¿Cómo utilizar el Teorema de Herbrand
para decidir la validez de razonamientos
en lenguaje de primer orden, en conformidad
con el Teorema de Indecidibilidad de Church?
Franklin Galindo y María Alejandra Morgado
(Universidad Central de Venezuela)
apuntes
UCV
ESCUELA
DE FILOSOFÍA
filosóficos
Vol. 28 No. 55
¿Cómo utilizar el Teorema de Herbrand para decidir la validez de
razonamientos en lenguaje de primer orden, en conformidad con el Teorema
de Indecidibilidad de Church?
How to use the Herbrand’s Theorem to decide the validity of reasoning on
first order language, in accordance whit Church’s Undecidability’s Theorem?
Franklin Galindo y María Alejandra Morgado
(Universidad Central de Venezuela)
Artículo recibido: 22 de octubre de 2019.
Arbitrado: 13 de noviembre de 2019.
Resumen: El objetivo de este artículo es presentar cuatro ejemplos de aplicación del
Teorema de Herbrand para decidir la validez de razonamientos en lenguaje de primer
orden, en conformidad con el Teorema de Indecidibiliad de Church. Y además decir
cuál es el principal problema que se presenta al respecto. En este artículo se trabaja
con el cálculo lógico por resolución1, un método utilizado en inteligencia artificial2.
Palabras clave: Decidibilidad, Herbrand, Indecidibilidad, Church, Cálculo Por
Resolución.
Abstract: This article’s objetive is to present four application examples of
Herbrand’s theorem to decide the validity of reasoning on first order language, in
accordance whit Church’s Undecidability’s theorem. Also, to tell which is the
principal problem around it. The logical resolution calculus will be worked on this
article, which is a method used in artificial intelligence.
Keywords: Undecidability, Herbrand, Church, Resolution Calculus.
1
Vale la pena resaltar que el procedimiento para probar la validez de un razonamiento utilizando el teorema de
Herbrand es independiente de cualquier sistema de cálculo de la lógica proposicional, por ejemplo, cálculo por
resolución, tablas de verdad, forma normal conjuntiva, deducción natural, tablas semánticas, etc.
2
MANZANO, María y HUERTAS, Antonia. Lógica para principiantes, Madrid, Alianza Editorial, 2004.
RUSSELL, Stuart y NORVING, Peter. Inteligencia Artificial. Un enfoque moderno. (2a Ed.), Madrid: Pearson
Educación, S.A, 2004.
Apuntes Filosóficos, Vol. 28 N° 55. ISSN: 1316-7533. Depósito legal: pp 199202 df 275.
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Franklin Galindo y María A. Morgado ¿Cómo utilizar el Teorema de Herbrand para decidir la validez…
Como es bien sabido, la lógica de primer orden es indecidible. La propiedad meta-teórica
de decidibilidad en cualquier sistema deductivo consiste en la presencia de un procedimiento
mecánico o algorítmico que permita decidir, en un número finito de pasos, para una fórmula
cualquiera A, si esa fórmula es o no deducible en el sistema; es decir, si A es, o no, un teorema
formal del sistema; o, en términos semánticos: dada una fórmula A, si ella es válida o no es
válida. Esto fue demostrado por Alonzo Church en 1936 mediante un teorema que, en líneas
generales, establece que “no existe un procedimiento efectivo que permita resolver el problema
de la decisión en la lógica de primer orden”3. De manera que, a la hora de querer demostrar la
validez o invalidez de una fórmula dada en la lógica de primer orden se puede presentar el
problema de la decisión, es decir, la imposibilidad de poder decidir la validez o invalidez de la
fórmula en cuestión.
El teorema de indecidibilidad de Church afirma que la lógica de primer orden, considerada
como un todo es indecidible. Sin embargo, hay que tener en cuenta que hay determinadas zonas
de esta lógica que, considerados de forma aislada, son decidibles. Pero antes de exponer cuáles
son estas zonas de solución parcial positiva al problema de la decisión de la lógica de primer
orden es pertinente presentar unas observaciones generales sobre los métodos de ataque al
problema de la decisión y los criterios de distribución de dichas zonas4.
El teorema de completitud de Kurt Gödel (1930) se puede enunciar de la siguiente manera:
Sea Γ un conjunto de sentencias en un lenguaje L y φ una sentencia, si Γ ⊧ φ, entonces Γ ⊦φ5,
hace posible el paso de la validez (verdad) lógica a la deducibilidad. Ya que allí se afirma que
todas las sentencias válidas de primer orden son deducibles en el sistema axiomático, esto sirve,
en cierto sentido, para abordar el problema de la decisión, ya que si se cuenta con un algoritmo
que determine mecánicamente la validez de una fórmula, entonces se da por resuelto el problema
de la deducibilidad de esa fórmula en función del mencionado paso (que se da de la completitud a
la deducibilidad). Cabe mencionar que la lógica proposicional se presta de esta estrategia
mediante el uso de tablas de verdad, tablas semánticas, forma normal conjuntiva, entre otras. Por
lo tanto, también es útil, en la lógica de primer orden, buscar un método que determine la validez,
3
GARRIDO, Manuel, Lógica Simbólica, Madrid, Editorial Tecnos, 2005. Pp. 357.
Ibíd. p. 357.
5
DA SILVA, Ricardo, El problema de la indecidibilidad de la Lógica de primer orden y el Programa de David
Hilbert, Caracas, Universidad Central de Venezuela, 2014. p. 46.
4
Apuntes Filosóficos, Vol. 28 N° 55. ISSN: 1316-7533. Depósito legal: pp 199202 df 275.
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Franklin Galindo y María A. Morgado ¿Cómo utilizar el Teorema de Herbrand para decidir la validez…
en vez de la deducibilidad, de una fórmula. Dicho método no puede ser el método de tablas de
verdad, ya que no es aplicable a este tipo de lógica. Sin embargo, hay un método que reduce el
problema de establecer la validez de una fórmula en la lógica de primer orden, al problema de
establecer la validez (tautologicidad) de fórmulas enunciativas equivalentes6. Este procedimiento
es el propio de la forma normal prenexa y forma normal de Skolem y es fundamentado por el
teorema de Herbrand y el algoritmo de unificación 7, los cuales se expondrán más adelante.
Por otro lado, el concepto semántico de satisfacibilidad está íntimamente conectado con el
de verdad o validez. Por lo que a veces resulta más fácil contar con un algoritmo que decida la
satisfacibilidad o insatisfacibilidad de una fórmula, que la de directamente la de un algoritmo que
decida directamente la validez. Como en el caso de las tablas semánticas y el cálculo por
resolución, cuyo caso de la lógica de primer orden, deciden la insatisfacibilidad (ausencia de un
contraejemplo) de su negación8. En el presente artículo se utilizará como método de cálculo
lógico para la decisión de validez al cálculo por resolución.
Dicho esto, es pertinente mencionar los criterios de las zonas de distribución parcial del
problema de la decisión en el cálculo de primer orden, los cuales son:
1. La cardinalidad del universo de referencia: Donde la cardinalidad de un universo
(dominio) se entiende por el número de individuos que lo integran. Ésta puede ser finita o
infinita, cuando el universo al que refieren las fórmulas es finita, entonces la lógica de predicados
se reduce a una extensión trivial de la lógica proposicional, y el problema de la decisión, en este
caso, se reduce a un problema de construcción de tablas de verdad. Pero cuando el universo al
que se refieran las fórmulas de la lógica de primer orden tenga una cardinalidad infinita (como en
el caso de la aritmética), entonces se debe tomar en cuenta el segundo factor, explicado a
continuación9.
2. El carácter exclusivamente monádico de los predicados que componen la fórmula:
Dentro de la lógica de primer orden hay que diferenciar dos estratos: La lógica monádica, donde
6
GARRIDO, Manuel, Lógica Simbólica, op. cit. p. 357.
Se pueden encontrar en el libro: NERODE, Anil y SHORE, Richard, Logic for applications, New York, Springer,
(1997).
8
GARRIDO, Manuel, Lógica Simbólica, op. cit. pp. 357-358.
9
Ibíd. p. 358.
7
Apuntes Filosóficos, Vol. 28 N° 55. ISSN: 1316-7533. Depósito legal: pp 199202 df 275.
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Franklin Galindo y María A. Morgado ¿Cómo utilizar el Teorema de Herbrand para decidir la validez…
no se presentan predicados poliádicos; y la lógica poliádica, donde si intervienen estos
predicados. La primera, considerada de forma aislada, es decidible, con cualquiera que sea su
universo de referencia. Un método que permite decidir la lógica de este tipo se explica mediante
el teorema de Löwenheim, el cual permite reducir el problema de decisión al contexto de
universos finitos. Mientras que en la segunda, no existe solución alguna al problema de la
decisión. Sin embargo, hay clases de fórmulas, que aun siendo poliádicas son decidibles, una
investigación de fragmentos decidibles e indecidibles de la lógica de primer orden se realiza
usando forma normal prenexa y observando su prefijo 10. En el texto de Church Introduction to
mathematical logic, en el libro de Hilbert y Ackermann Elementos de la lógica teórica y en el
artículo de Mosterín El problema de la decisión en la lógica de predicados, existen variados
ejemplos de fragmentos decidibles e indecidibles de la lógica de primer orden.
Dicho esto, Manuel Garrido11 desglosa el tema de la solución parcial al problema de la
decisión de la Lógica de primer orden en los siguientes puntos:
Decidibilidad de las fórmulas en un universo finito.
L-validez, n-validez y satisfacibilidad.
Forma normal prenexa.
Decidibilidad de la lógica de primer orden de predicados monádicos (Teorema de
Löwenheim).
Clases de fórmulas decidibles en la lógica de predicados poliádicos. Reducciones del
problema de la decisión.
Teorema de Herbrand
Como ya se mencionó, el teorema de Herbrand es considerado como uno de los
fundamentos que permite resolver parcialmente el problema de la decisión en la lógica de primer
orden (ya que por el teorema de indecidibilidad de Church, no se puede para todos los casos).
Gracias a este teorema se puede relacionar la validez de la lógica de primer orden con la
tautologicidad de la lógica proposicional, es decir, se caracteriza la “validez” de toda la lógica de
10
11
Ibíd. p. 359.
Ibíd. p. 360.
Apuntes Filosóficos, Vol. 28 N° 55. ISSN: 1316-7533. Depósito legal: pp 199202 df 275.
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Franklin Galindo y María A. Morgado ¿Cómo utilizar el Teorema de Herbrand para decidir la validez…
primer orden usando “tautologicidad” en la lógica proposicional, pero de manera no decidible,
pues no se ofrece un algoritmo para calcular lo n términos.
El teorema que se usa (que se demuestra usando el teorema de Herbrand) 12 es el siguiente:
Teorema: Sea φ una sentencia en forma normal prenexa en un lenguaje L (del cálculo de
predicados poliádicos sin identidad), ψ una prenexa equivalente de ¬ φ y θ ( ⃗ ) una Skolemizacion
abierta de ψ en el lenguaje L’. Entonces φ es válida si y solo si hay términos
…
, de L’ tal
que ¬ θ ( ) ˅…˅ ¬ θ ( ) es una tautología.
Más adelante se presentará una aplicación de este teorema para la decisión de validez de
cuatro fórmulas en lenguaje de primer orden. En dichos ejemplos se buscará reducir dicho
lenguaje al de la Lógica proposicional para luego aplicar uno de los métodos de decisión de
validez propios de esta (en este caso el cálculo por resolución).
Cálculo por resolución
El cálculo por resolución es un método para calcular la validez de un razonamiento basado
en la refutación. Por lo tanto, para demostrar que C se deriva de Γ, se demuestra que ΓU{¬C} es
insatisfacible. Es decir, que se trata de derivar una contradicción a partir de ΓU{¬C},
construyendo una cadena de razonamiento donde el paso de una fórmula a otra se hace aplicando
una regla deductiva, llamada regla de resolución. Dicha regla refleja un principio de
razonamiento informal y para obtener la contradicción se habrá de construir una cadena de
razonamiento o esquema de razonamiento utilizando esa regla 13.
Como este cálculo se presta únicamente de una regla deductiva, las fórmulas a demostrar se
habrán de convertir a una forma especial, de modo que permita su aplicación. Por lo tanto, antes
de correr cualquier prueba, se deben modificar las fórmulas de ΓU{¬C} con unas reglas de
conversión. La forma especial de la fórmula se llama forma clausular, la cual consiste en la
12
La versión original del Teorema de Herbrand no se expone en el presente artículo. El que se presenta aquí se
demuestra usando el Teorema de Herbrand (cuya formulación y demostración puede encontrarse en el texto de
Nerode Anil y Shore Richard. Logic for applications. New York: Springer, 1997, entre otros) y que precisamente es
la respuesta a la pregunta ¿cómo utilizar el teorema de Herbrand para decidir la validez de razonamientos en primer
orden, en conformidad con el teorema de indecibilidad de Church? por lo tanto la versión utilizada es suficiente para
el objetivo planteado.
13
MANZANO, María y HUERTAS, Antonia, Lógica para principiantes, op. cit. p. 350.
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Franklin Galindo y María A. Morgado ¿Cómo utilizar el Teorema de Herbrand para decidir la validez…
conjunción de todas las cláusulas de una fórmula A. Una cláusula es una fórmula con forma
lógica de disyunción y donde sus componentes son literales (esto es, fórmulas atómicas o la
negación de ellas). La cláusula [⊥] se llama contradicción o cláusula vacía14.
Para construir una prueba se hace primero una conversión de las fórmulas a su forma
clausular, o también llamada forma normal conjuntiva (FNC), la cual es definida por Manzano y
Huertas de la siguiente manera: una fórmula está en forma normal conjuntiva si y solo si es de la
forma
A1 ˄ A2 ˄… ˄ An
Con n ≥ 1, donde cada Ai (para cada i ϵ {1,…, n}) es una disyunción de literales.
Según las autoras15 este cálculo tiene las siguientes características:
Es un procedimiento simple y mecanizable que permite probar la validez de una fórmula
por medio de la refutación de la misma.
Permite probar la inconsistencia de un conjunto de fórmulas al mostrar que la
conjunción de sus fórmulas es insatisfacible.
Es útil para verificar si una fórmula φ es consecuencia de un conjunto de premisas Γ
construyendo una prueba por refutación de ΓU{¬ φ}.
Tiene como única regla deductiva a la regla de resolución, la cual es la misma que en la
lógica proposicional, a saber: de A ˅ B y ¬A ˅ C, se deduce B ˅ C.
Es importante mencionar que Robinson (creador de este cálculo) se sirvió del Teorema de
Herbrand para fundamentar su principio de resolución. Dicho fundamento consiste en establecer
que, si una fórmula es satisfacible, es posible calcular para las cláusulas correspondientes un
modelo determinado llamado “modelo de Herbrand”, que las satisface. Si se demuestra por
resolución que ese conjunto de cláusulas no tiene modelo de Herbrand, entonces la fórmula
original no es satisfacible. Por lo tanto, el método por resolución puede funcionar para establecer
14
15
Ibíd. p. 350.
Ibíd. p. 350.
Apuntes Filosóficos, Vol. 28 N° 55. ISSN: 1316-7533. Depósito legal: pp 199202 df 275.
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Franklin Galindo y María A. Morgado ¿Cómo utilizar el Teorema de Herbrand para decidir la validez…
por refutación la validez o invalidez de muchas (pero no todas) inferencias de lógica de
predicados16.
Aplicación del Teorema de Herbrand a cuatro ejemplos de la Lógica de primer orden
Ahora bien, la transformación de una fórmula en lenguaje de primer orden a su equivalente
en lenguaje proposicional, tomando como fundamento al Teorema de Herbrand, se puede
efectuar de la siguiente manera:
1. Convertir la fórmula a su forma normal prenexa (FNP), esto es, normalizar los
cuantificadores de manera que queden al inicio de cada fórmula 17. Es decir, una fórmula α está en
FNP si, y solo si, α tiene la siguiente forma:
Q1x1,…, Qnxnβ
Donde Q1,…, Qn son cuantificadores, bien sea universales o existenciales; x1,…, xn son
variables y β es una fórmula libre de cuantificadores. De esta forma, la reunión de cuantificadores
al inicio de la fórmula se le denomina prefijo, mientras que β recibe el nombre de matriz. Por otro
lado, los cuantificadores de una FNP no está negados y el alcance de estos afecta a toda la
fórmula18.
Es pertinente mencionar que existe un teorema que afirma que para toda fórmula α
cuantificacional existe una fórmula θ en FNP que es equivalente α. Una demostración del mismo
puede encontrarse en Introduction to mathematical logic de Mendelson.19
Ahora bien, tomando como referencia a Da Silva 20 y a Garrido21, a continuación se
expondrá un procedimiento que permite trasformar una fórmula de la Lógica de primer orden a
su FNP:
a) Se deben eliminar todos los implicadores y coimplicadores en función de las leyes de
definición de implicador y eliminación de coimplicador, las cuales son:
16
Garrido Manuel, Lógica Simbólica, op. cit. p. 431.
Ibíd. p. 362
18
Da Silva Ricardo, El problema de la indecidibilidad de la Lógica de primer orden…, op. cit. pp. 102- 103.
19
Ibíd. p. 103.
20
Ibíd. pp. 103- 105.
21
GARRIDO, Manuel, Lógica Simbólica, op. cit. pp. 362- 364.
17
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Franklin Galindo y María A. Morgado ¿Cómo utilizar el Teorema de Herbrand para decidir la validez…
(R1) A↔ B ↔ [(A→ B) ˄ (B→ A)]
(R2) A→ B ↔ ¬(A ˄¬B)
(R3) A→ B ↔ (¬A ˅ B)
b) Se interiorizan los negadores que afecten directamente a los cuantificadores, para ello se
consideran las leyes de negación de cuantificadores, a saber:
(R4) ¬xPx ↔ Ǝx ¬Px
(R5) ¬ƎxPx ↔ x¬Px
c) Se interiorizan los negadores que ocurran como resultado de las anteriores
transformaciones, con la finalidad de que cada negador quede directamente adosado a una
fórmula atómica. Para llevar a cabo este paso, se debe recurrir a las leyes de De Morgan:
(R6) ¬(A ˄ B) ↔ ¬A ˅ ¬B
(R7) ¬(A ˅ B) ↔ ¬A ˄ ¬B
d) Se exteriorizan los cuantificadores existentes respecto a toda conjunción y disyunción,
considerando las cuatro reglas de distribución condicionada de cuantificador en conjunción y
disyunción, a saber:
(R8)Dist.Cond.G-˄: A ˄ xPx ↔ x (A ˄ Px)
(R9)Dist.Cond.P-˄: A ˄ ƎxPx ↔ Ǝx (A ˄ Px)
(R10)Dist.Cond.G-˅: A ˅xPx ↔ x (A ˅Px)
(R11)Dist.Cond.P-˅: A ˅ƎxPx ↔ Ǝx (A ˅Px)
Cabe acotar que para la aplicación de estas cuatro leyes se debe cumplir la condición de que
x no esté como variable libre en A. Si este fuera el caso se deben aplicar previamente las reglas
de mutación de variables ligadas, con la finalidad de que una tal ocurrencia de x no sea capturada
por el cuantificador a exteriorizar, dichas reglas son:
(R12)MVG: xPx ↔ yPy
(R13)MVP: ƎxPx ↔ ƎyPy
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Franklin Galindo y María A. Morgado ¿Cómo utilizar el Teorema de Herbrand para decidir la validez…
e) Con la finalidad de reducir la fórmula lo más que se pueda, se emplearán también las
reglas de eliminación de la doble negación y la ley conmutativa de la conjunción y de la
disyunción:
(R14) ¬¬A ↔ A
(R15) A ˄ B ↔ B ˄ A
(R16) A ˅ B ↔ B ˅ A
f) Este paso es opcional y puede aplicarse para mantener la simpleza en el lenguaje de las
fórmulas a normalizar a cambio de aumentar el número de reglas de transformación. Con esto se
puede omitir el primer paso en pro de la introducción de las siguientes reglas:
(R17) Dist.Cond.G→1: x (A → Px) ↔ (A → xPx)
(R18) Dist.Cond.P→1: (A → ƎxPx) ↔ Ǝx (A → Px)
(R19) Dist.Cond.P→2: (xPx→A) ↔ Ǝx (Px→ A)
(R20) Dist.Cond.G→2: (ƎxPx→A) ↔ x (Px → A)
(R21) DGC: x (Px ˄ Qx) ↔ xPx ˄ xQx
(R22) DPD: Ǝx (Px˅Qx) ↔ ƎxPx v ƎxQx
(R23) DPI1: Ǝx (Px → Qx) → (xPx → ƎxQx)
El procedimiento para calcular la FNP de una fórmula es efectivamente calculable, es decir,
que el mismo termina tras un número finito de pasos. Esto se debe a que la fórmula inicial cuenta
con elementos finitos, así como también es finito el número de reglas a aplicar22. Para
comprender mejor el procedimiento acabado de explicar se expondrán algunos ejemplos a
continuación:
Ejemplo 1. Encontrar la FNP de la siguiente fórmula:
[x(Qx → Rx) ˄ x(Px → Qx)] → x(Px → Rx)
22
1) [x(Qx → Rx) ˄ x(Px → Qx)] → x(Px → Rx)
Fórmula inicial
2) ¬[x(¬Qx˅Rx) ˄ x(¬Px˅Qx)] ˅x(¬Px˅Rx)
(R3)
DA SILVA, Ricardo, El problema de la indecidibilidad de la Lógica de primer orden…,op. cit. p. 105.
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Franklin Galindo y María A. Morgado ¿Cómo utilizar el Teorema de Herbrand para decidir la validez…
3) [¬x(¬Qx˅Rx) ˅¬x(¬Px˅Qx)]˅x(¬Px˅Rx)
(R6)
4) [Ǝx¬ (¬Qx˅Rx) ˅Ǝx¬ (¬Px˅¬Qx)]˅x(¬Px˅Rx)
(R4)
5) [Ǝx (¬¬Qx˄¬Rx) ˅Ǝx (¬¬Px˄¬Qx)]˅x(¬Px˅Rx)
(R7)
6) [Ǝx (Qx˄¬Rx) ˅Ǝx (Px˄¬Qx)]˅x(¬Px˅Rx)
(R14)
7) [Ǝx (Qx˄¬Rx) ˅Ǝy (Py˄¬Qy)]˅x(¬Px˅Rx)
(R13) x/y
8) [Ǝx (Qx˄¬Rx) ˅Ǝy (Py˄¬Qy)]˅z(¬Pz˅Rz)
(R12) x/z
9) z[Ǝx (Qx˄¬Rx) ˅Ǝy (Py˄¬Qy)˅ (¬Pz˅Rz)]
(R10)
10) zƎy[Ǝx (Qx˄¬Rx) ˅ (Py˄¬Qy)˅ (¬Pz˅Rz)]
(R11)
11) zƎyƎx[(Qx˄¬Rx) ˅ (Py˄¬Qy)˅ (¬Pz˅Rz)]
(R11) FNP
Ejemplo 2. Encontrar la FNP de la siguiente fórmula:
[x(Qx → ¬Rx) ˄ x(Px → Qx)] → x(Px → ¬Rx)
1) [x(Qx → ¬Rx) ˄ x(Px → Qx)] → x(Px → ¬Rx)
Fórmula inicial
2) ¬[x(¬Qx˅¬Rx) ˄ x(¬Px˅Qx)] ˅x(¬Px˅¬Rx)
(R3)
3) [¬x(¬Qx˅¬Rx) ˅¬x(¬Px˅Qx)]˅x(¬Px˅¬Rx)
(R6)
4) [Ǝx¬ (¬Qx˅¬Rx) ˅Ǝx¬ (¬Px˅Qx)]˅x(¬Px˅¬Rx)
(R4)
5) [Ǝx (¬¬Qx˄¬¬Rx) ˅Ǝx (¬¬Px˄¬Qx)]˅x(¬Px˅¬Rx)
(R7)
6) [Ǝx (Qx˄Rx) ˅Ǝx (Px˄¬Qx)]˅x(¬Px˅¬Rx)
(R14)
7) [Ǝx (Qx˄Rx) ˅Ǝy (Py˄¬Qy)]˅x(¬Px˅¬Rx)
(R13) x/y
8) [Ǝx (Qx˄Rx) ˅Ǝy (Py˄¬Qy)]˅z(¬Pz˅¬Rz)
(R12) x/z
9) z[Ǝx (Qx˄Rx) ˅Ǝy (Py˄¬Qy)˅ (¬Pz˅Rz)]
(R10)
10) zƎy[Ǝx (Qx˄Rx) ˅ (Py˄¬Qy)˅ (¬Pz˅¬Rz)]
(R11)
11) zƎyƎx[(Qx˄Rx) ˅ (Py˄¬Qy)˅ (¬Pz˅¬Rz)]
(R11) FNP
Ejemplo 3. Encontrar la FNP de la siguiente fórmula:
[x(Qx → Rx) ˄ Ǝx(Px ˄ Qx)] → Ǝx(Px ˄ Rx)
1) [x(Qx → Rx) ˄ Ǝx(Px ˄ Qx)] → Ǝx(Px ˄ Rx)
Fórmula inicial
2) ¬[x(¬Qx ˅ Rx) ˄ Ǝx(Px ˄ Qx)] ˅ Ǝx(Px ˄ Rx)
(R3)
3)
[¬x(¬Qx ˅ Rx) ˅ ¬Ǝx(Px ˄ Qx)] ˅ Ǝx(Px ˄ Rx)
(R6)
Apuntes Filosóficos, Vol. 28 N° 55. ISSN: 1316-7533. Depósito legal: pp 199202 df 275.
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Franklin Galindo y María A. Morgado ¿Cómo utilizar el Teorema de Herbrand para decidir la validez…
4) [Ǝx¬ (¬Qx ˅ Rx) ˅ x¬ (Px ˄ Qx)] ˅ Ǝx(Px ˄ Rx)
(R5) y (R4)
5) [Ǝx (¬¬Qx ˄ ¬Rx) ˅ x (¬Px ˅ ¬Qx)] ˅ Ǝx(Px ˄ Rx)
(R7) y (R6)
6) [Ǝx (Qx ˄ ¬Rx) ˅ x (¬Px ˅ ¬Qx)] ˅ Ǝx(Px ˄ Rx)
(R14)
7) [Ǝx (Qx ˄ ¬Rx) ˅ y (¬Py ˅ ¬Qy)] ˅ Ǝx(Px ˄ Rx)
(R12) x/y
8) [Ǝx (Qx ˄ ¬Rx) ˅ y (¬Py ˅ ¬Qy)] ˅ Ǝz(Pz ˄ Rz)
(R13) x/z
9) Ǝz [Ǝx (Qx ˄ ¬Rx) ˅ y (¬Py ˅ ¬Qy) ˅ (Pz ˄ Rz)]
(R11)
10) Ǝzy[Ǝx (Qx ˄ ¬Rx) ˅ (¬Py ˅ ¬Qy) ˅ (Pz ˄ Rz)]
(R10)
11) ƎzyƎx[(Qx ˄ ¬Rx) ˅ (¬Py ˅ ¬Qy) ˅ (Pz ˄ Rz)]
(R11)FNP
Ejemplo 4. Encontrar la FNP de la siguiente fórmula:
[x(Qx → ¬Rx) ˄ Ǝx(Px ˄ Qx)] → Ǝx(Px ˄ ¬Rx)
1) [x(Qx → ¬Rx) ˄ Ǝx(Px ˄ Qx)] → Ǝx(Px ˄ ¬Rx)
Fórmula inicial
2) ¬[x(¬Qx ˅ ¬Rx) ˄ Ǝx(Px ˄ Qx)] ˅ Ǝx(Px ˄ ¬Rx)
(R3)
3) [¬x(¬Qx ˅ ¬Rx) ˅ ¬Ǝx(Px ˄ Qx)] ˅ Ǝx(Px ˄ ¬Rx)
(R6)
4) [Ǝx¬(¬Qx ˅ ¬Rx) ˅ x¬(Px ˄ Qx)] ˅ Ǝx(Px ˄ ¬Rx)
(R4) y (R5)
5) [Ǝx(¬¬Qx ˄ ¬¬Rx) ˅ x(¬Px ˅ ¬Qx)] ˅ Ǝx(Px ˄ ¬Rx)
(R4) y (R5)
6) [Ǝx(Qx ˄ Rx) ˅ x(¬Px ˅ ¬Qx)] ˅ Ǝx(Px ˄ ¬Rx)
(R14)
7) [Ǝx(Qx ˄ Rx) ˅ y(¬Py ˅ ¬Qy)] ˅ Ǝx(Px ˄ ¬Rx)
(R12) x/y
8) [Ǝx(Qx ˄ Rx) ˅ y(¬Py ˅ ¬Qy)] ˅ Ǝz(Pz ˄ ¬Rz)
(R13) x/z
9) Ǝz [Ǝx(Qx ˄ Rx) ˅ y(¬Py ˅ ¬Qy) ˅ (Pz ˄ ¬Rz)]
(R11)
10) Ǝzy[Ǝx(Qx ˄ Rx) ˅ (¬Py ˅ ¬Qy) ˅ (Pz ˄ ¬Rz)]
(R10)
11) ƎzyƎx[(Qx ˄ Rx) ˅ (¬Py ˅ ¬Qy) ˅ (Pz ˄ ¬Rz)]
(R11) FNP
2. Una vez obtenida la FNP de la fórmula en cuestión, se procederá a negarla. De esta
manera, la FNP negada de los cuatro ejemplos anteriores sería:
Ejemplo 1: ¬zƎyƎx[(Qx˄¬Rx) ˅ (Py˄¬Qy)˅¬Pz˅Rz]
Ejemplo 2: ¬zƎyƎx[(Qx˄Rx) ˅ (Py˄¬Qy)˅¬Pz˅¬Rz]
Ejemplo 3: ¬ƎzyƎx[(Qx ˄ ¬Rx) ˅ ¬Py ˅ ¬Qy ˅ (Pz ˄ Rz)]
Ejemplo 4: ¬ƎzyƎx[(Qx ˄ Rx) ˅ ¬Py ˅ ¬Qy ˅ (Pz ˄ ¬Rz)]
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3. Una vez negada la FNP se procede a introducir el negador a la matriz, de manera que
ningún cuantificador quede atado a una negación. Para llevar a cabo este paso se utilizan las
reglas (R4) y (R5) según convenga. Siguiendo los mismo ejemplos:
Ejemplo 1:
¬zƎyƎx[(Qx˄¬Rx) ˅ (Py˄¬Qy)˅¬Pz˅Rz]
FNP negada
Ǝz¬ƎyƎx[(Qx˄¬Rx) ˅ (Py˄¬Qy)˅¬Pz˅Rz]
(R4)
Ǝzy¬Ǝx[(Qx˄¬Rx) ˅ (Py˄¬Qy)˅¬Pz˅Rz]
(R5)
Ǝzyx¬ [(Qx˄¬Rx) ˅ (Py˄¬Qy)˅¬Pz˅Rz]
(R5)
Ejemplo 2:
¬zƎyƎx[(Qx˄Rx) ˅ (Py˄¬Qy)˅¬Pz˅¬Rz]
FNP negada
Ǝz¬ƎyƎx[(Qx˄Rx) ˅ (Py˄¬Qy)˅¬Pz˅¬Rz]
(R4)
Ǝzy¬Ǝx[(Qx˄Rx) ˅ (Py˄¬Qy)˅¬Pz˅¬Rz]
(R5)
Ǝzyx¬ [(Qx˄Rx) ˅ (Py˄¬Qy)˅¬Pz˅¬Rz]
(R5)
Ejemplo 3:
¬ƎzyƎx[(Qx ˄ ¬Rx) ˅ (¬Py ˅ ¬Qy) ˅ (Pz ˄ Rz)]
FNP negada
z¬yƎx[(Qx ˄ ¬Rx) ˅ ¬Py ˅ ¬Qy ˅ (Pz ˄ Rz)]
(R5)
zƎy¬Ǝx[(Qx ˄ ¬Rx) ˅ ¬Py ˅ ¬Qy ˅ (Pz ˄ Rz)]
(R4)
zƎyx¬ [(Qx ˄ ¬Rx) ˅ ¬Py ˅ ¬Qy ˅ (Pz ˄ Rz)]
(R5)
Ejemplo 4:
¬ƎzyƎx[(Qx ˄ Rx) ˅ ¬Py ˅ ¬Qy ˅ (Pz ˄ ¬Rz)]
FNP negada
z ¬yƎx[(Qx ˄ Rx) ˅ ¬Py ˅ ¬Qy ˅ (Pz ˄ ¬Rz)]
(R5)
z Ǝy¬Ǝx[(Qx ˄ Rx) ˅ ¬Py ˅ ¬Qy ˅ (Pz ˄ ¬Rz)]
(R4)
z Ǝyx¬ [(Qx ˄ Rx) ˅ ¬Py ˅ ¬Qy ˅ (Pz ˄ ¬Rz)]
(R5)
4. El siguiente paso es eliminar los cuantificadores existenciales por medio de una técnica
de normalización expuesta por el lógico Thoralf Skolem (1887-1963). Dicha técnica establece
que, si el cuantificador existencial no va precedido de ningún cuantificador universal que lo
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incluya en su alcance, este puede eliminarse, sustituyendo su variable ligada por un parámetro o
nombre nuevo de individuo, el cual se le llama constante de Skolem. Por su parte, si el existencial
va precedido por uno o más cuantificadores universales que lo incluyen en su alcance, este puede
eliminarse sustituyendo su variable ligada por un nombre nuevo de función cuyos argumentos
sean la o las variables a las que afecten los referidos cuantificadores (función de Skolem)23. Por
ejemplo:
ƎxyPxy se reescribe yPay
xƎyPxy se reescribe yPxf(x)
xyƎzPxyz se reescribe xyPxyf(x, y)24.
En honor a su creador, dicho proceso se le llama skolemización. Cabe destacar que la
fórmula resultante no es equivalente lógicamente a la original. Sin embargo, se podría decir que
su potencialidad deductiva, o mejor dicho refutativa le es al menos equivalente. Es decir, que si la
fórmula inicial es inconsistente, y por lo tanto, insatisfacible, entonces su resultante también lo
será. Por lo que bastará para establecer la prueba por refutación25.
La skolemización de las cuatro fórmulas expuestas en los ejemplos anteriores sería:
Ejemplo 1:
Ǝzyx ¬ [(Qx˄¬Rx) ˅ (Py˄¬Qy)˅¬Pz˅Rz]
Skolemización: yx ¬ [(Qx˄¬Rx) ˅ (Py˄¬Qy)˅¬Pa˅ Ra]
Ejemplo 2:
Ǝzyx¬ [(Qx˄Rx) ˅ (Py˄¬Qy)˅¬Pz˅¬Rz]
Skolemización:yx¬ [(Qx˄Rx) ˅ (Py˄¬Qy)˅¬Pa˅¬Ra]
Ejemplo 3:
zƎyx ¬ [(Qx ˄ ¬Rx) ˅ ¬Py ˅ ¬Qy ˅ (Pz ˄ Rz)]
Skolemización: zx ¬ [(Qx ˄ ¬Rx) ˅ ¬Pf(z) ˅ ¬Qf(z) ˅ (Pz ˄ Rz)]
23
GARRIDO, Manuel. Lógica Simbólica, op. cit.
Ibíd.
25
Ibíd.
24
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Franklin Galindo y María A. Morgado ¿Cómo utilizar el Teorema de Herbrand para decidir la validez…
Ejemplo 4:
z Ǝyx¬ [(Qx ˄ Rx) ˅ ¬Py ˅ ¬Qy ˅ (Pz ˄ ¬Rz)]
Skolemización: z x¬ [(Qx ˄ Rx) ˅ ¬Pf(z) ˅ ¬Qf(z)˅ (Pz ˄ ¬Rz)]
5. Una vez eliminado los existenciales, por medio de la skolemización, los universales
pueden ser omitidos considerando por implícita o supuesta su presencia 26. Siguiendo con los
mismos ejemplos:
Ejemplo 1: ¬ [(Qx˄¬Rx) ˅ (Py˄¬Qy)˅¬Pa˅ Ra]
Ejemplo 2: ¬ [(Qx˄Rx) ˅ (Py˄¬Qy)˅¬Pa˅¬Ra]
Ejemplo 3: ¬ [(Qx ˄ ¬Rx) ˅ ¬Pf(z) ˅ ¬Qf(z) ˅ (Pz ˄ Rz)]
Ejemplo 4:¬ [(Qx ˄ Rx) ˅ ¬Pf(z) ˅ ¬Qf(z)˅ (Pz ˄ ¬Rz)]
6. El próximo paso consiste en la sustitución y unificación. La sustitución consiste en
cambiar los símbolos de variables por términos (constante individual, otra variable individual o
una función). Debe hacerse de manera uniforme, es decir, por el mismo término en todas las
ocurrencias de la variable sustituida en la cláusula donde tiene lugar la operación. Al momento de
sustituir hay que tener en cuenta que el término que vaya a sustituir no incluya variables ya
presentes en la cláusula en la que va a entrar27. Otra forma de definir esta operación es como una
función donde a cada término, a cada variable y a cada expresión se le asigna una nueva
expresión que resulta de sustituir la variable por el término en la expresión original. Normalmente
esta operación consiste en borrar la variable y poner en su lugar a un término 28.
Por su parte, la unificación29 se aplica cuando se presenta un conjunto de cláusulas que hay
que transformar mediante una serie de sustituciones para poder aplicarles la resolución. Se dice
que dos expresiones son unificables si hay alguna sustitución que permite convertirlas en
idénticas y se le llama unificador a la sustitución que lo consigue 30. En otras palabras, unificar
dos expresiones skolemizadas consiste en aplicar una sustitución que permita hacerlas idénticas o
26
Ibíd.
Ibíd. p. 427.
28
MANZANO, María y HUERTAS, Antonia, Lógica para principiantes, op. cit. p. 352.
29
Este es el principal problema que se presenta en el momeno de aplicar el Teorema de Herbrand.
30
GARRIDO, Manuel, Lógica Simbólica, op. cit. P. 427.
27
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adecuadas para aplicar la regla de resolución. Por su parte, un unificador es una secuencia de
sustituciones que unifica las expresiones de las cláusulas.31
La mecanización del método de unificación, que a su vez supone el de sustitución, fue la
pieza clave que hizo posible que Robinson pusiera en práctica con éxito su principio de
resolución. El algoritmo de unificación permite hallar el unificador general máximo de dos
expresiones, el cual las convierte en sintácticamente idénticas. Es importante tener en cuenta que
puede darse el caso de que dos expresiones no sean unificables. Por ejemplo, los términos f(f(x))
y f(g(g(z)) no lo son porque no existe una sustitución que los convierta en sintácticamente
idénticos. Por otro lado, también pueden haber casos en los cuales haya más de un unificador,
por ejemplo, en las clausulas Qwz y Qwb son unificables por las sustitución z/b y también
mediante la sustitución w/b, z/b32.
Es importante tener en cuenta que en la unificación solo se pueden sustituir variables. Es
decir, una variable se puede sustituir por una constante, por una función o por otra variable. La
excepción a la sustitución de una variable por cualquier término es que esta no puede sustituirse
por una función de ella misma 33, por ejemplo, la variable x no puede sustituirse por f(x).
Un tratamiento riguroso de la unificación, el cual describe un algoritmo para realizar la
misma y también presenta la prueba de que dicho algoritmo siempre termina en algún paso finito
n que pertenece a lo naturales, se puede encontrar en el texto de Nerode y Shore34. Como es de
suponer, tal algoritmo no siempre logra unificar, a veces termina presentando el mejor resultado
posible (que no es una unificación).
Retomando los ejemplos, el paso de unificación y sustitución se llevaría a cabo de la
siguiente manera:
Ejemplo 1: ¬ [(Qx˄¬Rx) ˅ (Py˄¬Qy)˅ ¬Pa˅ Ra]
31
MANZANO, María y HUERTAS, Antonia, Lógica para principiantes, op. cit. p. 352
GARRIDO, Manuel, Lógica Simbólica, op. cit. pp. 427-428.
33
MANZANO, María y HUERTAS, Antonia, Lógica para principiantes, op. cit. p. 352.
34
NERODE, Anil. y SHORE, Richard. Logic for applications. New York: Springer. (1997).
32
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En este caso se deben unificar las expresiones Qxy ¬Qy; ¬Rxy Ra; ¬Pay Py. Para ello se
debe sustituir la variable x por el término a, así como también la variable y por el término a, de
manera que:
}
Por lo tanto, las cláusulas finales unificadas son:
¬ [(Qa˄¬Ra) ˅ (Pa˄¬Qa)˅ ¬Pa˅ Ra]
Ejemplo 2: ¬ [(Qx˄Rx) ˅ (Py˄¬Qy)˅ ¬Pa˅¬Ra]
En este caso se deben unificar las expresiones Qxy ¬Qy; Rxy ¬Ra; ¬Pay Py. Como en el
ejemplo anterior, se debe sustituir la variable x por el término a, así como también la variable y
por el término a, de manera que:
}
Por lo tanto, las cláusulas finales unificadas son:
¬ [(Qa˄ Ra) ˅ (Pa˄¬Qa)˅ ¬Pa˅¬Ra]
Ejemplo 3: ¬ [(Qx ˄ ¬Rx) ˅ ¬Pf(z) ˅ ¬Qf(z) ˅ (Pz ˄ Rz)]
En este caso se deben unificar las expresiones Qx y ¬Qf(z); ¬Rx y Rz; ¬Pf(z)y Pz. Para
ello, se debe hacer la siguiente sustitución:
( )
}
( )
Sin embargo, estas expresiones no van a poder unificarse ya que una variable no puede ser
sustituida por una función de ella misma. Asimismo, la función f(z) no puede ser sustituida por un
término, otra variable o por otra función, ya que son las variables las únicas que pueden ser
sustituidas.
Ejemplo 4: ¬ [(Qx ˄ Rx) ˅ ¬Pf(z) ˅ ¬Qf(z)˅ (Pz ˄ ¬Rz)]
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En este caso se deben unificar las expresiones Qx y ¬Qf(z); Rx y ¬Rz; ¬Pf(z)y Pz. Para
ello, se debe hacer la misma sustitución que en el ejemplo anterior, a saber:
( )
}
( )
Estas expresiones tampoco van a poder unificarse por la misma razón expuesta
anteriormente.
En estos dos últimos ejemplos se puede observar el carácter no decidible del procedimiento
para calcular los términos. Esto significa que el método por unificación no es suficiente para
encontrar los términos a sustituir y el hecho de encontrarlos puede ser una tarea muy complicada
de hacer, tanto para los humanos como para las máquinas.
Decisión de validez utilizando cálculo por resolución
Una vez transformadas las fórmulas de primer orden a un lenguaje proposicional, utilizando
como fundamento al Teorema de Herbrand, se procederá a demostrar si las fórmulas en cuestión
son válidas o no, mediante un procedimiento de decisión propio de la Lógica proposicional, a
saber, el cálculo por resolución.
Para ello, la fórmula resultante debe transformarse a su FNC. Para ello, se tomará en cuenta
el algoritmo presentado en Garrido para la lógica proposicional. Sin embargo, en este caso se va a
omitir el paso de eliminación de las implicaciones y coimplicaciones ya que estas fueron
eliminadas mediante el cálculo de la FNP. Dicho procedimiento consiste en:
a. Normalizar los negadores. Esto es interiorizar los negadores que ocurran en el resultado
de las anteriores transformaciones, de manera que cada negador afecte directamente a una
fórmula atómica. Para ello se usarán las leyes de De Morgan y la de doble negación:
¬(A ˄ ¬B) ↔ ¬A ˅ ¬B ley de De Morgan
(¬A ˅ B) ↔ ¬A ˄ ¬B
ley de De Morgan
¬¬ A ↔ A
Doble negación
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b. Exteriorizar los conjuntores, en todas sus ocurrencias, fuera de los paréntesis. Esto se
hace mediante la ley de distribución del disyuntor en cualquiera de estas dos formas:
A˅ (B ˄ C) ↔ (A ˅ B) ˄ (A ˅ C)
(A ˄ B) ˅ C ↔ (A ˅ C) ˄ (B ˅ C)
Tomando en cuenta los cuatro ejemplos anteriores el cálculo de su FNC sería:
Ejemplo 1:
1. ¬ [(Qa˄¬Ra) ˅ (Pa˄¬Qa)˅ ¬Pa˅ Ra]
2. ¬ (Qa ˄ ¬Ra) ˄ ¬ (Pa ˄ ¬Qa) ˄ ¬ ¬Pa ˄ ¬Ra)
(R7)
3. (¬Qa ˅ ¬¬Ra) ˄ (¬Pa ˅ ¬¬Qa) ˄ Pa ˄ ¬Ra
(R6)
4. (¬Qa˅ Ra) ˄ (¬Pa˅Qa)˄Pa˄¬Ra
(R14). FNC de 1
Ejemplo 2:
1. ¬ [(Qa˄ Ra) ˅ (Pa˄¬Qa)˅ ¬Pa˅¬Ra]
2. ¬ (Qa˄ Ra) ˄¬ (Pa˄¬Qa)˄ ¬ ¬Pa˄¬¬Ra
(R7)
3. (¬Qa˅¬Ra) ˄ (¬Pa˅¬¬Qa)˄ Pa˄ Ra
(R6)
4. (¬Qa˅¬Ra) ˄ (¬Pa˅Qa)˄ Pa˄ Ra
(R14). FNC de 1
Ejemplo 3:
1. ¬ [(Qx ˄ ¬Rx) ˅ (¬Pf(z) ˅ ¬Qf(z)) ˅ (Pz ˄ Rz)]
2. ¬(Qx ˄ ¬Rx) ˄ ¬ ¬Pf(z)˄ ¬¬Qf(z)˄¬ (Pz ˄ Rz)
(R7)
3. (¬Qx˅ ¬¬Rx) ˄ Pf(z)˄ Qf(z)˄ (¬Pz˅¬Rz)
(R6)
4. (¬Qx˅ Rx) ˄ Pf(z)˄Qf(z)˄ (¬Pz˅¬Rz)
(R14). FNC de 1
Ejemplo 4:
1. ¬ [(Qx ˄ Rx) ˅ ¬Pf(z) ˅ ¬Qf(z)˅ (Pz ˄ ¬Rz)]
2. ¬(Qx ˄ Rx) ˄ ¬ ¬Pf(z)˄ ¬¬Qf(z)˄ ¬ (Pz ˄ ¬Rz)
(R7)
3. (¬Qx ˅ ¬Rx) ˄ Pf(z)˄ Qf(z)) ˄ (¬Pz ˅ ¬¬Rz)
(R6)
4. (¬Qx ˅ ¬Rx) ˄ Pf(z)˄Qf(z)˄ (¬Pz ˅ Rz)
(R14). FNC de 1
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Una vez obtenida la FNC se procede a aplicar la regla de resolución. La cual se define de
la siguiente manera:
De A ˅ B y ¬A ˅ C se deduce B ˅ C35.
Siguiendo con los ejemplos anteriores, la decisión de validez usando este cálculo sería:
Ejemplo 1: (¬Qa˅ Ra) ˄ (¬Pa˅Qa) ˄ Pa ˄ ¬Ra
1. ¬Qa ˅ Ra
2. ¬Pa˅Qa
3. Pa
4. ¬Ra
5. Ra ˅ ¬Pa
Resolución en 1, 2
6. ¬Pa
Resolución en 4,5
7. [⊥]
Resolución en 3, 6
En este ejemplo se puede observar que la prueba de resolución se cierra con una
contradicción, esto significa que el conjunto de fórmulas es insatisfascible. Y por lo tanto, el
razonamiento original es válido.
Ejemplo 2: (¬Qa˅¬Ra) ˄ (¬Pa˅Qa) ˄ Pa ˄ Ra
1. ¬Qa˅¬Ra
2. ¬Pa˅Qa
3. Pa
4. Ra
35
5. ¬Ra ˅ ¬Pa
Resolución en 1, 2
6. ¬Pa
Resolución en 4,5
7. [⊥]
Resolución en 3, 6
MANZANO, María y HUERTAS, Antonia, Lógica para principiantes, op. cit. p. 350.
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En este ejemplo, se puede observar que la prueba de resolución se cierra con una
contradicción, esto significa que este conjunto de fórmulas también es insatisfascible. Y por lo
tanto, el razonamiento original es válido.
Ejemplo 3: (¬Qx˅ Rx) ˄ Pf(z) ˄ Qf(z) ˄ (¬Pz˅¬Rz)
En este caso no se puede aplicar cálculo por resolución porque no se logró unificar. Es
decir, que para que la resolución pueda aplicarse a dos literales es necesario que la única
diferencia entre ambos sea el negador. Por ejemplo, las expresiones Px y ¬Pa no son resolubles
porque no constituyen un par complementario. Pero sí lo serán si se sustituye en la primera
variable x por la constante a36.
Ejemplo 4: (¬Qx ˅ ¬Rx) ˄ Pf(z) ˄ Qf(z) ˄ (¬Pz ˅ Rz)
Tampoco se puede aplicar resolución ya que presenta el mismo problema que el ejemplo
anterior. De manera que no va a poder determinarse la validez de estos argumentos utilizando el
método expuesto. Estos dos últimos ejemplos dan cuenta que el problema de la decisión en la
Lógica de primer orden sigue estando presente, a pesar de que haya soluciones parciales a la
misma, tal como lo es el Teorema de Herbrand y sus implicaciones.
36
GARRIDO, Manuel, Lógica Simbólica, op. cit. p. 426.
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