フラクタル単語

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フラクタル

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フラクタルとは、

幾何学の概念。以下のフラクタルの語源。この項で解説。
フラクタル（アニメ） - A-1 Pictures 制作のテレビアニメ。上記が名前の由来。
フラクタル（単位） - ネットで映像作品の売上枚数を表す単位。2が名前の由来。

フラクタル (fractale) とは、ブノア・マンデルブロが導入した幾何学の概念である。

概要

簡単に言えば複雑な図形であり、いくら細部を拡大しても複雑さを保つ図形の事である。

特に一部を抜き出すと全体と似た形になる（自己相似性）例がよく知られている（自己相似的だからと言って必ずしもフラクタルにならないことに注意）。

フラクタルという概念を導入すると、1.8次元やら2.5次元、2.8次元とか言う次元も定義できる。

現実の地形や物の次元を表現したり、再現するために用いられる。

転じて、ゲームなどで地形を自動生成するために使われたりもする。

フラクタル次元

フラクタル図形には、整数でない次元を定義することができる。実際、上図は約1.6次元と考えられる。では、どうやってそのような値が得られるのか。自己相似性を持っているフラクタル図形では、相似により次元を考えることができる(相似次元)。では、相似からどうやって次元を考えるのか。まず、2次元や3次元から考えてみることにしよう。

正方形は2次元の図形であるが、同じ大きさの正方形4個を2×2の形で並べることによって、元の正方形と相似な図形ができる。立方体は3次元の図形であるが、同じ大きさの立方体を8個を2×2×2の形で並べることによって、元の立方体と相似な図形ができる。いずれも1辺の長さは2倍となっている。つまり、正方形は2²個並べて2倍拡大、立方体は2³個並べて2倍拡大となる。同様に、n倍拡大にするには、正方形はn²個、立方体はn³個並べればよい。つまり、図形をn^d個並べて元の図形のn倍拡大にすることができれば、その図形の次元はdとなる。

では上図ではどうなるか。上図は同じ図形3個を正三角形状に並べて相似な図形を作ることができる。そしてその図形は元の図形の2倍拡大である。よって、この図形の次元dは、2^d=3を満たす。これを満たすdの値はlog₂3=log 3/log 2となり、約1.6である。つまり上図は約1.6次元であることがわかる。

1次元より大きく2次元より小さいことを直感的に理解するには、図形の長さと面積を考えてみよう。ここでいう「長さ」とは単に高さや幅などを意味するのではなく、図形を線に切り分け、その長さを合計したものをいう。一般に面積をもつ図形は、数えきれないほど多くの線に分割することができるので、長さは無限になる。

上図の長さをL,面積をSとすると、2倍拡大したものは長さが2倍、面積が4倍になる。よって長さは2L,面積は4Sである。一方、これは元の図形を3つ並べたものでもあるので、長さは3L,面積は3Sでもある。よって2L=3L,4S=3Sが成り立つ。よってLとSは有限なら0であるが、無限でもこの式は成り立つ。この図形は少なくとも三角形の1辺を含んでいるので長さは0より大きく、外側の三角形に含まれているので面積が有限なのはおわかりだろう。よって、長さは無限、面積は0となる。これが1次元と2次元の間にあることを意味している。