I BIM – ARITMÉTICA – 1ER. AÑO Arquímedes Inicio de nuestra era Euler “Arit. Universal” Rev. de Túpac Amaru III a.C. 0 1768 1780 AÑO III a.C. ACONTECIMIENTOS ∗ Arquímedes, matemático griego, creador del principio  de Arquímedes en divisibilidad: Si A x B = n ; A y n  son PESI → B = n 1768 ∗ Apareció la “Aritmética Universal” de Euler dejo extensos trabajos sobre la divisibilidad. 50 I BIM – ARITMÉTICA – 1ER. AÑO NIVEL: SECUNDARIA SEMANA Nº 3 PRIMER AÑO DIVISIBILIDAD LA HERENCIA “Ya solo quedan 8 camellos, siendo 4 la Jotar y su alumno viajaban por el desierto en un solo camello montando uno a la vez sobre el mitad. Por lo tanto toma ahora los 4 que te corresponden” le dijo al tercer hermano. “Por último a ti que eres el menor te animal; en su camino se encontraron con cuatro hermanos que discutían por lo cual Jotar decidió corresponde la mitad de 4 que es 2”. intervenir. “Entenderán que mi juicio fue justo pues “Saludos amigos míos”, ¿podría saber el todos salieron ganando, además restan dos motivo de su discusión? Preguntó Jotar; uno de los animales, uno de ellos era el que agregó mi alumno y hermanos replicó: el otro coincidirán que sería el pago justo por mi “He aquí que somos cuatro hermanos a las cuales nuestro padre dejó estos 31 juicio”. camellos como herencia, siendo lo único de valor que poseemos, nuestro padre antes de morir dijo “Así es” exclamaron muy satisfechos los que la mitad de estos camellos sea para mi que soy hermanos el mayor, la mitad del resto para mi segundo agradecidos de Jotar y es así que Jotar y su los cuales se despidieron muy hermano, la mitad de lo que sobre para mi tercer alumno pudieron viajar por el desierto montados hermano y así hasta llegar a mi cuarto hermano. esta vez cada uno en un camello. Pero sucede que la mitad de 31 es 15 y medio y la mitad del resto es 7 y cuarto y la mitad de lo que sobra es 3 y 5/8 y así sucesivamente, pero mis ∗ CONCLUSIONES hermanos menores reclaman para ellos un animal Como te habrás dado cuenta, un número se más para ellos y que yo reciba solo 15 porque a puede dividir de forma exacta solo si el resto decir de ellos ya tengo muchos”. es cero. “Bueno, intervino Jotar; permítame que yo 31 2 32 2 “pero antes permítanme agregar mi 30 15 32 16 camello a su herencia”, “estas loco maestro” 1 juzgue”, “esta hermanos, bien” respondieron intervino el alumno de Jotar los cuatro 0 “¿Cómo viajaremos luego?”; “confianza” le dijo Jotar. Resto diferente de cero “Bueno ahora tenemos 32 camellos en la herencia”; pasó el hermano mayor y Jotar dijo: “La Cuando esto sucede decimos que un número es mitad de 32 es 16 pero antes te correspondían 15 y “Divisor” de otro. medio, toma ahora los 16 camellos, creo que salistes ganando” “Si y muchas gracias” replicó el “2 es divisor de 32” hermano mayor. “2 no es divisor de 31” “Ahora restan 16, la mitad de 16 es 8 que es lo que te corresponde ahora y no 7 y cuarto creo que tu también sales ganando en este negocio” le dijo al segundo hermano que también quedço complacido. 51 I BIM – ARITMÉTICA – 1ER. AÑO porque: DIVISIBILIDAD 16  INTRODUCCIÓN 16 16 16 0 La suma, diferencia y producto de dos números enteros resulta siempre enteros. Es lo que suele llamarse a veces “Conjunto cerrado” de números enteros, refiriéndose a las operaciones de adición, sustracción y multiplicación. Pero referido a la operación de división, este conjunto deja de ser cerrado: hablando en general, el cociente de la división de un entero por otro puede no ser entero. Al expresar “número” vamos a entender siempre, si no se dice lo contrario, que es entero. En la lectura “La Herencia” el número de camellos ¿se podía dividir exactamente entre 2? Cuando a Jotar le preguntaron en la escuela, ¿Cuáles son los múltiplos del metro?, el respondía: Múltiplos Equivalencia Megametro Kilómetro 1 000 000 1 000 m Metro 1m Estas cantidades se pueden expresar como: Rpta.: _____________  DIVISIÓN 1m x 10 = 10 m 1m x 100 = 100 m 1m x 1000 = 1000 m 1m x = m 1m x = m Si un número A se puede dividir exactamente entre otro B se dice que: “A es divisible por B”. Ejemplo: Se ¿Entre qué números exactamente se puede dividir 24 aparte del 1? 2 24 3 24 4 24 6 24 12 24 8 24 6 24 4 0 0 8 24 12 24 24 24 3 24 3 24 1 0 0 ____________ de de un dicho número número al por ¿Cuáles son los múltiplos de 8? 0 24 múltiplo ____________ número natural. 24 0 llama 0 8 x 1 = 8 8 x 2 = 8 x = 8 x = 8 x = 24 se puede dividir entre 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24 24 es divisible por 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24 Los divisores de 24 son 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24 ¿Entre que números es divisible 16? 16 es divisible por ____ , ____, ____ , ____ 52  NOTA: Una característica de la matemática es su lenguaje simbólico, lo cual permite resumir considerablemente lo que textualmente sería un poco difícil de entender. I BIM – ARITMÉTICA – 1ER. AÑO Textualmente se tiene Notación Simbólica “A es múltiplo de B” A= B 59 _______ divisible por 2 porque resta ___________  59 = + 63 ________ divisible por 2 porque resta OBSERVACIÓN: ____________ Los términos divisible y múltiplo están siempre asociados. 64  2 63 =  2 + ∗ Divisibilidad por 4 = (2 8 2 ) Un número es divisible por 4 si sus _____ últimas ________ son ___________ o múltiplo de ___________.  CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD I. Ejm: ¿ abc4 84 es divisible por 4? DIVISIBILIDAD POR 2 Si, porque: 84 es múltiplo de 4  1 ∗ Divisibilidad por 2 = (2 ) Calcula el residuo de las divisiones: abc484 = 4 siguientes 47 ÷ 2 = _______ resto ________ ¿231 25 es divisible por 4? No, porque 25 no es múltiplo de 4 24 ÷ 2 = _______ resto ________ 25 = 4 con resto _____ 320 ÷ 2 = _______ resto ________  =  23125 = 4 con resto _____ Un número es divisible por 2 si termina en _____________ o en  23125 = 4 + _____ número _________ ∗ Divisibilidad por 8 = (2 Ejm: 3 ) Es divisible por 8 cuando sus _________ 46 es divisible por 2 46 es múltiplo de 2 últimas cifras son ____________ o múltiplo de _______________  46 = 2 87 no es divisible por 2 porque resta ¿ 48ab35ab 128 _______________ Si, porque 128 ÷ 8 = __________, residuo 87 se puede dividir entre 2 con resto _________ es divisible por 8? _______________ 87 es múltiplo _______________  87 = 2 + resto de 2 con resto ¿36894 211 es divisible por 8? ______, porque 211 ÷ 8 = _______ resto ________ 53 I BIM – ARITMÉTICA – 1ER. AÑO   36894211 = 8 + _______ ¿Cuál es el resto en: 48abc28 = 25 + resto? Rpta.: _____________ II. DIVISIBILIDAD POR 5n ¿Cuándo un número será divisible por 125 = 53? Rpta.: _____________ ∗ Divisibilidad por 5 = (51) ¿En qué cifra debe terminar un número para que sea divisible por 5? III. DIVISIBILIDAD POR 3 Y 9 Veamos: 120 ÷ 5 resto ____________ 241 ÷ 5 resto ____________ 482 ÷ 5 resto ____________ 633 ÷ 5 resto ____________ 684 ÷ 5 resto ____________ 905 ÷ 5 resto ____________ Para que un número sea divisible por 5 su última _________ debe ser _________ o ∗ Un número es divisible por 3 si la ______ de sus ________ es ___________ de 3. Ejm: ¿48651 es divisible por 3? Solución: 4 + 8 + 6 + 5 + 1 = 24 24 es múltiplo de 3 48651 es divisible por 3  _____________ 48651 = 3  ¿352164 es divisible por 3? 120 = 5  241 = 5 + 1 3+5+2+1+6+4=  633 = 5 +  ______ múltiplo de 3  352164 __________ divisible por 3. 684 = 5 + 482 = 5 +  905 = 5 + ¿368851 es divisible por 3? No, porque 3 + 6 + 8 + 8 + 5 + 1 = 31 ∗ Divisibilidad por 25 = ( 5 2 31 ÷ 3 = ______ resto _____ )  31 = 3 + Un número es divisible por 25 cuando sus  368851 = 3 + _______________ cifras son ________ = o múltiplos de ___________. Ejem: abc00 es divisible por 25 porque sus 2 últimas cifras son ___________ ∗ Un número es divisible por 9 si la __________ de sus ________ ________ de 9. ¿48575 es divisible por 25? ________ porque 75 ________ múltiplo de 25. 54 Ejm: ¿4329918 es divisible por 9? Si, porque 4 + 3 + 2 + 9 + 9 + 1 + 8 = 36 36 ÷ 9 = 4 es I BIM – ARITMÉTICA – 1ER. AÑO  ¿Cuál es el valor de “a”? 4329918 = 9  Si: 548429 = 11 + a ¿72652 es divisible por 9? No, porque 7 + 2 + 6 + 5 + 2 = 22 5 4 22 ÷ 9 = ______ resto ______ 8 4 2 9 (9 + 4 + 4) – (2 + 8 + 5)  22 = 9 + 17 – 15 = 2 =  72652 = 9 + 2 ÷ 11 = ____ resto 548429 = =  + 11 a= IV. DIVISIBILIDAD POR 11 ¿84436 es divisible por 11? Ejercicios de Aplicación ¿Cómo saberlo? PASO 1.Empezando por la cifra de la derecha (6) se suman de manera intercalada las cifras. 1. 8 4 4 3 6 6+4+8 Completar en adecuadamente los espacios en blanco  Si un número termina en cero o cifra par entonces será siempre divisible por _____ PASO 2.A este resultado se le resta la suma de las cifras que quedaron.  Si un número termina en cero o cifra 5 entonces será siempre divisible por _____ 2. Relacione ambas columnas: 8 4 4 3 6 = (6 + 4 + 8) – (4 + 3)  I. 4125 ( ) 2 II. 81423 ( ) 3 III. 26132 ( ) 5   = 18 – 7 = 11 = 11 ∴ 84436 es divisible por 11 Si el resultado fuera cero también será divisible por 11. 3. ¿51030507 es divisible por 11? 5 1 0 3 0 5 0 7 (7 + 5 + 3 + 1) – (0 + 0 + 0 + 5)  4. Colocar verdadero corresponda:  (V) o falso (F) según  El número ab46 es divisible por 4 ( )  El número abba es divisible por 11 ( )  El número ab25 es divisible por 25 ( ) Hallar “a”, si:  483a = 25 + 8 16 – 5 = 11 = 11 ∴ 51030507 es divisible por 11 a) 4 d) 1 b) 3 e) 0 c) 2 55 I BIM – ARITMÉTICA – 1ER. AÑO 5. Hallar “a”, si: 14.  21 (4) ; 22 (4) ; 23 (4) ; … ; 3020 (4) ? a36482a = 9 + 2 a) 0 d) 3 6. b) 1 e) 4 7 a6 = 3 b) 65 d) 63 e) 62 c) 64 ¿Cuántos múltiplos de 15 hay en: c) 3 a) 10 b) 11 d) 13 e) 14 c) 12 Hallar el valor de “a” si:   Si: Tarea Domiciliar y 4b = 5 a) 7 d) 8 b) 5 e) 0 c) 9  b43b = 5 1. Calcular el residuo de dividir: 437b entre 9. a) 1 d) 4 9. a) 66 21 (4) ; 22 (4) ; 23 (4) ; … ; 3020 (4) ? 4bca = 5 y b) 2 e) 5 b3a = 11 8. 15.  a) 0 d) 4 7. c) 2 Hallar el valor de “a” si:  ¿Cuántos múltiplos de 3 hay en: b) 2 e) 5 Completar en adecuadamente: los espacios en blanco  Si las dos últimas cifras de un número son c) 3 ceros o múltiplos de 4 entonces el número es siempre divisible por _____________  Si: 864 a = 11 Calcular el residuo de dividir: dba8 entre 4.  Si la suma de cifras de un número es a) 0 d) 3 b) 1 e) 4 c) 2 múltiplo de 9 entonces el número es siempre divisible por _____________ 10. ¿Cuántos múltiplos de 8 hay en: 1; 2; 3; 4; 5; … ; 300? a) 30 d) 37 11. c) 80 b) 28 e) 32 3. c) 30 4. ¿Cuántos múltiplos de 11 hay en: 4; 5; 6; 7; … ; 787? a) 70 d) 73 56 I. ¿Cuántos múltiplos de 9 hay en: 21; 22; 23; … ; 287? a) 29 d) 31 13. b) 70 e) 100 b) 71 e) 74 Relacione ambas columnas: c) 34 ¿Cuántos múltiplos de 7 hay en: 1; 2; 3; 4; 5; … ; 564? a) 60 d) 90 12. b) 33 e) 38 2. 1724  ( ) 3 II. 5027 ( ) 4 III. 61602 ( ) 11 Colocar verdadero corresponda:   (V) o falso (F)  El número 4624 es divisible por 25. ( )  El número ab65 es divisible por 4. ( )  El número 63851 es divisible por 11. ( ) Hallar “a” si:  387 a = 25 + 3 c) 72 según a) 1 d) 7 b) 2 e) 8 c) 3 I BIM – ARITMÉTICA – 1ER. AÑO 5. Hallar “a” si: 10. Calcular “b”   a8672a = 9 + 4 a) 1 d) 4 6. b) 2 e) 5 8a3 = 9 78a5 = 25 a) 5 d) 0 b) 2 e) 6 9. c) 7  b2a = 9 aa63a = 8 a) 0 d) 3 b) 1 e) 5 c) 2  Si: 431a = 4 ¿Cuánto suman todos los posibles valores de “a”? b) 2 e) 10 c) 6 c) 4 ¿Cuántos múltiplos de 8 hay en: 1; 2; 3; 4; … ; 264? a) 30 d) 33 b) 31 e) 34 c) 32 a) 40 d) 37 b) 39 e) 36 c) 38 13. ¿Cuántos múltiplos de 11 hay en: 32; 33; 34; … ; 1624? a) 147 d) 144 b) 146 e) 143 c) 145 14. ¿Cuántos múltiplos de 5 hay en: 12 (4) ; 13 (4) ; 20 (4) ; … ; 313 (4) ?  Si: 64 a7 = 11 Calcular el residuo de dividir: db8a entre 4. a) 0 d) 3 b) 2 e) 8 12. ¿Cuántos múltiplos de 9 hay en: 18; 19; 20; 21; … ; 364? Hallar el valor de “b” si: a) 4 d) 8 a) 0 d) 6 11.   8. c) 3 Hallar “a” si:  7. 86325 = 9 + b b) 1 e) 4 c) 2 a) 9 d) 12 b) 10 e) 13 c) 11 15. ¿Cuántos múltiplos de 13 hay en: 12 (4) ; 13 (4) ; 20 (4) ; … ; 313 (4) ? a) 1 d) 4 b) 2 e) 5 c) 3 57