平方完成のやり方といくつかの発展形

1. $x^2$ の係数で $x$ の項までくくる：
   

2. $x$ の係数の半分の2乗を足して引く。この場合は $-6$ の半分である $-3$ の2乗である $9$ を足して引く：
   

3. カッコの中身の前半を因数分解する：
   

4. 定数項を計算する
   ※ $2\times (-9)+3=-15$ と計算した。

1. $x^2$ の係数で $x$ の項までくくる：
   $$2x^2+3x+1=2\left(x^2+\frac{3}{2}x\right)+1$$

2. $x$ の係数の半分の2乗を足して引く。この場合は $\dfrac{3}{2}$ の半分である $\dfrac{3}{4}$ の2乗である $\dfrac{9}{16}$ を足して引く：
   $$2\left(x^2+\frac{3}{2}x\right)+1=2\left(x^2+\frac{3}{2}x+\dfrac{9}{16}-\dfrac{9}{16}\right)+1$$

3. カッコの中身の前半を因数分解する：
   $$2\left(x^2+\frac{3}{2}x+\dfrac{9}{16}-\dfrac{9}{16}\right)+1=2\left\{\left(x+\dfrac{3}{4}\right)^2-\dfrac{9}{16}\right\}+1$$

4. 定数項を計算する
   $2\times\left(-\dfrac{9}{16}\right)+1=-\dfrac{1}{8}$ より答えは $$2\left(x+\dfrac{3}{4}\right)^2-\dfrac{1}{8}$$

右辺の一次の係数が $3$ となるように $p$ を定めると，

$2x^2+3x+1=2\left(x+\dfrac{3}{4}\right)^2+q$

次に定数項を比較すると $1=\dfrac{9}{8}+q$ より $q=-\dfrac{1}{8}$

よって，答えは $2x^2+3x+1=2\left(x+\dfrac{3}{4}\right)^2-\dfrac{1}{8}$

方針は全く同じ。まず $p$ を決める：

$-3x^2+5x=-3\left(x-\dfrac{5}{6}\right)^2+q$

（一次の係数は $5=-3\left(-2\cdot\dfrac{5}{6}\right)$ となり一致している！）

次に $0=-\dfrac{25}{12}+q$ より $q=\dfrac{25}{12}$

$-3x^2+5x=-3\left(x-\dfrac{5}{6}\right)^2+\dfrac{25}{12}$

まず二次の係数を見て $p$ を決める。

$x^3+3x^2=(x+1)^3+qx+r$

次に一次の項と定数項を調節すると $q=-3,r=-1$ を得る：

$x^3+3x^2=(x+1)^3-3x-1$

$(x^2+px+q)^2+rx+s$ と変形できるとする。

まず，三次の項を比較して $2p=-2$ より $p=-1$

さらに二次の項を比較して $p^2+2q=0$ より $q=-\frac{1}{2}$

あとは $r,s$ も調節すると，

$x^4-2x^3+1=(x^2-x-\frac{1}{2})^2-x+\frac{3}{4}$ を得る。