fase más cercana. Una carga balanceada es una carga donde todas las impedancias son iguales. En una carga trifásica la potencia se mide aplicando o el método de tres wattímetros o el método de dos wattímetros. Los términos clave y otros términos en negritas se definen en el glosario incluido al final del libro. Carga balanceada de cero. Condición en la que todas las corrientes de carga son iguales y la corriente neutra es Corriente de fase (Iu) Corriente a través del devanado de un generador. Corriente de línea (IL) Devanado de campo Corriente a través de una línea que alimenta una carga. Es el devanado en el rotor de un generador de ca. Estator Es la parte externa estacionaria de un generador o motor. Rotor Ensamble rotatorio en un generador o motor. Voltaje de fase (Vu) Es el voltaje entre el devanado de un generador. Voltaje de línea (VL) Voltaje entre las líneas que alimentan una carga. FÓRMULAS Generador en Y 21–1 IL ⴝ IU 21–2 VL ⴝ 13VU Generador en ≤ 21–3 VL ⴝ VU 21–4 IL ⴝ 13IU Sistema Y-Y 21–5 IU ⴝ IL ⴝ IZ 21–6 VU ⴝ VZ Sistema Y- ≤ 21–7 VZ ⴝ VL 21–8 IL ⴝ 13IZ A UTOEVALUACIÓN ◆ 909 Sistema ⌬ a Y 21–9 VU ⴝ 13VZ 21–10 IL ⴝ I Z Sistema ⌬-⌬ 21–11 VU ⴝ VL ⴝ VZ 21–12 IL ⴝ 13IZ Potencia trifásica 21–13 PL(tot) ⴝ 3VZIZ cos U 21–14 PL(tot) ⴝ 13VLILcos U Método de tres wattímetros 21–15 Ptot ⴝ P1 ⴙ P2 ⴙ P3 Método de dos wattímetros 21–16 Ptot ⴝ P1 ⴞ P2 AUTOEVALUACIÓN Las respuestas se encuentran al final del capítulo. 1. En un sistema trifásico, los voltajes están separados en (a) 90° (b) 30° (c) 180° (d) 120° 2. El término jaula de ardilla se aplica a un tipo de (a) generador de ca trifásico (b) generador de ca monofásico (c) motor de ca trifásico (d) motor de cd 3. Dos partes importantes de un generador de ca son (a) rotor y estator (b) rotor y estabilizador (c) regulador y anillo rozante (d) imanes y escobillas 4. Las ventajas de un sistema trifásico sobre uno monofásico son (a) área de sección transversal más pequeña para los conductores de cobre (b) velocidad del rotor más lenta (c) potencia constante (d) menor probabilidad de sobrecalentamiento (e) tanto (a) como (c) (f) tanto (b) como (c) 5. La corriente de fase producida por un generador conectado en Y de 240 V es de 12 A. La corriente de línea correspondiente es de (a) 36 A (b) 4 A (c) 12 A (d) 6 A 6. Cierto generador conectado en ⌬ produce voltajes de fase de 30 V. La magnitud de los voltajes de línea es de (a) 10 V (b) 30 V (c) 90 V (d) ninguno de estos valores 7. Un sistema ⌬-⌬ produce corrientes de fase de 5 A. Las corrientes de línea son de (a) 5 A (b) 15 A (c) 8.66 A (d) 2.87 A 8. Un sistema Y-Y produce corrientes de fase de 15 A. Cada corriente de línea y carga es de (a) 26 A (b) 8.66 A (c) 5 A (d) 15 A 9. Si los voltajes de fase de la fuente de un sistema ⌬-Y son de 220 V, la magnitud de los voltajes de carga es de (a) 220 V (b) 381 V (c) 127 V (d) 73.3 V Preguntas de repaso 12.11 543 Resumen 1. La secuencia de fases es el orden en que las tensiones de fase de un generador trifásico se producen respecto al tiempo. En una secuencia abc de tensiones de fuente balanceadas, Van se adelanta a Vbn en 120°, la que a su vez se adelanta a Vcn en 120°. En una secuencia acb de tensiones balanceadas, Van se adelanta a Vcn en 120°, la que a su vez se adelanta a Vbn en 120°. 2. Una carga balanceada conectada en estrella o en delta es aquella en la que las tres impedancias de las fases son iguales. 3. La manera más fácil de analizar un circuito trifásico balanceado es transformar tanto la fuente como la carga en un sistema Y-Y y después analizar el circuito monofásico equivalente. En la tabla 12.1 se presentó un resumen de las fórmulas de corrientes y tensiones de fase y corrientes y tensiones de línea de las cuatro configuraciones posibles. 4. La corriente de línea IL es la corriente que fluye del generador a la carga en cada línea de transmisión de un sistema trifásico. La tensión de línea VL es la tensión entre cada par de líneas, salvo la línea neutra, si existe. La corriente de fase Ip es la corriente que fluye a través de cada fase en una carga trifásica. La tensión de fase Vp es la tensión de cada fase. En una carga conectada en estrella, VL  3Vp y IL  Ip En una carga conectada en delta, VL  Vp y IL  3Ip 5. La potencia instantánea total en un sistema trifásico balanceado es constante e igual a la potencia promedio. 6. La potencia compleja total absorbida por una carga trifásica balanceada conectada en Y o en  es S  P  jQ  3VLILl ␪ ¬ 7. 8. 9. 10. donde ␪ es el ángulo de las impedancias de carga. Un sistema trifásico desbalanceado puede analizarse aplicando el análisis nodal o de malla. PSpice se usa para analizar circuitos trifásicos de la misma manera que para analizar circuitos monofásicos. La potencia real total se mide en sistemas trifásicos siguiendo ya sea el método de los tres wattímetros o el de los dos wattímetros. En la instalación eléctrica residencial se emplea un sistema monofásico de tres conductores de 120240° V. Preguntas de repaso 12.1 ¿Cuál es la secuencia de fases de un motor trifásico para el cual VAN  220l100° V y VBN  220l140° V? a) abc 12.2 ¬¬ b) acb ¬¬ 12.3 ¿Cuál de las siguientes no es una condición requerida para un sistema balanceado? a) Van  Vbn  Vcn Si en una secuencia de fases acb, Van  100l20°, en¬ ¬ tonces Vcn es: b) Ia  Ib  Ic  0 a) 100l140° d) Las tensiones de fuente están desfasadas 120° entre sí. ¬¬ l c) 100 50° ¬ ¬ b) 100l100° ¬ ¬ l d) 100 10° ¬ ¬ c) Van  Vbn  Vcn  0 e) Las impedancias de carga de las tres fases son iguales. Capítulo 12 544 12.4 En una carga conectada en Y, la corriente de línea y la corriente de fase son iguales. a) Cierto 12.5 12.7 12.8 Cuando una carga conectada en Y se alimenta con tensiones en secuencia de fases abc, las tensiones de línea se atrasan de las correspondientes tensiones de fase en 30°. b) Falso En una carga conectada en , la corriente de línea y la corriente de fase son iguales. a) Cierto 12.6 Circuitos trifásicos a) Cierto 12.9 En un circuito trifásico balanceado, la potencia instantánea total es igual a la potencia promedio. b) Falso En un sistema Y-Y, una tensión de línea de 220 V produce una tensión de fase de: a) 381 V b) 311 V d) 156 V e) 127 V c) 220 V b) Falso a) Cierto b) Falso 12.10 La potencia total suministrada a una carga en  balanceada se determina de la misma manera que en una carga en Y balanceada. a) Cierto b) Falso En un sistema -, una tensión de fase de 100 V produce una tensión de línea de: a) 58 V b) 71 V d) 173 V e) 141 V c) 100 V Respuestas: 12.1a, 12.2a, 12.3c, 12.4a, 12.5b, 12.6e, 12.7c, 12.8b, 12.9a, 12.10a. Problemas1 Sección 12.2 12.1 Tensiones trifásicas balanceadas 220 0° V a) abc a A 10 Ω j5 Ω b B 10 Ω j5 Ω −+ Si Vab  400 V en un generador trifásico balanceado conectado en Y, halle las tensiones de fase, suponiendo que la secuencia de fases es: 220 −120° V n b) acb −+ N ¿Cuál es la secuencia de fases de un circuito trifásico balanceado para el cual Van  160l30° V y Vcn  ¬ ¬ 160l90° V? Halle Vbn. 220 120° V 12.3 Determine la secuencia de fases de un circuito trifásico balanceado en el que Vbn  208l130° V y Vcn  208l10° ¬ ¬ ¬ ¬ V. Obtenga Van. Figura 12.41 Para el problema 12.6. 12.4 Un sistema trifásico con secuencia abc y VL  200 V alimenta a una carga conectada en Y con ZL  40l30° . ¬ ¬ Halle las corrientes de línea. 12.2 12.5 ¬ ¬ En relación con una carga conectada en Y, las expresiones en el dominio temporal (o del tiempo) de tres tensiones línea-neutro en las terminales son: vCN  150 cos (␻t  152°) V Escriba las expresiones en el dominio temporal de las tensiones línea-línea vAB, vBC y vCA. Sección 12.3 12.6 1 Conexión estrella-estrella balanceada En referencia al circuito Y-Y de la figura 12.41, halle las corrientes de línea, las tensiones de línea y las tensiones de carga. C 10 Ω j5 Ω 12.7 Obtenga las corrientes de línea en el circuito trifásico de la figura 12.42. 12.8 En un sistema Y-Y trifásico balanceado, la fuente está en una secuencia abc de tensiones y Van  100l20° V rms. ¬ ¬mientras La impedancia de línea por fase es 0.6  j1.2 , que la impedancia por fase de la carga es 10  j14 . Calcule las corrientes de línea y las tensiones de carga. 12.9 Un sistema Y-Y balanceado de cuatro conductores tiene las tensiones de fase vAN  150 cos (␻t  32°) V vBN  150 cos (␻t  88°) V c −+ Van  120l0°, ¬ Vbn  120l120° Vcn  120l120° V ¬¬ ¬ ¬ La impedancia de carga por fase es 19  j13 , y la impedancia de línea por fase es 1  j2 . Determine las corrientes de línea y la corriente neutra. Recuérdese que, a menos que se indique otra cosa, todas las tensiones y corrientes dadas son valores rms.