Diagramas de esforços em grelhas planas – Professora Elaine Toscano
Capítulo 5 – Diagramas de esforços em grelhas planas
5.1 – Introdução
Este capítulo será dedicado ao estudo das grelhas planas
Chama-se grelha plana a estrutura plana que é solicitada exclusivamente por cargas
ortogonais ao plano da estrutura.
Para validade dessa definição, uma carga-momento concentrado deve ser interpretada como o
efeito duas cargas iguais e contrárias (binário), que podem estar contidas no plano ortogonal a
estrutura.
5.2 - Estaticidade de grelhas planas
Define-se grelha plana como uma estrutura plana submetida a carregamento perpendicular a
seu plano. Tendo em vista essa definição, supondo-se que o plano da grelha seja o plano xy,
seu equilíbrio será regido pelas três equações da Estática abaixo:
∑ F = ∑V = 0 å
∑M = 0 å
∑M = 0 å
z
x
y
Somatório das forças perpendiculares ao plano nulo
Somatório dos momentos em torno do eixo x nulo
Somatório dos momentos em torno do eixo y nulo
Uma grelha será então isostática quando houver apenas três incógnitas a determinar. Os tipos
mais comuns de grelhas isostáticas são os indicados na figura abaixo:
z
y
P2
Ma
x
P2
q
P1
Ta
a
c
d
c
P1
a
b
Va
q
d
Vd
b
Va
Vb
Na grelha engastada, as reações serão o momento torçor, o momento fletor e a reação vertical
no engaste.
Na grelha com 3 apoios, as incógnitas serão as reações verticais em cada apoio.
Grelhas com 4 ou mais apoios (sem rótulas) e grelhas engastadas com 1 ou mais
apoios são hiperestáticas.
Grelhas com 2 ou menos apoios e grelhas com 3 apoios colineares são hipostáticas.
Ultima atualização em 29/6/2007
65
Apostila de I sostática – Professora Elaine Toscano
d
c
a
Vc
b Ve
Vb
Olhando a figura acima, verifica-se que não é possível equilibrar a estrutura. Aplicada uma
força em d, não há como tornar nulo o momento em torno do eixo b-c.
5.3 - Reações de apoio
A principal diferença no cálculo de reações de apoio de grelhas e de pórticos é com relação ao
somatório dos momentos.
Enquanto em pórticos o somatório dos momentos é calculado usando a distância de
cada força ao ponto, em grelhas o somatório dos momentos é função das forças e suas
distâncias em relação ao eixo considerado.
O exercicio 2 dos itens 1.5 e 2.4 apresenta o cálculo das reações de apoio e esforços seccionais
de uma grelha engastada.
No caso de uma grelha de 3 apoios como a da figura a seguir onde todas as barras possuem
comprimento Lx (na direção x) e Ly (na direção y), pode-se calcular as reações de apoio da
seguinte forma:
z
P2
y
q
c
P1
x
d
a
Vd
b
Va
∑F
z
∑M
∑M
= Va + Vb + Vd = P1 + P2 + q ⋅ Lx = 0
b−c
= Va Ly + P2 Ly − Vd Ly − P1Ly = 0
a −b
= qLx ⋅
3L
Lx
− Va Lx + P2 ⋅ x = 0
2
2
Vb
5.4- Diagramas de esforços
Conhecendo as reações de apoio, passemos à determinação dos esforços solicitantes numa
seção genérica S de uma grelha e ao traçado de seus respectivos diagramas. Pode-se afirmar
que, numa seção genérica de uma grelha, tendo em vista a natureza das cargas atuantes,
podem atuar três tipos de esforços seccionais: esforço cortante Q; momento fletor M e
momento torçor T.
66
Diagramas de esforços em grelhas planas – Professora Elaine Toscano
Da mesma forma que nos outros tipos de estruturas já vistos, os esforços seccionais numa
grelha são determinados, para cada seção transversal, considerando-se todas as cargas e
reações aplicadas na estrutura, localizadas em um dos lados da seção considerada. Além disso,
para traçado de diagramas, também é válido o artifício de se tratar cada trecho da grelha como
uma viga biapoiada, desde que se apliquem em suas extremidades os esforços ali atuantes.
A figura abaixo apresenta os diagramas de esforços para a grelha de três apoios da página
anterior.
P2
qLx
Va
P2Lx/2
P2Lx/2
Vd
qL2x/8
P1 Vb
Q
VaLy
Vd
(Vd-P2)Ly
(Vd-P2)Ly
M
-P2Lx/2
-(Vd-P2)Ly
T
Observações importantes:
As convenções correspondem ao apresentado no item 2.3.
Para o cálculo dos momentos fletores em cada barra utiliza-se as forças de um lado ou do
outro da seção multiplicadas pela distância na direção paralela a barra.
Para o cálculo dos momentos torçores em cada barra utiliza-se as forças de um lado ou
do outro da seção multiplicadas pela distância na direção perpendicular a barra.
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Apostila de I sostática – Professora Elaine Toscano
Recordando 4 – Pórticos x Grelhas
Abaixo apresenta-se um resumo comparativo entre pórticos planos e grelhas planas:
Pórticos planos Grelhas planas
Equações de equilíbrio Equações de equilíbrio
∑ Fx = 0 ∑ Fz = 0
∑F
∑M
y
z
=0
=0
Esforços atuantes
Normal
Cortante
Momento Fletor
Momento Torçor
Cálculo das reações
o somatório dos momentos é calculado usando
a distância de cada força ao ponto
considerado.
∑M
∑M
x
y
=0
=0
Esforços atuantes
Normal
Cortante
Momento Fletor
Momento Torçor
Cálculo das reações
o somatório dos momentos é função das
forças e suas distâncias em relação ao
eixo considerado.
5.5- Exercícios resolvidos
1) Traçar os diagramas de esforços para a grelha engastada abaixo:
VA = 10kN
MAx=52kN
MAy=6kN
Esforço cortante:
Barra a-b:
4kNk à direita:
Barra d-e:
6kNk à esquerda:
Barra e-f:
10kNk à esquerda:
Barra g-h:
2kNk à direita:
Barra g-d:
2kNk à frente:
Barra d-a:
4kNk atrás :
68
+4kN
-6kN
-10kN
+2kN
-2kN
+4kN
Diagramas de esforços em grelhas planas – Professora Elaine Toscano
2kNk à frente:
2kNk atrás :
Barra i-e:
Barra e-c:
-2kN
+2kN
Momento fletor:
Barra a-b:
Em a:
4 x 2 kNm
-8kNm (tração superior)
Em b:
4 x 0 kNm
0
Barra g-h:
Em g:
2 x 2 kNm
-4kNm (tração superior)
Em h:
2 x 0 kNm
0
Barra c-e:
Em e:
2 x 3 kNm
-6kNm (tração superior)
Em c:
2 x 0 kNm
0
Barra e-i:
Em e:
2 x 3 kNm
-6kNm (tração superior)
Em i:
2 x 0 kNm
0
Barra a-d:
Em d:
4 x 3 kNm
-12kNm (tração superior)
Em a:
4 x 0 kNm
0
Barra d-g:
Em d:
2 x 3 kNm
-6kNm (tração superior)
Em g:
2 x 0 kNm
0
Barra d-e:
Em d:
(4 + 2) x 2 kNm
+12kNm (tração inferior)
Em e:
(4 + 2) x 2 kNm
-12kNm (tração superior)
Barra e-f:
Em e:
(4 + 2) x 2 kNm
-12kNm (tração superior)
Em f:
(4 + 2)x6 + (2 + 2)x4 =-52kNm (tração superior)
52
8
4
12
+8
2
4
12
6
+6
+6
6 6
6
10
12
-4
2
2
2
4
Momento torçor:
Barra a-b:
0
Barra c-e:
0
Barra e-i:
0
Barra g-h:
0
Barra a-d:
4 x 2 kNm
Barra d-g:
2 x 2 kNm
Barra d-e:
4x3–2x3
Barra e-f:
4x3–2x3
Ultima atualização em 29/6/2007
+8kNm
-4kNm
+6kNm
+6kNm
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Apostila de I sostática – Professora Elaine Toscano
5.6- Exercícios propostos
1 – Classificar as grelhas quanto à estaticidade e traçar os diagramas de esforços solicitantes
para as grelhas isostáticas:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
l)
m)
70
Diagramas de esforços em grelhas planas – Professora Elaine Toscano
n)
o)
5.7- Respostas dos exercícios propostos
1–
a) isostática
Q
M
T
2
2
0,5
0,5
2
6
2
2
-6
6
b) hiperestática
c) hipostática
e) isostática
Q
M
0,5
2
2
d) hiperestática
T
6
12
6
6
4
-6
+6
3,75
2,25
2
2
9
15
Ultima atualização em 29/6/2007
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Apostila de I sostática – Professora Elaine Toscano
f) hipostática
g) hipostática
i) isostática
Q
M
h) hiperestática
T
4
12
4
2
1
12
2
2
1
6
6
2
3
+6
1
-6
5
8
12
j) hiperestática
l) isostática
Q
M
T
26
6
2
2
0,5
-6
8
2
6
6
2
2
2
m) hipostática
72
6
+6
2
n) hipostática
o) hiperestática
+6
Treliças isostáticas planas – Professora Elaine Toscano
Capítulo 6 – Treliças isostáticas planas
6.1 – Introdução
Este capítulo será dedicado ao estudo das treliças isostáticas.
Chama-se treliça a estrutura constituída exclusivamente por barras retas birrotuladas
e sob carregamento aplicado apenas nas rótulas.
As treliças são capazes de vencer grandes vãos com um peso pequeno em relação ao que seria
necessário para uma viga vencer a mesma distância. No entanto, as treliças funcionam
baseadas em sua disposição de barras e dimensões e tendem a exigir uma altura estrutural
maior. Costumam ser muito adotadas em coberturas e passarelas.
Em geral as barras de uma treliça são finas e podem suportar pequena carga lateral. Todas as
cargas são, portanto, aplicadas às juntas e não às barras.
Embora as barras sejam unidas por meio de conexões pivotadas ou soldadas, costuma-se
considerar que as barras são unidas através de pinos; logo, as forças que atuam em cada
extremidade de uma barra reduzem-se a uma única força sem nenhum momento
6.2 - Treliças planas
São estruturas constituídas por barras de eixo retilíneo, articuladas entre si em suas
extremidades, formando malhas triangulares. As articulações (ou juntas) são chamadas de nós.
Como as cargas externas são aplicadas somente nos nós, as barras das treliças são solicitadas
apenas por forças normais.
Hipóteses de Cálculo:
1) As barras que formam a treliça ligam-se por meio de articulações sem atrito
(rótulas).
2) As cargas e as reações são aplicadas somente nos nós da treliça.
3) O eixo de cada barra coincide com a reta que une os centros das articulações nas
extremidades.
4) As barras são solicitadas somente por esforço normal.
Na realidade as ligações entre as barras não são rótulas perfeitas, sendo esta uma simplificação
de cálculo.
Sempre que as barras da treliça forem dispostas de modo que os eixos se cruzem em um
ponto, os esforços secundários são desprezíveis (por exemplo: a flexão que surge nas barras
devido à rigidez dos nós).
Ultima atualização em 29/6/2007
73
Apostila de I sostática – Professora Elaine Toscano
6.3- Estaticidade de treliças planas
Conhecendo-se os esforços externos ativos, através das equações de equilíbrio da estática,
pode-se determinar tanto as reações nos apoios quanto as forças normais nas barras.
A condição necessária, mas não suficiente, para que uma treliça plana seja isostática é:
2n = b + v
Onde:
n = número de nós na treliça, incluindo os vínculos externos;
b = número de barras da treliça;
v = número total de reações dos vínculos externos;
b + v indica o número de incógnitas do problema.
2n indica o número de equações do problema. O somatório de forças verticais e horizontais
em cada nó deve ser nulo, gerando com isso 2 equações por nó.
No caso de treliças espaciais utiliza-se 3n, pois o número de equações por nó passa a
ser 3 para considerar o equilíbrio das forças em 3 direções.
Logo, a condição necessária é de que o número de equações seja igual ao número de
incógnitas. Exemplo:
Enquanto a treliça da esquerda é isostática, a da direita não o é, pois a malha BCFE é
deformável (hipostática), não tendo condições de permanecer em equilíbrio (a não ser sob
carregamentos particulares). O trecho ABED é hiperestático.
Assim, a condição “2n = b + v” é necessária, mas não suficiente.
6.4- Método dos nós
O método mais prático e usual para a solução de treliças isostáticas é o método dos nós.
Consiste em determinar os esforços normais em cada barra da treliça através do somatório das
forças transmitidas por cada barra a um nó específico. Desta forma, em cada nó teremos as
equações:
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Treliças isostáticas planas – Professora Elaine Toscano
∑F
z
=0
e
∑F
y
=0
Os passos a serem seguidos no método dos nós são resumidos abaixo:
1º - Começar por nós com apenas 2 incógnitas (duas barras de esforço normal desconhecido
ou 2 reações de apoio);
2º - verificar a inclinação das barras (e vetores de forças correspondentes) que chegam
ao nó analisado;
3º - resolver as duas equações de equilíbrio do nó analisado para definir os esforços
normais (incógnitas) em cada uma das duas barras;
4º - transmitir os vetores invertidos para as outras extremidades das duas barras.
5º - voltar ao 1º passo até que todas os esforços estejam definidos.
6.5- Simplificação de treliças isostáticas
Observe o nó abaixo:
Verifica-se que em um nó sem forças externas aplicadas, sem vínculos externos e com três
barras sendo duas delas paralelas entre si (2 e 3), a barra não paralela (1) terá esforço nulo.
Isso ocorre porque o somatório das forças na direção perpendicular as barras 2 e 3 deve ser
nulo e a única força existente nesta direção se encontra na barra 1.
As barras que atendem as condições abaixo podem ser eliminadas antes do início da resolução
da treliça.
a) pertencer a um nó sem forças externas aplicadas, sem vínculos externos e com três barras
sendo duas delas paralelas entre si (2 e 3),
b) ser a única barra não paralela as outras 2.
Após a eliminação de cada barra é possível reavaliar a treliça para verificar se outras barras
passaram a atender estas condições.
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75
Apostila de I sostática – Professora Elaine Toscano
6.6 – Convenção de sinais
O método dos nós avalia o esforço que cada barra transfere para os nós analisados, desta
forma, os vetores representados durante a resolução correspondem as reações das barras ao
esforço sofrido por elas.Logo, no caso de barras de treliças, observa-se a mesma
convenção de sinais adotada para tirantes e escoras.
Verifica-se que apesar das setas estarem entrando na barra, o esforço normal é positivo
pois as setas representam uma reação do barra às ações por ela sofridas. Ou seja, a barra está
puxando os nós pois está sendo tracionada.
Desta forma, em barras de treliças:
N(-)
N(+)
6.7- Exercícios resolvidos
1) Calcular os esforços e reações de apoio para a treliça isostática abaixo:
Como a treliça possui apenas 3 reações de apoio, podemos resolvê-la de forma mais rápida
partindo do cálculo das reações de apoio.
⎧n
⎪∑ X i = 0 : H A = 0,5kN →
⎪ i =1
⎪n
⎪∑ Yi = 0 : VA + VB = 1,5kN ↑
⎨ i =1
⎪n
⎪∑ Mzi = 0 : ∑ M A = 2 ⋅ 1 − 2 ⋅ 0,5 − 4VB = 0 → VB = −0,25kN ↑
⎪ i =1
⎪
⎩VA = 1,25kN ↑
76
Treliças isostáticas planas – Professora Elaine Toscano
Nó A:
Barra 1: compressão
Barra 4: compressão
Nó B:
Barra 9: compressão
Barra 8: nula
Nó C:
Barra 3: tração
Barra 2: compressão
Nó F:
Barra 7: tração
Barra 6: compressão
Nó E:
Barra 5: Compressão
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Apostila de I sostática – Professora Elaine Toscano
6.8- Exercícios propostos
1) Calcular os esforços e reações de apoio para as treliças isostáticas abaixo usando qualquer
método de resolução:
a)
b)
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Treliças isostáticas planas – Professora Elaine Toscano
c)
d)
e)
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Apostila de I sostática – Professora Elaine Toscano
f)
g)
h)
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Treliças isostáticas planas – Professora Elaine Toscano
i)
j)
l)
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Apostila de I sostática – Professora Elaine Toscano
6.9- Respostas dos exercícios propostos
a)
b)
c)
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Treliças isostáticas planas – Professora Elaine Toscano
d)
e)
f)
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g)
h)
i)
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Treliças isostáticas planas – Professora Elaine Toscano
j)
l)
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