Al Ab A01

D I S C I P L I N A Álgebra Abstrata Aplicações Autores Gabriela Lucheze de Oliveira Lopes Jonas Gonçalves Lopes aula 01 Material APROVADO ((conteúdo e imagens) g ) Data: ___/___/___ Nome:______________________________________ Governo Federal Presidente da República Luiz Inácio Lula da Silva Ministro da Educação Fernando Haddad Secretário de Educação a Distância – SEED Carlos Eduardo Bielschowsky Reitor José Ivonildo do Rêgo Vice-Reitora Ângela Maria Paiva Cruz Secretária de Educação a Distância Vera Lucia do Amaral Secretaria de Educação a Distância- SEDIS Coordenadora da Produção dos Materiais Marta Maria Castanho Almeida Pernambuco Coordenador de Edição Ary Sergio Braga Olinisky Revisoras Tipográficas Adriana Rodrigues Gomes Margareth Pereira Dias Nouraide Queiroz Arte e Ilustração Projeto Gráfico Ivana Lima Adauto Harley Carolina Costa Revisores de Estrutura e Linguagem Heinkel Hugenin Eugenio Tavares Borges Leonardo Feitoza Janio Gustavo Barbosa Thalyta Mabel Nobre Barbosa Revisora das Normas da ABNT Verônica Pinheiro da Silva Diagramadores Ivana Lima Johann Jean Evangelista de Melo José Antonio Bezerra Junior Mariana Araújo de Brito Revisores de Língua Portuguesa Flávia Angélica de Amorim Andrade Vitor Gomes Pimentel Janaina Tomaz Capistrano Adaptação para Módulo Matemático Kaline Sampaio de Araújo Joacy Guilherme de A. F. Filho Samuel Anderson de Oliveira Lima Divisão de Serviços Técnicos Catalogação da publicação na Fonte. UFRN/Biblioteca Central “Zila Mamede” Lopes, Gabriela Lucheze de Oliveira. Álgebra abstrata / Gabriela Lucheze de Oliveira Lopes, Jonas Gonçalves Lopes. – Natal, RN: EDUFRN, 2009. 200 p. 12 v. ISBN 978-85-7273-528-5 Conteúdo: Aula 01 – Aplicações; Aula 02 – O conjunto Z de inteiros; Aula 03 – Grupos; Aula 04 – Exemplos de grupos; Aula 05 – Subgrupos; Aula 06 – Classificação de grupos; Aula 07 – Anéis; Aula 08 – Exemplos de anéis e corpos; Aula 09 – Subanéis e ideais; Aula 10 – Homoformismos de anéis quocientes; Aula 11 – Polinômios sobre um corpo K; Aula 12 – Raízes de um polinômio e mdc de polinômios. 1. Matemática. 2. Grupos. 3. Classificação de grupos. 4. Anéis. I. Lopes, Jonas Gonçalves. II. Título. RN/UF/BCZM 2009/47 CDD 510 CDU 51 Todos os direitos reservados. Nenhuma parte deste material pode ser utilizada ou reproduzida sem a autorização expressa da UFRN - Universidade Federal do Rio Grande do Norte. VERSÃO DO PROFESSOR Apresentação Certamente, o conceito de função (também chamada de aplicação) já é do seu conhecimento desde o ensino médio. Entretanto, à medida que nos aprofundamos em estudos mais avançados, faz-se necessário um maior rigor matemático em sua apresentação. Objetivos 1 2 Definir par ordenado. Demonstrar a principal propriedade (igualdade) de pares ordenados. 3 Definir produto cartesiano. 4 Definir relação e relação de equivalência. 5 Definir aplicação via relação. 6 Definir operação binária. Aula 01 Material APROVADO ((conteúdo e imagens) g ) Data: ___/___/___ Nome:______________________ Álgebra Abstrata 1 VERSÃO DO PROFESSOR Pares ordenados Iniciamos definindo par ordenado Definição O par ordenado de a e b, com a primeira coordenada a e a segunda coordenada b, é o conjunto. (a, b) = {{a}, {a,b}}. A propriedade fundamental que um par ordenado satisfaz é dada no seguinte teorema. Teorema 1 Se (a, b) e (x, y) são pares ordenados e se (a, b) = (x, y), então a = x e b = y. Demonstração – Consideremos dois casos: 1º caso: a = b Então, (a, b) = {{a}} é um conjunto unitário. Como (a, b) = (x, y), segue que (x, y) = {{x}, {x,y}} = {{a}} é também um conjunto unitário; isso implica que x = y. Agora, desde que {x} ∈ (a, b) = {{a}}. Logo, concluímos que a, b, x e y são todos iguais. 2º caso: a ≠ b Neste caso, note que (a, b) e (x, y) contêm exatamente um conjunto unitário, a saber, {a} e {x}, respectivamente, de modo que {a} = {x}, logo a = x. Conseqüentemente, {a, b} = {x, y} e, em particular, b ∈ {x, y}. Note agora que b ≠ x. De fato, se b = x, teríamos por transitividade que a = b, uma contradição. Isso acarreta b = y, e a prova está completa. Lembre-se de que se E é um conjunto, então o conjunto P(E ) definido por 2 Aula 01 Álgebra Abstrata Material APROVADO ((conteúdo e imagens) g ) Data: ___/___/___ Nome:______________________ VERSÃO DO PROFESSOR P(E) = {X : X ⊂ E} é chamado de conjunto potência de E ou conjunto das partes de E. Por exemplo, se E = {a,b}, então P({a,b}) = {∅, {a}, {b}, {a,b}}. Observe que E possui dois elementos e P (E ) possui 22 = 4 elementos. Atividade 1 sua resposta Se um conjunto E tem n elementos, prove que P (E ) possui 2n elementos Curiosidade – o nome conjunto potência para P(E) origina-se possivelmente do fato que P(E) possui 2n elementos, quando E tem n elementos. Aula 01 Material APROVADO ((conteúdo e imagens) g ) Data: ___/___/___ Nome:______________________ Álgebra Abstrata 3 VERSÃO DO PROFESSOR Produtos cartesianos Se A e B são conjuntos, prova-se em teoria dos conjuntos: existe um único conjunto, chamado de produto cartesiano de A e B, denotado por A × B, que contém todos os pares ordenados (a, b) com a ∈ A e b ∈ B. A × B = {x : x = (a, b) para algum a ∈ A e para algum b ∈ B}. Também se prova, em teoria dos conjuntos, o seguinte fato. Fato – se R é um conjunto de pares ordenados, então existem dois conjuntos A e B tais que R ⊂ A × B. Com efeito, basta tomar A = {a : para algum b tem-se (a, b) ∈ R} e B = {b : para algum a tem-se (a, b) ∈ R}. Chamamos A e B de projeções de R sobre a primeira e a segunda coordenadas, respectivamente. Relações N o nosso cotidiano, no bairro em que residimos ou na empresa onde trabalhamos, podemos pensar na “relação” de amizade. Mais precisamente, podemos considerar pares ordenados (x, y ), em que x é amigo(a) de y. Se R é a “relação” de amizade, e (x, y) ∈ R, então podemos dizer que o indivíduo x é amigo(a) do indivíduo y. Estamos prontos para definir uma relação. Definição Diz-se que um conjunto R é uma relação (binária) se cada elemento de R é um par ordenado. Logo, uma relação R é um conjunto de pares ordenados, e pelo fato anterior, R é um subconjunto de um produto cartesiano de dois conjuntos A e B. Diz-se que R é uma relação de A para B. 4 Aula 01 Álgebra Abstrata Material APROVADO ((conteúdo e imagens) g ) Data: ___/___/___ Nome:______________________ VERSÃO DO PROFESSOR Uma relação binária de A para A, ou melhor, uma relação em A é um subconjunto de A × A. Se (x, y) ∈ R, escrevemos x R y ou x ∼ y, e dizemos que x está na relação R com y. Exemplos de relações 1. R = X × Y (produto cartesiano de dois conjuntos X e Y). 2. Seja Y um conjunto e considere R = {(x, y) ∈ Y × Y : x = y} (relação de igualdade em Y). 3. Seja B um conjunto, P(B) o conjunto potência de B, e considere R = {( x, A) ∈ B × P(B) : x ∈ A} (relação “pertence a”). 4. Seja ℜ o conjunto dos números reais. Considere R = {(x, y) ∈ ℜ × ℜ : y 2 = x}. Note que (4, –2) e (4, 2) são elementos da relação R, de modo que para x = 4 estão associados dois valores de y, –2 e 2. Construindo a tabela a seguir x y 0 0 1 –1 1 1 4 –2 4 2 ... ... podemos facilmente traçar um esboço do “gráfico” dessa relação: 4 3 3 6 –3 –4 Trata-se de uma parábola. Aula 01 Material APROVADO ((conteúdo e imagens) g ) Data: ___/___/___ Nome:______________________ Álgebra Abstrata 5 VERSÃO DO PROFESSOR Domínio e imagem de uma relação Se R é uma relação, então a projeção de R sobre a primeira coordenada A = {x : para algum y tem-se (x, y) ∈ R} = {x : para algum y tem-se x R y} é aqui conhecida como domínio de R e indicada por A = domR. Também, a projeção de R sobre a segunda coordenada B = {y : para algum x tem-se (x, y) ∈ R} = {y : para algum x tem-se x R y} na teoria de relações recebe o nome de imagem de R, denotada por imR. No Exemplo 1, temos domR = X, imR =Y ; no Exemplo 2, temos domR = imR = Y . Atividade 2 sua resposta Para as relações dadas nos Exemplos 3 e 4, determine domR e imR. 6 Aula 01 Álgebra Abstrata Material APROVADO ((conteúdo e imagens) g ) Data: ___/___/___ Nome:______________________ VERSÃO DO PROFESSOR Relações de equivalência Uma relação R em X é reflexiva se x ∼ x para todo x ∈ X; é simétrica se x ∼ y ⇒ y ∼ x e, finalmente é transitiva se x ∼ y e y ∼ z ⇒ x ∼ z, ∀ x, y, z em X. Uma relação R em um conjunto X é uma relação de equivalência se R for reflexiva, simétrica e transitiva. Por exemplo, a relação de igualdade em X é uma relação de equivalência. Outro exemplo de relação de equivalência é a relação de isomorfismo de espaços vetoriais estudada em Álgebra Linear. A partir de agora, indicaremos uma relação de equivalência preferencialmente pelo símbolo ∼. Uma relação de equivalência ∼ serve para definir um novo objeto. Com efeito, se x ∈ X, considere _ x = {y ∈ X : y ∼ x}. _ x é chamado de classe de equivalência módulo ∼ determinada pelo elemento x ∈ X; agora, x é o _ representante da classe de equivalência x . Todo elemento de X define uma classe de equivalência, _ _ _ e se x é uma classe de equivalência, então cada y ∈ x pode ser um representante de x . Teorema 2 Sejam X ≠ ∅ e ~ uma relação de equivalência em X. Sejam x, y ∈ X. Então são equivalentes as seguintes condições: i) x ∼ y ; _ _ ii) x é representante de y , isto é, x ∈ y ; _ _ iii) y é representante de x , isto é, y ∈ x ; _ _ iv) x = y ; _ _ v) x ∩ y ≠ ∅. Demonstração – Provaremos que i) ⇒ ii) ⇒ iii) ⇒ iv) ⇒ v) ⇒ i) i) ⇒ ii) _ y = {z ∈ X : z ∼ y} _ Como x ∼ y, por hipótese, temos x ∈ y . Logo, vale ii). ii) ⇒ iii) Aula 01 Material APROVADO ((conteúdo e imagens) g ) Data: ___/___/___ Nome:______________________ Álgebra Abstrata 7 VERSÃO DO PROFESSOR _ _ De x ∈ y , temos x ∼ y. Como ∼ é simétrica, segue que y ∼ x. Isso implica que y ∈ x , provando iii). iii) ⇒ iv) _ _ _ _ _ Devemos provar que x ⊂ y e y ⊂ x . Seja z ∈ x . Então, z ∼ x. Como por hipótese, _ y ∈ x , temos y ∼ x. Por simetria, segue que x ∼ y. Assim, z ∼ x e x ∼ y; por _ _ _ transitividade, obtemos z ∼ y, logo z ∈ y . Isso prova que x ⊂ y . Falta provar que _ _ _ _ y ⊂ x . Seja w ∈ y . Então, w ∼ y. Por hipótese, y ∈ x , isto é, y ∼ x. De w ∼ y e _ _ _ y ∼ x, segue por transitividade que w ∼ x, logo w ∈ x . Portanto x = y . iv) ⇒ v) _ _ _ _ _ _ Seja z ∈ x . Como x = y , obtemos z ∈ y . Logo, x ∩ y ≠ ∅. v) ⇒ i) _ _ _ _ _ _ _ Se x ∩ y ≠ ∅, então existe z ∈ x ∩ y . Isso implica que z ∈ x e z ∈ y . De z ∈ x , temos z ∼ x, _ e de z ∈ y , obtemos z ∼ y. Por simetria, x ∼ z. Assim, x ∼ z e z ∼ y. Por transitividade, segue que x ∼ y. Isso completa a demonstração. _ _ Observação – note que de v) ⇒ iv) segue-se: classes distintas, isto é, x ≠ y implica classes _ _ disjuntas, ou seja, x ∩ y = ∅; também, de iv) ⇒ v), vale que classes disjuntas implicam classes distintas. Logo, podemos dizer: classes distintas são disjuntas. O Teorema 3 nos dá uma pista (ou um caminho) para produzir exemplos de relações de equivalência. Teorema 3 Seja X ≠ ∅. Então, as classes de equivalência módulo ~ distintas formam uma decomposição de X como uma reunião de subconjuntos mutuamente disjuntos e não-vazios. Reciprocamente, dada uma decomposição de X como uma reunião de subconjuntos mutuamente disjuntos e não-vazios, então, pode-se definir uma relação de equivalência em X tal que esses subconjuntos sejam exatamente as classes de equivalência distintas. 8 Aula 01 Álgebra Abstrata Material APROVADO ((conteúdo e imagens) g ) Data: ___/___/___ Nome:______________________ VERSÃO DO PROFESSOR  _ x a reunião Demonstração – Por definição, para cada x ∈ X, temos x ⊂ X. Considere  x∈X  _ x , então y ∈ x , x ⊂ X , pois se y ∈ das classes distintas e não-vazias. Note que x∈X x∈X para algum x ∈ X, logo y ∈ X.   _ Agora, se z ∈ X, então z ∈ z e daí z ∈ x . Portanto, x = X . Pela observação x∈X x∈X anterior, duas classes distintas são disjuntas. Isso prova a primeira parte do Teorema 3.  Ci , onde os Ciʹs são subconjuntos mutuamente Reciprocamente, suponha que X = disjuntos e não-vazios. Defina uma relação em X do seguinte modo: x ∼ y em X se x, y pertencem ao mesmo subconjunto Ci . Afirmação: ∼ é uma relação de equivalência. 1) Seja x ∈ X. Então, x ∈ Ci para algum i . Claramente, temos, x ∼ x (propriedade reflexiva). 2) Se x ∼ y, então x e y pertencem ao mesmo Ci . Logo, y e x pertencem ao mesmo Ci , ou seja, y ∼ x (propriedade simétrica). 3) Se x ∼ y e y ∼ z, então x e y pertencem ao mesmo Ci , e y e z pertencem ao mesmo Cj. Como os Ciʹs são disjuntos, segue que Ci = Cj . Assim, x e z pertencem ao mesmo Cj. Isso implica que x ∼ z (propriedade transitiva). Logo, ∼ é uma relação de equivalência. Finalmente, note que _ x = {y ∈ X : y ∼ x} = {y ∈ X : y e x pertencem ao mesmo Ci } = C i. Como os Ciʹs são disjuntos, confirma-se a observação anterior de que as classes de equivalência são distintas. Isso completa a demonstração. Aula 01 Material APROVADO ((conteúdo e imagens) g ) Data: ___/___/___ Nome:______________________ Álgebra Abstrata 9 VERSÃO DO PROFESSOR Aplicações Lembre-se de que uma função f : A → B consta das seguintes partes:  Um conjunto A, chamado o domínio da função;  Um conjunto B, chamado o contradomínio da função;  Uma regra que permite associar a cada elemento x ∈ A, um único elemento f(x) ∈ B. O único elemento f(x) chama-se o valor que a função assume em x (ou no ponto x). Notação: x → f(x) indica que f faz corresponder a x o valor f (x). Se A é o domínio da função f, A = dom f, então, a regra fornece f (x) para todo x ∈ A. O gráfico de uma função f : A → B é o subconjunto Gr (f ) do produto cartesiano A × B formado pelos pares ordenados (x, y) tais que y = f(x). Gr ( f ) = {(x, y ) ∈ A × B : y = f (x )} Identificando a função com seu gráfico, podemos definir uma função f : A → B como sendo uma relação f tal que dom f = A, e se (x, y ) ∈ f e (x, z ) ∈ f, então y = z. Notação – em vez de (x, y) ∈ f ou x f y escreve-se y = f (x). Aplicação ou mapping (em inglês) é mais um sinônimo para a palavra função. Nas disciplinas de Álgebra Linear, você já estudou aplicações injetoras, sobrejetoras e bijetoras, composição de aplicações e aplicação inversa. Estudaremos nas próximas aulas aplicações f : G1 → G2, em que G1 e G2 são “grupos”, e aplicações f : R → S, onde R e S são “anéis”. 10 Aula 01 Álgebra Abstrata Material APROVADO ((conteúdo e imagens) g ) Data: ___/___/___ Nome:______________________ VERSÃO DO PROFESSOR Operações binárias Definição – Seja A ≠ ∅. Uma aplicação f : A × A → A (a, b) f ((a, b)) = a ∗ b é chamada uma operação binária em A. Note que a ∗ b e b ∗ a podem ser elementos distintos de A, ou seja, a ordem é importante. A operação f é chamada comutativa se a ∗ b = b ∗ a, para todos a , b ∈ A. Se S ⊂ A e se f (S × S) ⊂ S, diz-se que S é fechado sob (ou com respeito a) f. Note também que, sendo f uma aplicação, A é fechado sob f. Seguindo a tradição, denotaremos por N, Z, Q, ℜ e C, os conjuntos de números naturais, inteiros, racionais, reais e complexos, respectivamente. Enquanto Z + = N, Q+ e ℜ+ denotam os conjuntos de números inteiros positivos, racionais positivos e reais positivos, respectivamente. Exemplo 5 Adição, multiplicação e subtração em Z, Q, ℜ e C são operações binárias. Exemplo 6 Divisão não é uma operação binária em cada conjunto considerado no Exemplo 5. Atividade 3 Justifique a afirmação feita no Exemplo 6. Exemplo 7 Olhando Z +, Q + e ℜ+ como subconjuntos de C, cada um é fechado sob adição e multiplicação em C, mas nenhum é fechado sob subtração. Aula 01 Material APROVADO ((conteúdo e imagens) g ) Data: ___/___/___ Nome:______________________ Álgebra Abstrata 11 VERSÃO DO PROFESSOR Resumo Nesta aula, você estudou que se dois pares ordenados são iguais, então suas coordenadas correspondentes são iguais. Relembrou a definição de produto cartesiano de dois conjuntos. Estudou também que uma relação é um conjunto de pares ordenados, enquanto uma aplicação é uma relação especial. Finalmente, estudou operação binária em um conjunto não-vazio A como sendo uma aplicação definida no produto cartesiano A × A e tomando valores em A. Autoavaliação Sejam f ,g : X → X aplicações. Lembrando que o símbolo ou notação g ◦ f indica a composta das aplicações f e g, mostre que são válidas as seguintes afirmações: (i) g ◦ f sobrejetora ⇒ g sobrejetora; (ii) g ◦ f injetora ⇒ f injetora; (iii) se f ◦ g = g ◦ f = Id (identidade), então f e g são ambas bijetoras. Exercícios propostos 12 1) Defina uma relação em ℜ 2 por (a,b) ∼ (c,d) se a 2 + b 2 = c 2 + d 2 . Mostre que ∼ é uma relação de equivalência. Descreva geometricamente as classes de equivalência. Além disso, se E é o conjunto das classes de equivalência, mostre que podemos definir uma aplicação bijetora f : E → ℜ. 2) Sejam X um conjunto não-vazio, ∼ uma relação de equivalência em X, e E o conjunto _ das classes de equivalência. Mostre que a aplicação g : X → E definida por g(x) = x , ∀ x ∈ X é sobrejetora. Verifique se g é injetora. 3) Seja A ≠ ∅. Seja P(A) − {∅} o conjunto de subconjuntos não-vazios de A. Considere X = A × (P(A) − {∅}). Verifique se a relação em X definida por (a1, Y1) ∼ (a2, Y2) se (a1, a2) ∈ Y1 × Y2 é uma relação de equivalência. Aula 01 Álgebra Abstrata Material APROVADO ((conteúdo e imagens) g ) Data: ___/___/___ Nome:______________________ VERSÃO DO PROFESSOR 4) Mostre que a composição de aplicações é associativa, isto é, se f1 : X1 → X2, f2 : X2 → X3 ,e f3 : X3 → X4 , então f3 ◦ (f2 ◦ f1) = (f3 ◦ f2) ◦ f1. 5) Verifique se a composição de aplicações de X em X é comutativa, ou seja, se f : X → X e g : X → X, então f ◦ g = g ◦ f. 6) Sejam f e g aplicações de X em X. Mostre que: (i) se f e g são ambas sobrejetoras, então f ◦ g e g ◦ f também são sobrejetoras. (ii) se f e g são ambas injetoras, então f ◦ g e g ◦ f também são injetoras. 7) Mostre que a função f : ℜ+ → ℜ x In x (logaritmo natural de x, base e 2,7) satisfaz f(xy) = f(x) + f(y). Referências GONÇALVES, A. Introdução à álgebra. Rio de Janeiro: LTC, 1979. HALMOS, P. R. Teoria ingênua dos conjuntos. Rio de Janeiro: Ciência Moderna, 2001. LANG, S. Estruturas algébricas. Rio de Janeiro: Livro Técnico, 1972. LOPES, J. G.; PEREIRA, M. G. Álgebra linear I. Natal: Ed. UFRN, 2006. ______. Álgebra linear II. Natal: Ed. UFRN, 2007. Aula 01 Material APROVADO ((conteúdo e imagens) g ) Data: ___/___/___ Nome:______________________ Álgebra Abstrata 13 VERSÃO DO PROFESSOR Lembrete – É importante que o aluno não verifique as respostas (ou sugestões) dos exercícios propostos antes de resolvê-los. Respostas (ou sugestões) dos exercícios propostos 1)  (c, d) é uma circunferência de raio c2 + d2 . Defina f : E → ℜ por   f c, d = comprimento da circunferência. 2) É imediato provar que g é sobrejetora. Agora, sejam x1, x2 ∈ X tais que _ _ g (x1) = g(x2), isto é, x 1 = x 2. Será que x1 = x 2? Pense olhando para o Teorema 2. 3) Sim. Justifique. 4) Mostre que ( f3 ◦ ( f2 ◦ f1))(x) = ((f3 ◦ f2) ◦ f1)(x) para todo x ∈ X1. 5) Não. Dê um contra-exemplo. 6) Seguem-se diretamente das definições. 7) Basta lembrar-se de uma das propriedades da função logarítmica. Anotações 14 Aula 01 Álgebra Abstrata Material APROVADO ((conteúdo e imagens) g ) Data: ___/___/___ Nome:______________________ VERSÃO DO PROFESSOR Anotações Aula 01 Material APROVADO ((conteúdo e imagens) g ) Data: ___/___/___ Nome:______________________ Álgebra Abstrata 15 VERSÃO DO PROFESSOR Anotações 16 Aula 01 Álgebra Abstrata Material APROVADO ((conteúdo e imagens) g ) Data: ___/___/___ Nome:______________________ Álgebra Abstrata – MATEMÁTICA EMENTA Números inteiros. Relações. Aplicações. Operações. Grupos. Anéis e ideais. Anéis de polinômios. Teoria de corpos extensões de corpos. Construção dos números reais via sequências de Cauchy. Apanhado histórico de cada um dos assuntos. AUTORES > Gabriela Lucheze de Oliveira Lopes > Jonas Gonçalves Lopes Aplicações 02 O conjunto Z de inteiros 03 Grupos 04 Exemplos de grupos 05 Subgrupos 06 Classificação de grupos 07 Anéis 08 Exemplos de anéis e corpos 09 Subanéis e ideais 10 Homomorfismos de anéis e anéis quocientes 11 Polinômios sobre um corpo K 12 Raízes de um polinômio e mdc de polinômios 2º Semestre de 2009 01 Impresso por: Gráfica AULAS