Signal and System

CÂU HỎI, ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI MÔN: XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ CÂU HỎI VÀ BÀI T P CH ƠNG 1 Bài 1.1 x a (t ) = 3 cos 50πt + 10 sin 300πt − cos100πt Cho tín hiệu tương tự Hãy xác định tốc độ l y mẫu Nyquist đối với tín hiệu này? Cho tín hiệu x a (t ) = 3 cos100πt Bài 1.2 a) Xác định tốc độ l y mẫu nhỏ nh t c n thiết để khôi phục tín hiệu ban đ u. b) Giả sử tín hiệu được l y mẫu tại tốc độ Fs = 200 Hz. Tín hiệu rời rạc nào sẽ có được sau l y mẫu? Tìm quan hệ giữa dãy nhảy đơn vị u(n) và dãy xung đơn vị δ ( n ) Bài 1.3 Bài 1.4 Tương tự bài trên tìm quan hệ biểu diễn dãy chữ nhật rectN(n) theo dãy nhảy đơn vị u(n). Hãy biểu diễn dãy δ ( n + 1) Bài 1.5 Bài 1.6 Xác định x(n) = u(n-5)-u(n-2) Bài 1.7 Xác định năng lượng c a chuỗi ⎧⎪(1 2)2 x(n ) = ⎨ n ⎪⎩ 3 n≥0 n<0 Bài 1.8 Hãy xác định năng lượng c a tín hiệu x(n ) = Ae jω 0 n Bài 1.9 Xác định công su t trung bình c a tín hiệu nhảy bậc đơn vị u(n) 1 Bài 1.10 Xác định công su t trung bình c a tín hiệu nhảy bậc đơn vị u(n) Bài 1.11 Hãy xác định công su t trung bình c a tín hiệu x(n ) = Ae jω 0 n Bài 1.12 Đáp ng xung và đ u vào c a một hệ TTBB là: ⎧ 1 n = −1 ⎪2 n=0 ⎪⎪ h (n) = ⎨ 1 n =1 ⎪−1 n = 2 ⎪ n≠ ⎪⎩ 0 ⎧1 n = 0 ⎪2 n = 1 ⎪⎪ x ( n ) = ⎨3 n = 2 ⎪1 n = 3 ⎪ ⎪⎩0 n ≠ Hãy xác định đáp ng ra y(n) c a hệ. Bài 1.13 Tương tự như bài trên hãy tính phép chập x3(n) = x1(n)*x2(n) với: ⎧ n ⎪1 − a) x1(n) = ⎨ 3 ⎪⎩ 0 n≥0 n≠ b) x1(n) = δ ( n + 1) + δ ( n − 2 ) ; ; x2(n) = rect2(n-1). x2(n) = rect3(n). Bài 1.14 Cho HTTT b t biến có h(n) và x(n) như sau: ⎧a n h (n) = ⎨ ⎩ 0 n≥0 n≠ ⎧ bn x (n) = ⎨ ⎩0 n≥0 n≠ 0 < a < 1, 0 < b < 1, a ≠ b. Tìm tín hiệu ra (đáp ng ra)? Bài 1.15 Hãy xác định xem các hệ có phương trình mô tả quan hệ vào ra dưới đây có tuyến tính không: a) y (n ) = nx(n ) b) y (n ) = x 2 (n ) Bài 1.16 Hãy xác định xem các hệ có phương trình mô tả quan hệ vào ra dưới đây có tuyến tính không: ( ) a) y (n ) = x n 2 b) y (n ) = Ax(n ) + B 2 Bài 1.17 Xác định xem các hệ được mô tả bằng những phương trình dưới đây là nhân quả hay không: a) y (n ) = x(n ) − x(n − 1) b) y (n ) = ax(n ) Bài 1.18 Xác định xem các hệ được mô tả bằng những phương trình dưới đây là nhân quả hay không: a) y (n ) = x(n ) + 3 x(n + 4 ) ; ( ) b) y (n ) = x n 2 ; c) y (n ) = x(2n ) ; d) y (n ) = x(− n ) Bài 1.19 Xét tính ổn định c a hệ thống có đáp ng xung h(n) = rectN(n). Bài 1.20 Xác định khoảng giá trị c a a và b để cho hệ TT BB có đáp ng xung ⎧a n h(n ) = ⎨ n ⎩b n≥0 n<0 là ổn định. Bài 1.21. Hãy tìm đáp ng xung h(n) c a một hệ thống số được cho bởi sơ đồ sau đây: x(n) h1 ( n ) h2 ( n ) h3 ( n ) y(n) Bài 1.22 Cho một hệ thống tuyến tính b t biến được mô tả bằng phương trình sai phân sau đây: y ( n ) = b0 x ( n ) + b1 x ( n − 1) + b2 x ( n − 2 ) + b4 x ( n − 4 ) Hãy biểu diễn hệ thống đó. Hãy biểu diễn bằng đồ thị tín hiệu y (n ) = x(2n ) , ở đây x(n ) là tín hiệu được mô tả như Bài 1.23 sau:. 3 4 x(n ) -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 n 2 3 4 5 6 Bài 1.24 Hãy xác định nghiệm riêng c a phương trình sai phân. y (n ) = 5 y (n − 1) − 1 y (n − 2) + x(n) 6 6 khi hàm cưỡng b c đ u vào x(n ) = 2 n , n ≥ 0 và bằng không với n khác. Bài 1.25 Hãy giải phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng sau y(n) – 3y(n-1) + 2y(n-2) = x(n) + x(n-2) Với điều kiện đ u y(-1) = y(-2) = 0 và x(n) = 5 n Bài 1.26 Cho x(n) = rect3(n) Hãy xác định hàm tự tương quan Rxx(n). Bài 1.27 Hãy cho biết cách nào sau đây biểu diễn tổng quát một tín hiệu rời rạc b t kỳ x(n)? a) x ( n) = c) x ( n) = ∑ +∞ k =−∞ x(n)δ (n − k ) x(n) = ∑ x(k )δ (n − k ) +∞ b) ∑ x(k )δ (n − k ) k =0 d) x(n) = +∞ k =−∞ ∑ x(n)δ (k − n) +∞ k =−∞ Bài 1.28 Hệ thống được đặc trưng bởi đáp ng xung h(n) nào sau đây là hệ thống nhân quả: a) h(n) = u(n+1) b) h(n) = -u(n-1) c) h(n) = -u(-n-1) d) h(n) = -u(n+1) Bài 1.29 Phép chập làm nhiệm vụ nào sau đây: a) Phân tích một tín hiệu ở miền rời rạc b) Xác định đáp ng ra c a hệ thống 4 c) Xác định công su t c a tín hiệu d) Xác định năng lượng tín hiệu Bài 1.30 Phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng mô tả hệ thống rời rạc nào sau đây: a) Hệ thống tuyến tính b t biến. b) Hệ thống tuyến tính. c) Hệ thống ổn định. d) Hệ thống b t biến. ĐÁP ÁN CH ƠNG I Bài 1.1. Do ω = 2.π f , tín hiệu trên có các t n số thành ph n sau: F1 = 25 Hz, F2 = 150 Hz, F3 = 50 Hz Như vậy, Fmax = 150 Hz và theo định lý l y mẫu ta có: Fs ≥ 2 Fmax = 300 Hz Tốc độ l y mẫu Nyquist là FN = 2Fmax . Do đó, FN = 300 Hz. Bài 1.2 a) T n số c a tín hiệu tương tự là F = 50 Hz. Vì thế, tốc độ l y mẫu tối thiểu c n thiết để khôi phục tín hiệu, tránh hiện tượng chồng mẫu là Fs = 100 Hz. b) Nếu tín hiệu được l y mẫu tại Fs = 200 Hz thì tín hiệu rời rạc có dạng x(n ) = 3 cos(100π 200 )n = 3 cos(π 2 )n Theo định nghĩa dãy nhảy đơn vị u(n) và dãy xung đơn vị δ ( n ) ta có: Bài 1.3 u ( n) = ∑ δ (k ) n k =−∞ Bài 1.5 Ta có: 1 δ ( n+1) ⎧1 n + 1 = 0 → n = −1 ⎩0 n ≠ 0 δ ( n + 1) = ⎨ -2 -1 0 1 n 5 Bài 1.6 Ta xác định u(n-2) và u(n-5) sau đó thực hiện phép trừ thu được kết quả x(n) = u(n-5)-u(n-2) = rect3(n-2) x(n) = rect3 ( n − 2 ) 1 0 1 2 3 4 5 n Bài 1.7 ∑ x(n) = ∑ ( ) + ∑ 3 Theo định nghĩa E= = ∞ 2 n = −∞ 1 1− 1 4 + ∞ 1 2n 2 −1 2n 1 )2 n = 4 + 9 − 1 = 35 ( ∑ 3 3 8 24 ∞ n=0 n = −∞ n =1 Vì năng lượng E là hữu hạn nên tín hiệu x(n) là tín hiệu năng lượng. Bài 1.8 Đáp số: Năng lượng c a tín hiệu bằng vô hạn. Chú ý Ae jω0 n = A2 [cos 2 (ω0 n) + sin 2 (ω0 n)] = A Bài 1.9 Xác định công su t trung bình c a tín hiệu nhảy bậc đơn vị u(n) Giải Ta có: 1 P = lim N →∞ 2N + 1 ∑u (n) N 2 n=0 1+1 N 1 N +1 = = lim = lim 2 N →∞ 2N + 1 N →∞ 2 + 1 N Do đó, tín hiệu nhảy bậc đơn vị là một tín hiệu công su t. 6 Bài 1.10 Ta có: 1 P = lim N →∞ 2N + 1 ∑ N n=0 u 2 (n ) 1+1 N 1 N +1 = lim = 2 N →∞ 2N + 1 N →∞ 2 + 1 N = lim Do đó, tín hiệu nhảy bậc đơn vị là một tín hiệu công su t. Bài 1.11 N 1 A2 =A2 ∑ N →∞ 2 N + 1 n =− N P= lim Bài 1.12 Ta sẽ thực hiện phép chập bằng đồ thị: đổi sang biến k, giữ nguyên x(k), l y đối x ng h(k) qua trục tung thu được h(-k), sau đó dịch chuyển h(-k) theo từng mẫu để tính l n lượt các giá trị c a y(n) cụ thể như hình sau: h(k ) 3 x(k ) 2 2 3 -1 0 1 2 3 4 L y đối x ng h(k) thu được h(-k) h(− k ) k k Nhân, cộng x(k) và h(-k) y(0) = 1.2 + 2.1 = 4 2 -2 -1 0 1 2 3 4 2 3 -1 0 1 2 k Dịch chuyển h(-k) ta có và tính tương tự ta có....y(-2)=0, y(-1)=1, y(0)=4, y(1)=8, y(2)=8, y(3)=3....cuối cùng ta thu được kết quả: ⎪⎧ ⎪⎫ y ( n ) = ⎨… , 0, 0, 1, 4, 8, 8, 3, − 2, − 1, 0, 0, …⎬ 0 ⎩⎪ ⎭⎪ Bài 1.14 7 Nhận xét: Hệ thống nhân quả h(n) và x(n) đều nhân quả ( y ( n ) = ∑ b k a n − k = a n ∑ b.a −1 n n k =0 k =0 1 − x n +1 Có dạng: ∑ x = 1− x k =0 ) k n k ⎧ 1 − ( b.a −1 )n +1 ⎪⎪a n y ( n) = ⎨ 1 − ( b.a −1 ) ⎪ ⎪⎩0 n≥0 n<0 a) Đối với các chuỗi xung đ u vào x1 (n ) và x 2 (n ) , tín hiệu ra tương ng là: Bài 1.15 y1 (n ) = nx1 (n ) y 2 (n ) = nx 2 (n ) y3 (n ) = H [a1 x1 (n ) + a 2 x 2 (n )] = n[a1 x1 (n ) + a 2 x 2 (n )] Liên hợp tuyến tính hai tín hiệu vào sẽ sinh ra một tín hiệu ra là: = a1nx1 (n ) + a 2 nx 2 (n ) Trong khi đó liên hợp hai tín hiệu ra y1 y2 tạo nên tín hiệu ra: a1 y1 (n ) + a 2 y 2 (n ) = a1nx1 (n ) + a 2 nx 2 (n ) So sánh 2 phương trình ta suy ra hệ là tuyến tính. b) Đ u ra c a hệ là bình phương c a đ u vào, (Các thiết bị điện thường có qui luật như thế và gọi là thiết bị bậc 2). Đáp ng c a hệ đối với hai tín hiệu vào riêng rẽ là: y1 (n ) = x12 (n ) y 2 (n ) = x22 (n ) Đáp ng c a hệ với liên hợp tuyến tính hai tín hiệu là: y3 (n ) = H [a1 x1 (n ) + a 2 x 2 (n )] = [a1 x1 (n ) + a 2 x 2 (n )]2 = a12 x12 (n ) + +2a1a 2 x1 (n )x 2 (n ) + a 22 x 22 (n ) Ngược lại, nếu hệ tuyến tính, nó sẽ tạo ra liên hợp tuyến tính từ hai tín hiệu, t c là: a1 y1 (n ) + a 2 y 2 (n ) = a1 x12 (n ) + a 2 x22 (n ) Vì tín hiệu ra c a hệ như đã cho không bằng nhau nên hệ là không tuyến tính. Bài 1.16 8 a) Hệ tuyến tính b) Hệ không tuyến tính. Bài 1.17 Các hệ thuộc ph n a), b) rõ ràng là nhân quả vì đ u ra chỉ phụ thuộc hiện tại và quá kh c a đ u vào. Bài 1.18 Các hệ ở ph n a), b) và c) là không nhân quả vì đ u ra phụ thuộc cả vào giá trị tương lai c a đ u vào. Hệ d) cũng không nhân quả vì nếu lựa chọn n = −1 thì y (− 1) = x(1) . Như vậy đ u ra taị n = −1 , nó nằm cách hai đơn vị thời gian về phía tương lai. Bài 1.19 S1 = ∑ ∞ n =−∞ (= ∑ 1 = N ) → Hệ ổn định h1 ( n ) = N N −1 n =0 Bài 1.20 ∑ h( n) = ∑ a + ∑ b Hệ này không phải là nhân quả. Điều kiện ổn định là : ∞ ∞ n = −∞ n =0 −1 n n n = −∞ Ta xác định được rằng tổng th nh t là hội tụ với a < 1 , tổng th hai có thể được biến đổi như sau: ∑b =∑ −1 n n = −∞ ∞ ( n =1 1 = n b b 1 ⎞ ⎛ ⎜1 + 1 + 1 + … ⎟ ⎜ ⎟ b b2 ⎠ ⎝ ) = β 1+ β + β 2 +… = β 1− β ở đây β = 1 b phải nhỏ hơn đơn vị để chuỗi hội tụ . Bởi vậy, hệ là ổn định nếu cả a < 1 và b > 1 đều thoả mãn. Bài 1.21. H ớng d n h1 ( n ) = rect3 ( n ) h2 ( n ) = δ ( n − 1) + δ ( n − 2 ) h3 ( n ) = δ ( n − 3 ) Hướng dẫn: Thực hiện h2(n) + h3(n) rồi sau đó l y kết quả thu được chập với h1(n): h(n) = h1(n) * [h2(n) + h3(n)] Bài 1.22 9 Áp dụng các công cụ thực hiện hệ thống ta vẽ được hệ thống như sau: b0 b0 x ( n) b1 b1 x ( n − 1) b2 b2 x ( n − 2) b4 b4 x ( n − 4) Ta chú ý rằng tín hiệu y (n ) đạt được từ x(n ) bằng cách l y mỗi một mẫu khác từ x(n ) , bắt Bài 1.23 x(0 ) . Chẳng hạn y (− 2 ) = x(− 4 ) ,v.v... đ u với y (0 ) = x(0 ) , y (1) = x(2 ) , y (2 ) = x(4 ) ,...và y (− 1) = x(− 2 ) , Nói cách khác, ta bỏ qua các mẫu ng với số lẻ trong x(n ) và giữ lại các mẫu mang số chẵn. Tín hiệu phải tìm được mô tả như sau: y (n ) = x( -4 -2 -1 0 1 2 Bài 1.24 y p ( n ) = B 2n Dạng nghiệm riêng là: n≥0 Thay y p (n ) vào đ u bài ta có B 2n = 56 B 2n −1 − 16 B 2 n − 2 + 2 n 4 B = 56 (2 B) − 16 B + 4 và tìm th y B = 85 Bởi vậy, nghiệm riêng là 10 y p (n ) = 8 2 n 5 n≥0 Bài 1.25 Đáp án: y(n) = (13/50) – (104/75).2 n + (13/6).5 n với n ≥ 0. Bài 1.26 Đáp án: Rxx(-2) = Rxx(2) = 1; Rxx(-1)= Rxx(1)= 2; Rxx(0). Lưu ý: hàm tự tương quan bao giờ cũng đạt giá trị cực đại tại n=0. Bài 1.27 Phương án c) Bài 1.28 Phương án b) Bài 1.29 Phương án b) Bài 1.30 Phương án a) 11 CÂU HỎI VÀ BÀI T P CH ƠNG 2 Bài 2.1 Xác định biến đổi z c a các tín hiệu hữu hạn sau a) x1 (n ) = {1 2 5 7 0 1} { } b) x2 (n ) = 1 2 5 7 0 1 ↑ c) x3 (n ) = {0 0 1 2 5 7 0 1} { } d) x4 (n ) = 2 4 5 7 0 1 ↑ Bài 2.2 Xác định biến đổi z c a các tín hiệu hữu hạn sau a) x1 ( n ) = δ ( n − k ) , k > 0 b) x 2 ( n ) = δ ( n + k ) , k > 0 Bài 2.3 Xác định biến đổi z c a tín hiệu: ⎧a n x(n ) = α n u (n ) = ⎨ ⎩0 [ ( ) − 4(3 )]u(n) Cho x(n ) = 3 2 Bài 2.4 n n≥0 n<0 n Xác định X(z). Bài 2.5 Xác định biến đổi z c a tín hiệu: 0 ≤ n ≤ N −1 ≠ ⎧1 x(n ) = ⎨ ⎩0 Bài 2.6 Cho X ( z ) = z z+ 1 3 Xác định x(n) bằng phương pháp khai triển thành chuỗi lũy thừa. Bài 2.7 Cho H ( z ) = z +3 1 ( z 2 + z + 1).( z − ) 2 12 Xác định điểm cực điêm không hệ thống. Biểu diễn trên mặt phẳng z. Bài 2.8 Cho H ( z ) = 3 1 ( z 2 + z + 1).( z + ) 4 Xét ổn định hệ thống? Bài 2.9 Cho tín hiệu X ( z ) = z+2 , Hãy xác định x(n) = ? 2z − 7z + 3 2 Bài 2.10 Cho hệ thồng có hàm truyền đạt H ( z) = 2z + 3 5 1 z2 + z + 6 6 a) Xác định điêm cực điểm không c a hệ thống. b) Xét xem hệ thống có ổn định không. c) Tìm đáp ng xung h(n) c a hệ thống. Bài 2.11 Cho hệ thống có: H ( z) = z 2 z − 3z + 1 2 a) Hãy xét xem hệ thống có ổn định không b) Hãy xác định đáp ng xung c a hệ thống. c) Xác định h(n) khi H ( z ) = z 2006 2 z 2 − 3z + 1 Bài 2.12 Cho sơ đồ hệ thống: 13 X1 ( z ) z −1 z −1 H 11 ( z ) X2 ( z ) H 12 ( z ) z −1 H2 ( z ) H1 ( z ) Hãy xác định hàm truyền đạt H(z) Bài 2.13 Cho hệ thống có hàm truyền đạt: H ( z) = 1 4 + 3z + 2 z −2 + z −3 + z −4 −1 Hãy xét sự ổn định c a hệ thống. Bài 2.14 Tìm hệ thống và đáp ng mẫu đơn vị c a hệ thống được mô tả bằng phương tình sai phân: y (n ) = 1 y (n − 1) + 2 x(n ) 2 Bài 2.15 ⎛3⎞ Cho tín hiệu x ( n ) = ⎜ ⎟ u ( n ) ⎝2⎠ n Biến đổi z c a nó sẽ là: a) X ( z ) = c) X ( z ) = z z− 3 2 với z > 3 2 1 3 với z < 3 2 1 − z −1 2 b) X ( z ) = d) X ( z ) = z z+ 3 2 3 1 với z > 3 2 1 + z −1 2 với z > 3 2 Bài 2.16 Cách biểu diễn nào sau đây thường được dùng biểu diễn hàm truyền đạt H(Z) c a hệ thống: 14 a) H ( z ) = ∑ br z − r r =0 N ∑a z k =1 c) H ( z ) = b) H ( z ) = M −k ∑ br z r M r =0 N 1 + ∑ ak z k d) H ( z ) = k =1 Cho tín hiệu x(n) = r =0 N −r 1 + ∑ ak z − k r k =1 k Bài 2.17 ∑b z M ∑b z M −1 r =0 N −1 −r 1 + ∑ ak z − k r k =1 n a n u (n ) hãy cho biết trường hợp nào sau đây là biến đổi X(z) c a nó: z −1 a) (1 − az −1 ) c) (1 − az ) az −1 −1 2 2 với z > a với z<a b) (1 − az ) d) (1 − az −1 ) az −1 −1 2 với z > a với z > a az 2 Bài 2.18 Ph n tử Z-1 trong hệ thống rời rạc là ph n tử: a) ph n tử trễ b) ph n tử tích phân c) ph n tử vi phân c) ph n tử nghịch đảo Bài 2.19 Hệ thống số đặc trưng bởi hàm truyền đạt H(z) sẽ ổn định nếu: a) T t cả các điểm không (Zero) zor phân bố bên trong vòng tròn đơn vị. b) T t cả các điểm cực (Pole) zpk c a hệ thống phân bố bên trong vòng tròn đơn vị. c) T t cả các điểm cực (Pole) zpk c a hệ thống phân bố bên ngoài vòng tròn đơn vị. d) T t cả các điểm không (Zero) zor phân bố bên ngoài vòng tròn đơn vị. Bài 2.20 Phương án nào sau đây thể hiện hàm truyền đạt c a hệ thống biểu diễn theo dạng điểm cực và điểm không? a) H ( z ) = G. ∑( z − z ) M r =1 N 0r k =1 0k ∑( z − z ) b) H ( z ) = G. ∑(z − z ) N k =1 M pk r =1 0r ∑( z − z ) 15 c) H ( z ) = G. ∏ ( z − z0 r ) M d) H ( z ) = G. ∏(z − z ) r =1 N k =1 pk ∏( z − z ) M ∏(z − z ) r =0 N 0r k =0 pk ĐÁP ÁN CH ƠNG II Bài 2.1 Đáp án a) X 1 ( z ) = 1 + 2 z −1 + 5 z −2 + 7 z −3 + z −5 , RC cả mặt phẳng z , trừ z = 0 . b) X 2 ( z ) = z 2 + 2 z + 5 + 7 z −1 + z −3 , RC: cả mặt phẳng z , trừ z = 0 và z = ∞ c) X 3 ( z ) = z −2 + 2 z −3 + 5 z −4 + 7 z −5 + z −7 , RC: cả mặt phẳng z , trừ z = 0 . d) X 4 ( z ) = 2 z 2 + 4 z + 5 + 7 z −1 + z −3 , RC: cả mặt phẳng z , trừ z = 0 và z = ∞ Bài 2.2 Đáp án: a) X1 ( z ) = z −k δ ( n − k ) ↔ z − k ], k > 0 , RC: cả mặt phẳng z , trừ z = 0 . ZT [nghĩa là, b) X 2 ( z ) = z [nghĩa là, k δ ( n + k ) ↔ z k ], k > 0, RC: cả mặt phẳng z , trừ z = ∞ . ZT Bài 2.3 ∑ Theo định nghĩa ta có: X (z ) = ∞ n=0 α z n −n = n ( α z −1 ) ∑ ∞ n=0 ( ) Nếu α z −1 < 1 hoặc tương ng z > α , thì chuỗi này hội tụ đến 1 / 1 − α z −1 . Như vậy, ta sẽ có cặp biến đổi z . x ( n ) = αn u ( n ) ↔ X ( z ) = z 1 1 − α z −1 RC : z > α Miền hội tụ RC là miền nằm ngoài đường tròn có bán kính α . Lưu ý rằng, nói chung, α c n không phải là số thực. Bài 2.4 Đáp án 16 X(z) = 3 4 − 1 − 2z −1 1 − 3z −1 RC : z > 3 Bài 2.5 Ta có: X ( z ) = ∑1.z N −1 n =0 −n = 1 + z + ... + z −1 − ( N −1) ⎧N ⎪ = ⎨1 − z − N ⎪ ⎩ 1 − z −1 vì x(n ) là hữu hạn, nên RC c a nó là cả mặt phẳng z , trừ z = 0 . z =1 z ≠1 Bài 2.6 Đáp án: Thực hiện giống ví dụ 2.5 ta có: x(n) = (-1/3)n. u(n) Bài 2.7 Điểm cực: zp1, p2 = (-1/2) ± j(3/2); zp3 = ½. Điểm không: zo1 = -3 Bài 2.8 Đáp án: Hệ thống không ổn định Bài 2.9 Ta có: X (z) z X (z) z = = z+2 1 có 3 điểm cực z p1 = , z p 2 = 3 , z p 3 = 0 2 ( 2 z − 7 z + 3) z 2 A z+2 A1 A = + 2 + 3 1⎞ 1 ⎞ z −3 z ⎛ ⎛ 2 ⎜ z − ⎟ ( z − 3) z 2 ⎜ z − ⎟ 2⎠ 2⎠ ⎝ ⎝ Đều là cực đơn nên: 1⎞ ⎛ A1 = ⎜ z − ⎟ 2⎠ ⎝ z+2 1⎞ ⎛ 2 ⎜ z − ⎟ ( z − 3) z 2⎠ ⎝ z= 1 2 1 5 +2 2 2 = = = −1 ⎛1 ⎞ 1 ⎛ 5⎞1 2 ⎜ − 3⎟. 1⎜ − ⎟ ⎝2 ⎠ 2 ⎝ 2⎠2 17 A2 = ( z − 3) A3 = z Vậy: X (z) z z+2 1⎞ ⎛ 2 ⎜ z − ⎟ ( z − 3) z 2⎠ ⎝ z+2 1⎞ ⎛ 2 ⎜ z − ⎟ ( z − 3) z 2⎠ ⎝ = z= 0 = z =3 3+ 2 5 1 = = 5 3 1⎞ ⎛ 2 ⎜ 3 − ⎟ .3 6. 2 2⎠ ⎝ 0+2 2 = 3 ⎛ 1⎞ 2 ⎜ − ⎟ ( −3) ⎝ 2⎠ −1 1 1 = + 3 +3 1 ⎛ ⎞ z −3 z 2⎜ z − ⎟ 2⎠ ⎝ X ( z) = − 1 z 1 z 1 + + 2 z − 1 3 z −3 3 2 m = 0 thì 1 2 ⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎞ x ( n ) = ⎜ − ⎟⎜ ⎟ u ( n ) + 3n u ( n ) + δ ( n ) 3 3 ⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠ n Như vậy đã hoàn thành biến đổi Z ngược. Bài 2.10 Đáp án: a) Hệ có 1 điêrm không z01 = -3/2; hai điểm cực là zp1 = -1/3 và zp2 = -1/2 b) Căn c vào các điểm cực đều nằm trong vòng tròn đơn vị ta th y hệ thống ổn định. c/ Tìm h(n) giống bài tập 2.9 Bài 2.11 Đáp án: a) Hệ thống không ổn định b) h(n) = 2.u(n) – 2.(1/2)n .u(n) c) Dựa vào kết quả câu b) và tính ch t trễ ta có h(n) = 2.u(n+2006) – 2.(1/2)2006u(n+2006) Bài 2.12 Áp dụng: Trong miền z: song song thì cộng, nối tiếp thì nhân. 18 Phân tích ra H1(z), H2(z), … H ( z ) = H1 ( z ) .H 2 ( z ) H1 ( z ) = H11 ( z ) + H12 ( z ) H11 ( z ) = X1 ( z ) X ( z) X 1 ( z ) = 2 X ( z ) + 3 z −1 X ( z ) H11 ( z ) = 2 + 3 z −1 H12 ( z ) = X2 ( z) X ( z) X 2 ( z ) = X ( z ) + 4 z −1 X 2 ( z ) X ( z ) = X 2 ( z ) (1 − 4 z −1 ) H12 ( z ) = 1 1 − 4 z −1 H1 ( z ) = 2 + 3z −1 + H 2 ( z ) = z −1 1 1 − 4 z −1 1 ⎞ −1 ⎛ H ( z ) = ⎜ 2 + 3z −1 + ⎟z 1 − 4 z −1 ⎠ ⎝ Bài 2.13 Áp dụng tiêu chuẩn Jury. Hệ ổn định Bài 2.14 Bằng cách tính biến đổi z c a phương trình sai phân, ta có: Y (z ) = 1 −1 z Y (z ) + 2 X (z ) 2 Y (z ) ≡ H (z ) = X (z ) Do vậy hàm hệ thống là: 2 1 1 − z −1 2 Hệ thống này có một cực tại z = 1 và một zero tại gốc 0. 2 19 Ta có: (2 ) n h(n ) = 2 1 u (n ) Đây là đáp ng xung đơn vị c a hệ thống. Bài 2.15 Phương án a) Bài 2.16 Phương án b) Bài 2.17 Phương án b) Bài 2.18 Phương án a) Bài 2.19 Phương án b) Bài 2.20 Phương án c) 20 CÂU HỎI VÀ BÀI T P CH ƠNG 3 Bài 3.1 Xác định biến đổi Fourier c a tín hiệu x (n ) = a −1 < a < 1 n Bài 3.2 Tìm biến đổi Fourier và phổ biên độ c a dãy 0 ≤ n ≤ L −1 ≠ ⎧A x (n ) = ⎨ ⎩0 với minh hoạ như hình sau x(n ) A .... L −1 0 Bài 3.3 Hãy tính phép chập các dãy x 1 ( n ) * x 2 x1 ( n )= n ( n ) với ⎧⎪ ⎫⎪ x 2 ( n ) = ⎨ 1, 1→ , 1 ⎬ 0 ⎩⎪ ⎭⎪ thông qua biến đổi Fourier. Bài 3.4 ( Xác định mật độ phổ năng lượng S x x e jω x (n ) = a n u (n ) − 1 < a < 1 ) c a tín hiệu Bài 3.5 ( Cho x(n) = a nu (n) với a = 0.5 và a = −0.5 . Hãy biểu diễn mật độ phổ năng lượng S x x e jω ) Bài 3.6 ⎛3⎞ Cho tín hiệu x ( n ) = ⎜ ⎟ u ( n ) . Phổ c a tín hiệu sẽ là đáp án nào sau đây: ⎝4⎠ n 21 ( ) b) X e jω = a) Không tồn tại. ( ) c) X e jω = ( ) d) X e jω = 1 3 1 − e jω 4 1 3 1 + e − jω 4 1 3 1 − e − jω 4 Bài 3.7 ⎛4⎞ Cho tín hiệu x ( n ) = ⎜ ⎟ u ( n ) . Phổ c a tín hiệu sẽ là đáp án nào sau đây: ⎝3⎠ n ( ) b) X e jω = a) Không tồn tại. ( ) c) X e jω = ( ) d) X e jω = 1 4 1 − e jω 3 1 4 1 + e − jω 3 1 4 1 − e − jω 3 Thành ph n tương ng c a x (n − k ) khi chuyển sang miền t n số ω sẽ là: Bài 3.8 ( a) e jω k X e jω ( ) c) e − jω k X e − jω ( b) e jω k X e − jω ) ( d) e − jω k X e jω ) ) Thành ph n tương ng c a x (n ) cos ω 0 n khi chuyển sang miền t n số ω sẽ là: Bài 3.9 a) c) 1 X (ω + ω0 ) 2 b) 1 1 X (ω + ω 0 ) + X (ω − ω 0 ) 2 2 d) 1 X (ω − ω0 ) 2 1 1 X (ω + ω0 ) − X (ω − ω0 ) 2 2 Bài 3.10 Thành ph n tương ng c a e j ω 0 n x (n ) khi chuyển sang miền t n số ω sẽ là: ( a) X e j ( ω + ω 0 ) ( ) c) e jω 0 X e j ( ω − ω 0 ) ) ( b) X e j ( ω − ω 0 ) ( ) d) e jω 0 X e j ( ω + ω 0 ) ) Bài 3.11 Khi nào pha c a bộ lọc số lý tưởng bằng 0 thì quan hệ giữa đáp ng t n số và đáp ng biên độ t n số sẽ là: 22 ( ) ( ) ( ) ( ) a) H e jω = H e jω b) H e jω = − H e jω c) H e jω = H e jω e jω d) H e jω = − H e jω e jω ( ) ( ) ( ) ( ) Bài 3.12 Đáp ng xung h(n) c a bộ lọc số thông th p lý tưởng pha 0 được biểu diễn ở dạng nào sau đây: a) h ( n ) = − c) h ( n ) = ωc sin ωc n π ωc n ωc sin ωc n π ωc n b) h ( n ) = d) h ( n ) = sin ωc n π .n ωc sin ωc n n π Bài 3.13 Đáp ng xung h(n) c a bộ lọc số thông cao lý tưởng pha 0 được biểu diễn ở dạng nào sau đây: a) h ( n ) = δ (n) − c) h ( n ) = δ (n) + ωc sin ωc n π ωc n ωc sin ωc n π ωc n b) h ( n ) = δ (n) − d) h ( n ) = δ (n) − sin ωc n π .n ωc sin ωc n n π Bài 3.14 Đáp ng xung h(n) c a bộ lọc số thông dải lý tưởng pha 0 với t n số cắt ωc1 < ωc2 được biểu diễn ở dạng nào sau đây: ωc 2 sin ωc 2 n ωc1 sin ωc1n + π ωc 2 n π ωc1n ω sin ωc 2 n ωc1 sin ωc1n b) h ( n ) = c 2 − π ωc 2 n π ωc1n a) h ( n ) = ωc 2 sin ωc 2 n ωc1 sin ωc1n − π ωc 2 n π ωc1n ω sin ωc1n ωc 2 sin ωc 2 n d) h ( n ) = c1 − π ωc1n π ωc 2 n c) h ( n ) = − Bài 3.15 Đáp ng xung h(n) c a bộ lọc số chắn dải lý tưởng pha 0 với t n số cắt ωc1 < ωc2 được biểu diễn ở dạng nào sau đây: a) h ( n ) = δ (n) − b) h ( n ) = δ (n) − ωc1 sin ωc1n ωc 2 sin ωc 2 n + π ωc1n π ωc 2 n ωc 2 sin ωc 2 n ωc1 sin ωc1n − π ωc 2 n π ωc1n 23 c) h ( n ) = δ (n) + d) h ( n ) = δ (n) − ωc 2 sin ωc 2 n ωc1 sin ωc1n − π ωc 2 n π ωc1n ωc 2 sin ωc 2 n ωc1 sin ωc1n + π ωc 2 n π ωc1n Bài 3.16 Ch t lượng bộ lọc số tốt khi: a) + Độ gợn sóng dải thông δ1, dải chắn δ2 đều nhỏ. + T n số giới hạn dải thông ωp, t n số giới hạn dải chắn ωs cách xa nhau (nghĩa là dải quá độ lớn). b) + Độ gợn sóng dải thông δ1, dải chắn δ2 lớn. + T n số giới hạn dải thông ωp, t n số giới hạn dải chắn ωs g n nhau (nghĩa là dải quá độ nhỏ). c) + Độ gợn sóng dải thông δ1, dải chắn δ2 đều nhỏ. + T n số giới hạn dải thông ωp, t n số giới hạn dải chắn ωs g n nhau (nghĩa là dải quá độ nhỏ). d) + Độ gợn sóng dải thông δ1, dải chắn δ2 đều lớn. + T n số giới hạn dải thông ωp, t n số giới hạn dải chắn ωs cách xa nhau(nghĩa là dải quá độ lớn). Bài 3.17 Những câu trả lời nào sau đây là đúng: a) Biến đổi Fuorier là trường hợp riêng c a biến đổi Z b) Biến đổi Z là trường hợp riêng c a biến đổi Fourier c) Biến đổi Fourier là biến đổi Z thực hiện trên vòng tròn đơn vị d) Biến đổi Fourier hoàn toàn độc lập với biến đổi Z. Bài 3.18 Các tín hiệu trong miền t n số ω có tính ch t: a) Tu n hoàn với chu kỳ là π b) Tu n hoàn với chu kỳ là 2π c) Không phải là tín hiệu tu n hoàn d) Tu n hoàn khi ω ≥ 0. ĐÁP ÁN CH ƠNG III Bài 3.1 24 Ta phân ra làm 2 trường hợp n < 0 và n > 0 ng với các tín hiệu x1(n) và x2(n) X (ω ) = X 1 (ω ) + X 2 (ω ) như vậy ta có kết quả: 1− a2 = 1 − 2 a cos ω + a 2 Vì x(n ) là một khả tổng tuyệt đối nên biến đổi Fourier c a nó tồn tại. Hơn nữa, x(n ) là tín Bài 3.2 hiệu năng lượng hữu hạn với ( ( 2 ) ∑ X e jω = X e E x = A L . Biến đổi Fourier c a tín hiệu này là jω )= L −1 1 − e − jω L 1 − e − jω Ae − jω n = A n=0 ⎛ω ⎞ − j ⎜ ⎟ ( L −1 ) ⎝ 2 ⎠ Ae ( ) s in (ω L / 2 ) s in (ω / 2 ) Với ω = 0 , biến đổi ta có X e j 0 = A L . Phổ biên độ c a x(n ) có dạng ω =0 ⎧AL ⎪ X (ω ) = ⎨ sin (ω L / 2 ) ⎪ A sin (ω / 2 ) ⎩ ≠ Bài 3.3 ( )= Sử dụng biến đổi Fourier, ta có X 1 e jω Do đó ( X 2 e jω ) = 1 + 2 co s ω X (e jω ) = X 1 (e jω ) X 2 (e jω ) = (1 + 2 cos ω ) 2 = 3 + 4 cos ω + 2 cos 2ω = 3 + 2(e jω + e − jω ) + (e j 2ω + e− j 2ω ) Biến đổi Fourier ngược ta có: x (n )= ⎧⎪ ⎨1 ⎪⎩ 2 3→ 0 2 ⎫⎪ 1⎬ ⎪⎭ Kết quả này trùng với kết quả nếu ta tính tích chập trên bằng phương pháp đồ thị. Vì a < 1 nên dãy x(n ) là một khả tổng tuyệt đối. Có thể thẩm tra lại bằng cách dùng công Bài 3.4 th c tổng c p số nhân, nghĩa là 25 ∑ ∞ n = −∞ x(n) = ∑ ∞ n =0 n a = 1 <∞ 1− a Vì thế biến đổi Fourier c a x(n ) tồn tại như vậy: X (ω ) = ∑ ∞ n − jω n a e n=0 Vì ae − jω = a < 1 , nên X (ω ) = n ( ae − j ω ) ∑ n=0 1 1 − ae − j ω Phổ mật độ năng lượng là S xx (ω = ∞ )= X (ω )2 = X (ω ) X * (ω )= (1 − ae − jω )(1 − ae j ω ) 1 hoặc tương đương S xx (ω )= 1 2 − 2 a cos ω + a 2 Hình biểu diễn tín hiệu x(n ) và phổ tương ng c a nó khi a = 0.5 và a = −0.5 . Nhận xét: Bài 3.5 khi a = −0.5 tín hiệu biến đổi nhanh hơn và phổ lớn hơn ở các t n số cao. Bài 3.6 Đáp án: Phương án d) 26 Bài 3.7 Đáp án: Phương án a) Bài 3.8 Đáp án: Phương án d) Bài 3.9 Đáp án: Phương án c) Bài 3.10 Đáp án: Phương án b) Bài 3.11 Đáp án: Phương án a). Bài 3.12 Đáp án: Phương án c) Bài 3.13 Đáp án: Phương án a) Bài 3.14 Đáp án: Phương án b) Bài 3.15 Đáp án: Phương án d) Bài 3.16 Đáp án: Phương án c) Bài 3.17 Đáp án: Phương án a) và c) Bài 3.18 Đáp án: Phương án b) 27 CÂU HỎI VÀ BÀI T P CH ƠNG 4 Cho dãy tu n hoàn x ( n ) Bài 4.1 0≤n≤5 6 ≤ n ≤ 11 ⎧1 x (n) = ⎨ ⎩0 Hãy xác định X ( k ) . chu kỳ N = 12. Bài 4.2 Cho dãy tu n hoàn chu kỳ 4 như sau: x ( n )4 ⎧1 ⎪2 ⎪ =⎨ ⎪4 ⎪⎩3 n=0 n =1 n=2 n=4 x ( n )4 ⎧4 ⎪3 ⎪ =⎨ ⎪2 ⎪⎩1 n=0 n =1 hãy xác định X ( k ) n=2 n=4 hãy xác định X ( k ) Bài 4.3 Cho: Bài 4.4 Cho tín hiệu có chiều dài hữu hạn: ⎧1 x (n ) = ⎨ ⎩0 0 ≤ n ≤ L −1 n≠ Hãy tính biến đổi DFT c a dãy x(n) có chiều dài N với N ≥ L Bài 4.5 Hãy ch ng minh: ∑e N −1 − j 2π n.r N n =0 ⎧N =⎨ ⎩0 r = l.N n≠ l: nguyên Bài 4.6 Cho hai dãy x1(n)4 = δ(n − 1) 28 ⎧ n ⎪1 − x(n) 4 = ⎨ 4 ⎪⎩ 0 0≤n≤4 n≠ Hãy xác định phép chập vòng c a 2 dãy trên Biến đổi DFT c a một tín hiệu tu n hoàn chu kỳ N x ( n ) N sẽ là: Bài 4.7 1 a) X ( k ) = N ∑ x ( n ) .e N −1 n =0 c) X ( k ) = ∑ x ( n ) .e N −1 n =0 j b) X ( k ) = ∑ x ( n ) .e 2π kn N −j N −1 n =0 d) X ( k ) = 2π kn N 1 N −j 2π kn N ∑ x ( n ) .e N −1 j n =0 Biến đổi ngược IDFT c a một tín hiệu X ( k ) chu kỳ N sẽ là: 2π kn N Bài 4.8 a) x ( n ) = 1 N ∑ X ( k ) .e N −1 k =0 c) x ( n ) = ∑ X ( k ) .e N −1 k =0 j −j b) x ( n ) = ∑ X ( k ) .e 2π kn N N −1 d) x ( n ) = 2π kn N k =0 1 N −j 2π kn N ∑ X ( k ) .e N −1 k =0 j 2π kn N Bài 4.9 Cặp biến đổi xuôi, ngược DFT đối với dãy có chiều dài x(n)N sẽ là: ⎧ 1 N −1 kn ⎪ ∑ x ( n ) WN a) X ( k ) = ⎨ N n =0 ⎪ 0 ⎩ ⎧ N −1 kn ⎪∑ x ( n ) WN b) X ( k ) = ⎨ n =0 ⎪0 ⎩ k≠ 0 ≤ k ≤ N −1 ⎧ 1 N −1 kn ⎪ ∑ x ( n ) WN c) X ( k ) = ⎨ N n =0 ⎪ 0 ⎩ ⎧ N −1 kn ⎪∑ x ( n )WN d) X ( k ) = ⎨ n =0 ⎪0 ⎩ 0 ≤ k ≤ N −1 k≠ và 0 ≤ k ≤ N −1 k≠ 0 ≤ k ≤ N −1 k≠ và và và ⎧ 1 N −1 − kn 0 ≤ n ≤ N −1 ⎪ ∑ X ( k ) WN x ( n ) = ⎨ N k =0 ⎪0 n≠ ⎩ ⎧1 ⎪ x (n) = ⎨ N ⎪0 ⎩ ⎧1 ⎪ x (n) = ⎨ N ⎪0 ⎩ ∑ X ( k )W N −1 k =0 − kn N ∑ X ( k )W N −1 k =0 − kn N ⎧ N −1 − kn ⎪ ∑ X ( k ) WN x ( n ) = ⎨ k =0 ⎪0 ⎩ 0 ≤ n ≤ N −1 n≠ 0 ≤ n ≤ N −1 n≠ 0 ≤ n ≤ N −1 n≠ Bài 4.10 Ta có thể tính phép chập tuyến tính hai dãy x1(n) và x2(n) có chiều dài L[x1(n)]=N1 và L[x2(n)]=N2 thông qua biến đổi DFT nếu ta chọn chiều dài thực hiện biến đổi DFT là: 29 a) N ≥ N1 + N2 -1 b) N≤ N1 + N2 -1 c) N<N1 + N2 -1 d) N > N1 + N2 -1 ĐÁP ÁN CH ƠNG IV Bài 4.1 Hướng dẫn: Cách làm tương tự ví dụ 4.1 Bài 4.2 Đây là dãy tu n hoàn chu kỳ N=4 Dựa vào biến đổi DFT X ( k ) = ∑ x ( n ) .e N −1 −j n =0 2π kn N Ta có: e −j 2π kn N =e −j = ( − j ) k .n 2π kn 4 =e π − j kn 2 = (e −j π 2 k .n ) Từ đây ta thay vào có: X ( k ) = ∑ x ( n ) .( j ) − kn N −1 n =0 Vậy: X ( 0 ) = ∑ x(n).( j ) −0.n = 10 3 n =0 X (1) = ∑ x(n).( j ) −1.n = −3 + j 3 n =0 X ( 2 ) = ∑ x(n).( j ) −2.n = 0 3 n =0 X ( 3) = ∑ x(n).( j ) −3.n = −3 − j 3 n =0 Bài 4.3 Hướng dẫn: Giải tương tự bài trên Bài 4.4 Đáp án: X (k ) = 1 − e − j 2 π kn / N k = 0 ,1,...., N − 1 1 − e − j 2π k / N sin (π kL / N ) − j π k ( L − 1 ) / N e = N sin (π k / N ) 30 Bài 4.6 Đáp án: Cách làm tương tự ví dụ 4.6 và ta có: x3 ( n )4 = x1 ( n )4 (*)4 x2 ( n )4 = ∑ x1 ( m )4 x2 ( n − m )4 = x2 (n − 1) 4 3 m =0 T c x3(0)4 = 1/4; x3(1)4 = 1; x3(2)4 = 3/4; x3(3)4 = 1/2. Bài 4.7 Đáp án: Phương án b) Bài 4.8 Đáp án: Phương án d) Bài 4.9 Đáp án: Phương án b) Bài 4.10 Đáp án đúng: a) 31 CÂU HỎI VÀ BÀI T P CH ƠNG 5 Bài 5.1 Cho bộ lọc FIR loại 1 với N=7 có đáp ng xung h(n) được xác định h(0)=1, h(1)=2, h(2)=3, h(3)= 4. Tìm α và đáp ng xung h(n) Bài 5.2 Cho bộ lọc FIR loại 2 với N=6 có đáp ng xung h(n) được xác định h(0)=1, h(1)=2, h(2)=3. Tìm α và đáp ng xung h(n). Bài 5.3 Cho bộ lọc FIR loại 3 với N=7 có đáp ng xung h(n) được xác định h(0)=1, h(1)=2, h(2)=3. Tìm α và đáp ng xung h(n). Bài 5.4 Cho bộ lọc FIR loại 4 với N=6 có đáp ng xung h(n) được xác định h(0)=1, h(1)=2, h(2)=3. Tìm α và đáp ng xung h(n). Bài 5.5 ωc = π Hãy thiết kế bộ lọc số FIR thông cao pha tuyến tính, dùng cửa sổ Barlett với N = 9, 4 . Bài 5.6 ωc = π Hãy thiết kế bộ lọc số FIR thông cao pha tuyến tính, dùng cửa sổ chữ nhật với N = 9, 4 . Bài 5.7 ωc1 = π π Hãy thiết kế bộ lọc số FIR thông dải pha tuyến tính, dùng cửa sổ chữ nhật với N = 9, 4 , ωc 2 = 3 Bài 5.8 ωc1 = π π Hãy thiết kế bộ lọc số FIR chắn dải pha tuyến tính, dùng cửa sổ tam giác Barlett với N = 9, 3 , ωc 2 = 2 Bài 5.9 Ch t lượng cửa sổ sẽ tốt khi nào: a) Bề rộng đỉnh trung tâm Δω hẹp và tỷ số giữa biên độ đỉnh th c p th nh t trên biên độ đỉnh trung tâm: λ = 20 lg ( ) W (e ) W e jωs j0 phải nhỏ. 32 b) Bề rộng đỉnh trung tâm Δω lớn và tỷ số giữa biên độ đỉnh th c p th nh t trên biên độ đỉnh trung tâm: λ = 20 lg ( ) W (e ) W e jωs j0 phải nhỏ. c) Bề rộng đỉnh trung tâm Δω lớn và tỷ số giữa biên độ đỉnh th c p th nh t trên biên độ đỉnh trung tâm: λ = 20 lg ( ) W (e ) W e jωs j0 lớn. d) Bề rộng đỉnh trung tâm Δω hẹp và tỷ số giữa biên độ đỉnh th c p th nh t trên biên độ đỉnh trung tâm: λ = 20 lg ( ) W (e ) W e jωs j0 lớn. Bài 5.10 Cửa sổ Hanning có ch t lượng kém hơn cửa sổ Hamming vì: a) Bề rộng đỉnh trung tâm c a cửa sổ Hanning lớn hơn cửa sổ Hamming b) Bề rộng đỉnh trung tâm c a cửa sổ Hanning nhỏ hơn cửa sổ Hamming c) Tỷ số giữa biên độ đỉnh th c p th nh t trên biên độ đỉnh trung tâm c a cửa sổ Hanning lớn hơn cửa sổ Hamming. d) Tỷ số giữa biên độ đỉnh th c p th nh t trên biên độ đỉnh trung tâm c a cửa sổ Hanning nhỏ hơn cửa sổ Hamming. Bài 5.11 Cửa sổ Blackman có độ gợn sóng th p nh t so với các cửa sổ Hanning, Hamming, tam giác và chữ nhật vì: a) Bề rộng đỉnh trung tâm c a cửa sổ Blackman nhỏ nh t. b) Bề rộng đỉnh trung tâm c a cửa sổ Blackman lớn nh t. c) Tỷ số giữa biên độ đỉnh th Blackman lớn nh t. c p th nh t trên biên độ đỉnh trung tâm c a cửa sổ d) Tỷ số giữa biên độ đỉnh th c p th nh t trên biên độ đỉnh trung tâm c a cửa sổ Blackman nhỏ nh t. Bài 5.12 Khi thiết kế bộ lọc số FIR pha tuyến tính thực ch t là chúng ta xác định: a) Các hệ số c a bộ lọc b) Loại c u trúc bộ lọc c) Chiều dài c a bộ lọc d) Đặc tính pha c a bộ lọc Bài 5.13 Khi thiết kế bộ lọc FIR bằng phương pháp cửa sổ, nếu bộ lọc chưa đáp ng được các chỉ tiêu kỹ thuật thì ta phải: a) Thay đổi loại cửa sổ b) Tăng chiều dài c a cửa sổ 33 c) Dùng cả phương pháp a) và b) d) Thay c u trúc bộ lọc Bài 5.14 Khi thiết kế, nếu ta tăng chiều dài N c a cửa sổ, ta th y: a) Độ gợn sóng ở cả dải thông và dải chắn tăng theo. b) Độ gợn sóng ở cả dải thông và dải chắn giảm đi. c) T n số giới hạn dải thông ω p và t n số giới hạn chắn ω s g n nhau hơn. d) T n số giới hạn dải thông ω p và t n số giới hạn chắn ω s xa nhau hơn. ĐÁP ÁN CH ƠNG V Bài 5.1 Ta có FIR loại 1 N −1 2 h( n) = h( N − 1 − n ) α= Vậy α= (0 ≤ n ≤ N − 1) N −1 6 = = 3; 2 2 h(0) = h(6) =1 ; h(1) = h(5) =2; h(2) = h(4) =3; h(3) = 4. Bài 5.2 Ta có FIR loại 2 N −1 2 h( n) = h( N − 1 − n ) α= Vậy α= (0 ≤ n ≤ N − 1) N −1 vây tâm đối x ng nằm giữa 2 và 3. 2 h(0) = h(5) =1 ; h(1) = h(4) =2; h(2) = h(3) =3. Bài 5.3 Ta có FIR loại 3 N −1 2 h( n) = − h( N − 1 − n) α= (0 ≤ n ≤ N − 1) 34 Vậy α= N −1 = 3 vây tâm phản đối x ng nằm tại 3. 2 h(0) = -h(6) =1 ; h(1) = -h(5) =2; h(2) = -h(4) =3; h(3) = h(-3) = 0. Bài 5.4 Ta có FIR loại 4 N −1 2 h( n) = − h( N − 1 − n) α= Vậy α= (0 ≤ n ≤ N − 1) N −1 vây tâm phản đối x ng nằm giữa 2 và 3. 2 h(0) = -h(5) =1 ; h(1) = -h(4) =2; h(2) = -h(3) =3. Bài 5.5 Công th c bộ lọc thông cao pha không ( θ (ω ) = 0 ): hhp ( n ) = δ ( n ) − ωc sin ωc n π ωc n Trong bài này có dịch đi, từ pha không chuyển sang pha tuyến tính θ (ω ) = − 9 −1 N −1 ω=− ω = −4ω 2 2 π sin ( n − 4 ) ωc sin ωc ( n − 4 ) 1 4 = δ ( n − 4) − hhp ( n ) = δ ( n − 4 ) − π 4 π ωc ( n − 4 ) n−4 Hd ( z ) = − Hay: 4 ( ) 1 1 −2 3 3 3 1 −6 1 z −1 − z − z −3 + z −4 − z −5 − z − z −7 4π 4 4π 12 2π 4 2π 4 3π 12 2π y ( n) = − 1 1 3 x ( n − 1) − x ( n − 2) − x ( n − 3) 4π 12 2π 4 2π 3 3 1 1 + x ( n − 3) − x ( n − 5) − x ( n − 6) − x (n − 7) 4 4π 4 3π 12 2π Bài 5.6, Bài 5.7, Bài 5.8 Cách làm tương tự ví dụ trên. Bài 5.9 35 Đáp án: Phương án a) Bài 5.10 Đáp án: Phương án c). Bài 5.11 Đáp án: Phương án d) Bài 5.12 Đáp án: Phương án a) Bài 5.13 Đáp án: Phương án c) Bài 5.14 Đáp án: Phương án b). 36 CÂU HỎI ÔN T P VÀ BÀI T P CH ƠNG 6 Bài 6.1 Cho hàm truyền đạt bộ lọc tương tự: H a (s ) = 1 s +1 Hãy chuyển sang bộ lọc số bằng phương pháp tương đương vi phân với tthời gian l y mẫu T=0.1 Bài 6.2 Biến đổi bộ lọc tương tự có hàm hệ thống: H a (s ) = s + 0,1 ( s + 0,1) 2 + 9 thành bộ lọc số IIR nhờ phương pháp b t biến xung. Bài 6.3 Cho mạch điện sau đây: Hãy chuyển mạch này thành mạch số bằng phương pháp tương đương vi phân Bài 6.4 Hãy chuyển bộ lọc tương tự sau sang bộ lọc số bằng phương pháp biến đổi song tuyến. Bài 6.5 Xác định c p và các cực c a bộ lọc Butterworth thông th p có độ rộng băng -3dB là 500Hz và độ suy giảm 40dB tại 1000Hz. Bài 6.6 Bộ lọc Butterworth được mô tả ở dạng như sau 37 Ha (s) = ∏(s − s ) H0 n k =1 ( ) với các điểm cực s pk = e ; ⎛ 1 2 k −1 ⎞ jπ ⎜ + ⎟ ⎝ 2 2n ⎠ pk Trong đó H 0 = ∏ − s pk = 1 (chuẩn hóa) n k =1 Hãy xác định hàm truyền đạt Ha(s) khi n= 3 Bài 6.7 Đáp ng biên độ t n số bộ lọc số IIR theo phương pháp Butterworth có dạng: Hãy cho biết tham số N và tham số Ω c như hình vẽ là: a) bậc c a bộ lọc và t n số dải chắn b) chiều dài c a bộ lọc và t n số dải thông c) bậc c a bộ lọc và t n số cắt d) chiều dài c a bộ lọc và t n số cắt Bài 6.8 Khi bậc N c a bộ lọc Butterworth tăng lên thì: a) Ch t lương c a bộ lọc được cải thiện. b) Ch t lượng c a bộ lọc giảm đi c) Ch t lượng không phụ thuộc vào việc tăng bậc N c a bộ lọc d) Ch t lượng không bị ảnh hưởng chỉ có t n số cắt thay đổi. Bài 6.9 Đáp ng bình phương biên độ t n số c a bộ lọc Chebyshev loại I là: a) H (Ω) = 2 1 1+ ∈ TN (Ω / Ωc ) b) H (Ω) = 2 1 1+ ∈ T (Ω / Ωc ) 2 2 N 38 c) H (Ω) = 2 d) H (Ω) = 1 1+ ∈ T (Ω / Ωc ) 2 2 N 1 1+ ∈ T (Ωc / Ω) 2 2 N Bài 6.10 Đáp ng bình phương biên độ t n số c a bộ lọc Elip là: a) H (Ω) = 2 c) H (Ω) = 2 1+ ∈ U b) H (Ω) = ( Ω / Ωc ) 1 2 N 2 d) H (Ω) 1+ ∈ U N ( Ω / Ω c ) 1 ở đây U N ( x ) là hàm elíp Jacobian bậc N . 2 = 1+ ∈ U 2 1 2 N ( Ω / Ωc ) 1+ ∈ U N (Ω / Ω c ) 1 2 ĐÁP ÁN CH ƠNG VI Bài 6.1 Ta có: Ánh xạ chuyển sang miền số theo phương pháp tương đương vi phân là: s = Do vậy ta có: H (z ) = Hay với T=0.1: H (z ) = [(1 − z 1 −1 ] /T +1 = zT /(1 + T ) z − [1 /(1 + T )] 1 − z −1 T 0,09 z 0,09 = z − 0,909 1 − 0,909 z −1 Bài 6.2 Ta chú ý rằng bộ lọc tương tự có một điểm không tại s = −0.1 và một cặp ph c biến liên hợp tại: s pk = −0.1 ± j 3 Ta tìm H ( z ) trực tiếp theo khai triển phân th c c a H a (s ) . Như vậy ta có: 1 1 2 2 H (s ) = + s + 0,1 − j 3 s + 0,1 + j 3 Khi đó: 39 1 1 2 2 H (z ) = + 0,1T − j 3T −1 − 0,1T j 3T −1 1− e 1− e e z e z Vì hai cực là ph c liên hợp, ta có thể kết hợp chúng để tạo ra bộ lọc hai cực đơn với hàm hệ thống: H (z ) = Bài 6.3 Ha ( s) = Ha (s) = H (z) = H (z) = 1 − e 0,1T cos 3Tz −1 1 − 2e 0,1T cos 3Tz −1 + e 0,2T z −1 ⎛ ura R sL R sL ⎞ , với ura = i 2 ; uvào = i ⎜ R1 + 2 ⎟ R2 + sL R2 + sL ⎠ uvào ⎝ R2 sL R2 Ls = R1 R2 + R1sL + R2 sL R1 R2 + ( R1 + R2 ) Ls 1 − z −1 R2 L Ts 1 − z −1 R1 R2 + ( R1 + R2 ) L Ts = R2 L (1 − z −1 ) R2 L (1 − z −1 ) R1 R2Ts + ( R1 + R2 ) L (1 − z −1 ) R1 R2Ts + ( R1 + R2 ) L − ( R1 + R2 ) Lz −1 R2 L 1 − z −1 ) ( R R T + ( R1 + R2 ) L H (z) = 1 2 s ( R1 + R2 ) L z −1 1− R1 R2Ts + ( R1 + R2 ) L M = 1 → b0 = R2 L ; R1 R2Ts + ( R1 + R2 ) L N = 1 → a1 = − ( R1 + R2 ) L R1 R2Ts + ( R1 + R2 ) L b1 = −b0 Vậy: y ( n ) = b0 x ( n ) + b1 x ( n − 1) + a1 y ( n − 1) Sau đó ta vẽ sơ đồ c u trúc bộ lọc số. Bài 6.4 Tương tự như các bài trên. Bài 6.5 Các t n số tới hạn chính là t n số -3dB Ω c và t n số băng chắn Ω s . Cụ thể, chúng bằng: 40 Ω c = 1000π Ω s = 2000π ng với độ suy giảm 40dB, δ 2 = 0.01 . Vì thế, từ (8.2.54) ta có: log10 (10 4 − 1) N= = 6,64 2 log10 2 Để thoả mãn các chỉ tiêu mong muốn, ta chọn N = 7 . Các vị trí cực là: s pk = 1000π e j [π / 2 + (2 k +1)π /14] k = 0, 1, 2, … , 6 Bài 6.6 Các điểm cực này đều được phân bố đều trong vòng tròn Butterworth. Khi chuẩn hóa thì các vòng tròn có bán kính là 1, không chuẩn hóa thì bán kính là ωc . Ha (s) = Ha (s) = Ha (s) = ⎛ ( s + 1) ⎜ s − e ⎝ 1 2π j 3 ⎡ 2π −j ⎞⎛ ⎞ ⎟⎜ s − e 3 ⎟ ⎠⎝ ⎠ 1 ⎛ ( s + 1) ⎢ s 2 + 1 + s ⎜ −e ⎢⎣ ⎝ −j 2π 3 −e j 2π 3 ⎞⎤ ⎟⎥ ⎠ ⎥⎦ = ⎡ 1 ( s + 1) ⎢ s 2 + 1 + s ⎛⎜ −2 cos ⎣ ⎝ 2π ⎞ ⎤ ⎟ 3 ⎠ ⎥⎦ 1 ( s + 1) ⎡⎣ s 2 − s + 1⎤⎦ Bài 6.7 Đáp án: Phương án c) Bài 6.8 Đáp án: Phương án a) Bài 6.9 Đáp án: Phương án b) Bài 6.10 Đáp án: Phương án d) 41 CÂU HỎI VÀ BÀI T P CH ƠNG 7 Bài 7.1 Hãy tính toán DFT với N = 15 điểm bằng tích c a các DFT 3 điểm và 5 điểm. Bài 7.2 Ch ng minh rằng mỗi số e j (2π N )k 0 ≤ k ≤ N −1 tương ng với một căn bậc N c a đơn vị. Vẽ những số này ở dạng các pha trong mặt phẳng ph c và minh hoạ tính ch t trực giao bằng cách sử dụng nhận xét này: ∑e ( N −1 n=0 j 2π N )kn − j (2π N )n e ⎧N =⎨ ⎩0 k =l k ≠l Bài 7.3 Hãy ch ng minh rằng với đồ hình dạng cánh bướm như sau X i +1 ( p) X i ( p) −1 X i (q) Ta có: Re X i +1 ( p) < 1; Re X i +1 (q) < 1; X i +1 (q) Re X i +1 ( p + 1) < 1 Re X i +1 (q + 1) < 1 Nếu: X i ( p) < 1 2 và X i (q) < 1 2 Bài 7.4 Vẽ đồ thị lưu đồ tín hiệu có 16 điểm sử dụng thuật toán FFT cơ số 4 chia theo thời gian trong đó dãy đ u vào có trật tự bình thường và các tính toán được thực hiện tại chỗ. Bài 7.5 Vẽ đồ thị lưu đồ tín hiệu có 16 điểm sử dụng thuật toán FFT cơ số 4 chia theo thời gian, trong đó dãy vào và dãy ra có trật tự bình thường. 42 ĐÁP ÁN CH ƠNG VII Bài 7.1 Để minh hoạ cho th tục tính toán ở trên, chúng ta hãy xem xét việc tính một DFT N = 15 điểm. N = 3 × 5 = 15 nên ta chọn L = 5 và M = 3 . Mặt khác chúng ta lưu dãy x(n ) 15 điểm Hµng 1 : x(0, 0 ) = Hµng 2 : x(1, 0 ) = Hµng 3 : x(2, 0 ) = Hµng 4 : x(3, 0 ) = theo kiểu cột như sau: x(0 ) x(0, 1) = x(5) x(0, 2 ) = x(10 ) x(1) x(1, 1) = x(6 ) x(1, 2 ) = x(11) x(2 ) x(2, 1) = x(7 ) x(2, 2 ) = x(12) x(3) x(3, 1) = x(8) x(3, 2 ) = x(13) Hµng 5 : x(4, 0 ) = x(4 ) x(4, 1) = x(9) x(4, 2 ) = x(14) 0 1 2 W Nlq (L = 5) DFT 5 điểm (M = 3) 5 8 11 14 DFT 3 điểm 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Tính toán DFT với N = 15 điểm bằng tích c a các DFT 3 điểm và 5 điểm. Bây giờ chúng ta tính l n lượt DFT 3 điểm c a các hàng. Việc tính toán này dẫn đến mảng 5×3 sau : F (0, 0) F (1, 0 ) F (2, 0) F (3, 0) F (0, 1) F (1, 1) F (2, 1) F (3, 1) F (0, 2) F (1, 2 ) F (2, 2) F (3, 2) F (4, 0) F (4, 1) F (4, 2) 43 Trong bước tiếp theo c n phải nhân mỗi giá trị F (l , q ) với hệ số pha W N = W15 , với 0 ≤ l ≤ 4 và 0 ≤ q ≤ 2 . Việc tính toán này dẫn đến mảng 5×3 : lq Cét 1 G (0, 0) G (1, 0 ) G (2, 0) G (3, 0) G (4, 0) Cét 2 G (0, 1) G (1, 1) G (2, 1) G (3, 1) G (4, 1) lq Cét 3 G (0, 2) G (1, 2) G (2, 2) G (3, 2) G (4, 2) Bước cuối cùng là tính toán DFT 5 điểm l n lượt cho 3 hàng. Việc tính toán l n cuối này ta nhận được các giá trị mong muốn c a DFT ở dạng : X (0, 0) = X (1, 0) = X (2, 0) = X (3, 0) = x(0) X (0, 1) = x(5) X (0, 2) = x(10) x(1) X (1, 1) = x(6) X (1, 2) = x(11) x(2) X (2, 1) = x(7 ) X (2, 2) = x(12) x(3) X (3, 1) = x(8) X (3, 2) = x(13) X (4, 0) = x(4) X (4, 1) = x(9 ) X (4, 2) = x(14) Ta c n quan tâm đến việc dãy dữ liệu được phân chia và kết quả DFT X (k ) được lưu trong Minh hoạ trong hình 9.9 thể hiện các bước tính toán này. các mảng một chiều. Khi dãy đ u vào x(n ) và dãy đ u ra c a DFT X (k ) trong các mảng hai chiều được đọc chéo từ hàng 1 sang hàng 5 thì các dãy chúng ta nhận được là : DÃY Đ U VÀO x(0 ) x(5) x(10 ) x(1) x(6 ) x(11) x(2 ) x(7 ) x(12 ) x(3) x(8) x(13) x(14 ) x(9 ) x(14 ) DÃY Đ U RA X (0) X (1) X (2) X (3) X (4) X (5) X (6 ) X (7 ) X (8) X (9 ) X (10 ) X (11) X (12 ) X (13) X (14 ) Chúng ta th y rằng dãy đ u vào bị xáo trộn từ các trật tự bình thường trong tính toán DFT. Mặt khác, dãy đ u ra lại tuân đúng với trật tự. Trong trường hợp này việc sắp xếp lại mảng đ u vào phụ thuộc vào việc phân đoạn c a mảng một chiều thành mảng hai chiều và trật tự mà theo đó các tính toán DFT được tính. Việc xáo trộn c a dãy dữ liệu đ u vào hoặc dãy dữ liệu đ u ra này là một đặc tính chung c a h u hết các thuật toán tính toán FFT. 44 CÂU HỎI VÀ BÀI T P CH ƠNG 8 Bài 8.1 Cho bộ lọc có hàm truyền đạt b + b z−1 + b2z−2 H( z ) = 0 1 1+ a1z−1 + a2z−2 Hãy biểu diễn bộ lọc theo dạng trực tiếp Bài 8.2 Cho bộ lọc có hàm truyền đạt b + b z−1 + b2z−2 H( z ) = 0 1 1+ a1z−1 + a2z−2 Hãy biểu diễn bộ lọc theo dạng chuẩn tắc trực tiếp II Bài 8.3 Cho hệ thống được mô tả bởi phương trình sai phân sau: 2 y ( n ) + y ( n − 1) = 4 x ( n ) + 6 x ( n − 1) + x ( n − 2 ) Hãy thể hiện hệ thống ở dạng trực tiếp Bài 8.4 Cho hệ thống được mô tả bởi phương trình sai phân sau: y ( n ) + 0.5 y ( n − 1) + 2 y ( n − 2 ) = 2 x ( n ) + 3 x ( n − 1) + 2 x ( n − 2 ) Hãy vẽ sơ đồ hệ thống ở dạng chuẩn tắc trực tiếp 2 Bài 8.5 Cho hệ thống với hàm truyền đạt H ( z) = 3+ 2z−1 + 0.5z−2 2 + 2z−1 + 3z−2 + 0.5z−3 + z−4 Hãy vẽ sơ đồ thực hiện hệ thống ở dạng trực tiếp và chuẩn tắc. Bài 8.6 Cho hệ thống được mô tả bởi phương trình sai phân sau: 2 y ( n ) + 5 y ( n − 1) + y ( n − 2 ) + y (n − 3) = 2 x ( n ) + x ( n − 1) + 0.5 x ( n − 2 ) Hãy vẽ sơ đồ thực hiện hệ thống ở dạng trực tiếp và chuẩn tắc. Bài 8.7 1 1 1 Cho một lọc dàn 3 t ng với các hệ số k1 = , k 2 = , k 3 = , hãy tìm các hệ số bộ lọc FIR 3 2 4 có c u trúc dạng trực tiếp. 45 Bài 8.8 Cho một lọc dàn 5 t ng với các hệ số k1 = 1 1 1 1 1 , k2 = , k3 = , k4 = , k5 = , hãy tìm các hệ 4 2 3 4 2 số bộ lọc FIR có c u trúc dạng trực tiếp. Bài 8.9 Tìm các hệ số dàn tương ng với bộ lọc FIR có hàm hệ thống: H ( z ) = A3 (z ) = 1 + 13 −1 5 −2 1 −3 z + z + z 24 8 3 Bài 8.10 Tìm các hệ số dàn tương ng với bộ lọc FIR có hàm hệ thống: H ( z ) = A2 ( z ) = 1 + 1 −1 1 −2 z + z 2 8 ĐÁP ÁN CH ƠNG VIII Bài 8.1 x(n ) z −1 b1 z −1 Bài 8.2 x(n) y (n ) b0 + + − a1 z + + b2 − a2 z −1 b0 + + − a1 −a2 + z−1 z −1 b1 −1 y(n ) + b2 Bài 8.3 Phải đưa về dạng: y ( n ) + 0.5 y ( n − 1) = 2 x ( n ) + 3x ( n − 1) + 0.5 x ( n − 2 ) 46 x(n ) + z −1 b1 z −1 y (n ) b0 + −0.5 + z −1 b2 Bài 8.4 Chuyển như bài 8.2 ta có x(n) 2 + + y(n ) z −1 + −2 z −1 + 3 2 Bài 8.5 Cách làm tương tự bài 8.1, 8.2 Bài 8.6 Cách làm tương tự bài 8.1, 8.2 Bài 8.7 Ta giải bài toán theo phương pháp đệ quy với m = 1 . Như vậy, ta có: A1 (z ) = A0 (z ) + k1 z −1 B0 ( z ) = 1 + k1 z −1 = 1 + 1 −1 z 4 Từ đó các hệ số c a bộ lọc FIR tương ng với dàn 1 t ng là α1 (0) = 1 , α1 (1) = k1 = Bm ( z ) là đa th c nghịch đảo c a Am ( z ) , nên ta có: B1 ( z ) = 1 . Vì 4 1 + z −1 4 Kế tiếp ta cộng thêm t ng th hai vào dàn. Đối với m = 2 , cho: A2 ( z ) = A1 ( z ) + k 2 z −1 B1 ( z ) = 1+ 3 −1 1 −2 z + z 8 2 47 Do đó các tham số bộ lọc FIR tương α 2 (1) = , α 2 (2) = . Và ta cũng có: 3 8 ng với dàn hai t ng là α 2 (0) = 1, 1 2 1 3 B2 ( z ) = + z −1 + z −2 2 8 Cuối cùng, việc bổ xung thêm t ng th 3 vào dàn sẽ dẫn đến đa th c: A3 (z ) = A2 (z ) + k3 z −1 B2 ( z ) = 1+ 13 −1 5 −2 1 −3 z + z + z 24 8 3 Vì vậy, bộ lọc FIR dạng trực tiếp c n tìm được đặc trưng bởi các hệ số: α3 (0) = 1, α 3 (1) = 1 5 13 , α 3 (2) = và α 3 (3) = 3 8 24 Bài 8.8 Cách làm tương tự bài 8.7 Bài 8.9 Trước hết ta lưu ý rằng K 3 = α 3 (3) = 1 . Hơn nữa: 3 1 5 13 B3 ( z ) = + z −1 + z −2 + z −3 3 8 24 Hệ th c giảm bước với m = 3 có: A2 ( z ) = A3 ( z ) − K 3 B3 ( z ) 1 − K 32 =1+ Vì thế K 2 = α 2 (2 ) = bước ta đạt được: A1 ( z ) = 3 −1 1 − 2 z + z 8 2 1 3 1 và B 2 ( z ) = + z −1 + z − 2 . Bằng sự lặp lại phép đệ quy hạ t ng 2 8 2 A2 ( z ) − K 2 B2 ( z ) 1 − K 22 =1+ Do đó K1 = α1 (1) = 1 −1 z 4 1 4 Bài 8.10 Cách làm tương tự bài 8.9 48 CÂU HỎI VÀ BÀI T P CH ƠNG 9 Bài 9.1 Cho tín hiệu: ⎧ n ⎪1 − x ( n) = ⎨ 6 ⎩⎪ 0 0≤n≤6 n≠ Hãy xác định tín hiệu khi đi qua bộ phân chia với hệ số M=2 X ( z ) = z −1 + 2 z −2 + 3z −3 + 2 z −4 + z −5 + 3z −6 + 2 z −7 Bài 9.2 Hãy xác định tín hiệu Y↓ M ( z ) với M=2 Bài 9.3 Cho phổ tín hiệu ( ) X e jω − 3π 2 ( ) −π −π / 2 π /2 π 3π 2 ω Hãy xác định Y↓ 2 e jω Bài 9.4 ⎧ n ⎪1 − Cho x ( n ) = ⎨ 3 ⎪⎩0 0≤n≤6 Hãy xác định: y↑ 2 ( n ) n≠ Bài 9.5 Cho tín hiệu x ( n ) = {1,3,3,1} . Tín hiệu này qua bộ nội suy với L = 2. Tìm X(z) = ? và Y↑ L ( z ) = ? Bài 9.6 Cho phổ tín hiệu 49 ( ) X e jω − 3π 2 ( ) −π −π / 2 π /2 π Hãy xác định Y↑2 e jω = ? 3π 2 ω Bài 9.7 Cho 2 sơ đồ Sơ đồ 1: ( ) ↑L X ( z ) ⎯⎯ → Y↑ L ( z ) ⎯⎯⎯ → Y↑ LH ( z ) H z Sơ đồ 2: ( ) ↑L X ( z ) ⎯⎯⎯ → YH ( z ) ⎯⎯ → YH ↑ L ( z ) H z Hãy ch ng minh 2 sơ đồ tương đương. Cho tín hiệu: X ( z ) = 1 + 2 z −1 + 3 z −2 + 4 z −3 + 5 z −4 + 6 z −5 + 7 z −6 Bài 9.8 Tín hiệu này đi qua bộ l y mẫu ↓↑ 2 2 và ↑↓ . Tìm Y 2 ( z ) = ? và Y 2 ( z ) = ? ↓↑ ↑↓ 3 3 3 3 Cho x ( n ) = rect2 ( n ) Bài 9. 9 ⎧ n ⎪1 − h (n) = ⎨ 3 ⎩⎪0 Tính yH ↓ 2 ( z ) = ? 0≤n≤3 n≠ Cho x ( n ) = rect2 ( n ) Bài 9. 10 ⎧ n ⎪1 − h (n) = ⎨ 3 ⎩⎪0 Tính Y↑ 2 H ( z ) = ? 0≤n≤3 n≠ 50 ĐÁP ÁN CH ƠNG IX Bài 9.1 là: y↓ 2 ( n ) = x ( 2.n ) Tương tự ví dụ 9.1 ta có: sau khi chuẩn hoá tín hiệu đi qua bộ phân chia y↓ 2 ( 0 ) = 1; y↓2 (1) = 2/3; y↓ 2 ( 2 ) = 1/3; Bài 9.2 Cách làm giống ví dụ 9.2 Bài 9.3 Cách làm giống ví dụ 9.3 Bài 9.4 ⎧ ⎛n⎞ ⎪x y↑ 2 ( n ) = ⎨ ⎜⎝ L ⎟⎠ ⎪ ⎩0 n = 0, ±1L, ±2 L,... n≠ Ta có: y↑ 2 ( 0 ) = 1 y↑ 2 ( 2 ) = 2 3 y↑2 ( 3) = 2 3 Bài 9.5 X ( z ) = z −1 + 3z −2 + 3 z −3 + z −4 Y↑ 2 ( z ) = z −2 + 3 z −4 + 3z −6 + z −8 Y↑ 2 ( e jω ) = X ( e j 2ω ) Bài 9.6 Ta vẽ ra th y phổ bị nén lại một nửa giống ví dụ 9.6 Bài 9.7 Sơ đồ 1: ( ) ↑L X ( z ) ⎯⎯ → Y↑ L ( z ) ⎯⎯⎯ → Y↑ LH ( z ) Y↑ L ( z ) = X ( z L ) H z Y↑ LH ( z ) = Y↑ L ( z ) .H ( z ) = X ( z L ) .H ( z ) Sơ đồ 2: ( ) ↑L X ( z ) ⎯⎯⎯ → YH ( z ) ⎯⎯ → YH ↑ L ( z ) H z 51 YH ( z ) = X ( z ) H ( z ) YH ↑ L ( z ) = YH ( z L ) = X ( z L ) .H ( z L ) Kết luận: 2 sơ đồ tương đương ( ) ↑L ↑L H zL Bài 9.8 Cho tín hiệu: X ( z ) = 1 + 2 z −1 + 3 z −2 + 4 z −3 + 5 z −4 + 6 z −5 + 7 z −6 Tín hiệu này đi qua bộ l y mẫu ↓↑ 2 2 và ↑↓ . Tìm Y 2 ( z ) = ? và Y 2 ( z ) = ? ↓↑ ↑↓ 3 3 3 3 Bài 9. 9 X ( z ) = 1 + z −1 H ( z) = 1+ 2 −1 1 −2 z + z 3 3 YH ( z ) = X ( z ) .H ( z ) YH ↓2 ( z ) = 1 1 ⎛ 12 − j 22π l ⎞ ⎛ 12 − j 22π l ⎞ ∑ X ⎜ z e ⎟ .H ⎜ z e ⎟ 2 l =0 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 1 1 1 1 2 2 2 YH ↓2 ( z ) = [ X ( z ) H ( z ) + X (− z ) H (− z 2 )] 2 1 1 YH ( z 2 ) YH ( − z 2 ) C thế ta tiếp tục tính tương tự như ví 9.10 Bài 9. 10 X ( z ) = 1 + z −1 Y↑ 2 ( z ) = X ( z 2 ) = 1 + z −2 H ( z) = 1+ 2 −1 1 −2 z + z 3 3 Y↑ 2 H ( z ) = Y↑2 ( z ) .H ( z ) = X ( z 2 ) .H ( z ) Từ đây ta thực hiện tương tự giống ví dụ 9.14 52